2025年4月12日（方向余弦矩阵变换速度）

方向余弦矩阵（direction cosine matrix, DCM）是一种用于characterize the orientation of an object in three-dimensional space的数学工具。它能够将物体的angular velocity from one coordinate system to another.随后我们将通过一个简明扼要的例子来阐述如何利用direction cosine matrix进行angular velocity transformation.

1. 定义角速度

假设一个物体在三维空间中进行旋转运动，在固定参考系统（即地心参考系统）中可以用向量 ω 来表示其角速度：
其中，在固定参考系统中用向量 ω 表示该物体的角速度，并且其分量可分别用 ωx、ωy 和 ωz 表示；数学上可表示为：

\boldsymbol{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}

2. 方向余弦矩阵

该物体的姿态由方向余弦矩阵 C 表示，并将固定坐标系中的向量转换至物体坐标系。具体形式为：
\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}
其中每个元素 c_{ij} 表示物体坐标系与固定坐标系之间的方向余弦

3. 角速度变换

为了将角速度从固定坐标系转换到物体坐标系, 可借助如下公式:

\begin{equation} \bmlpha_{body}=Transpose(\bmlpha_{fix}) \end{equation}

其中\bmlpha_{fix}与\bmlpha_{Body}分别表示为固定参考框架与体参考框架中的旋转矢量, Transpose(\bmlpha)则是该旋转矩阵的转置。

4. 示例

假设：

• 固定坐标系中的角速度为 ωfixed=[123]\boldsymbol{\omega}_{fixed} =
• 方向余弦矩阵为：
  C=[0.866−0.500.50.8660001] \mathbf{C} =
  计算方向余弦矩阵的转置：
  CT=[0.8660.50−0.50.8660001] \mathbf{C}^T =
  然后进行角速度变换：
  ωbody=CTωfixed=[0.8660.50−0.50.8660001][123] \boldsymbol{\omega}{body} = \mathbf{C}^T \boldsymbol{\omega}{fixed} =
  计算结果：
  ωbody=[0.866⋅1+0.5⋅2−0.5⋅1+0.866⋅20⋅1+0⋅2+1⋅3]=[0.866+1−0.5+1.7323]=[1.8661.2323] \boldsymbol{\omega}_{body} = = =

5. 结果

由此可见，在物体坐标系中定义的角速度矢量为：
\boldsymbol{\omega}_{body} = [1.866, 1.232]^T
该实例阐述了利用方向余弦矩阵将角速度从一个参考系转换至另一个参考系的过程。