2015高教杯全国大学生数学建模竞赛论文
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们认真研读了《全国大学生数学建模竞赛文件》以及《全国大学生数学建模竞赛参赛细则》（统称为'竞赛章程与参赛规则'完整内容可在官方网站查阅）。
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我们都知道, 这种行为违背了竞赛章程及相关参赛规定. 在正文中引用他人的研究成果以及其他公开资源（如网络获取的信息）时, 应当严格按照规范化的引用格式, 在正文中正确标注来源并在参考文献部分详细说明.
本机构郑重声明,全面贯彻竞赛章程及参赛规定,以确保比赛的公平性和公正性.对于任何违反竞赛章程及参赛规定的 Behavior,将依法依规进行严肃处理.
我们委派全国大学生数学建模竞赛组委会，在网络上发布论文，并将其通过出版物印刷等方式在书籍、期刊和其他媒体上展示（包括正式发布和非正式传播）。
我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 201510052007
参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 南京师范大学
参赛队员 (打印并签名) ：1. 叶铖阳
2. 周丽阳
3. 陈勇君
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期： 2015 年 9 月 13 日
太阳影子定位问题研究
摘要
本文重点探讨影长与日期、时间和地点的联系。利用一组数据可大致描述其余变量的范围或变化幅度。
针对第一个问题, 随着公转周期的变化导致的日地距离存在显著差异, 因此我们需要找到一个合适的数学模型来描述不同日期下日地距离的变化规律, 进而构建适配的三维坐标系统以便精确确定太阳在此时在三维坐标系统中的位置. 同时依据所给地理位置的经纬度信息, 我们可以通过数学建模方法建立起影长与时间的关系式, 进而利用MATLAB软件绘制出影长随时间变化的曲线图.
针对第二个问题, 分析所给数据的影长变化情况, 可以推断测量地点应位于下午至午夜时间段内, 从而缩小研究范围. 结合第一部分中推导出的影长公式, 利用MATLAB软件计算各地区满足条件的影长值, 并将计算结果与实际观测数据进行对比, 通过计算各地区影长与给定数据的标准差值, 来评估不同地区的观测精度. 最终确定较为理想的观测地点. 根据给定的数据坐标值, 绘制完整的影长变化曲线图, 并运用二次函数对其进行拟合运算, 得到日影最短时刻的时间点. 通过对比拟合结果与实际观测时刻之间的差异, 推测测量地点所在的时区或经度. 计算得出测量地位于东经108.67度、北纬19.26度的位置（相当于我国海南省东方市附近）。
相较而言，在第三个问题中未涉及时间变量，在此之前我们类似于第二个问题的方法推算出可能存在的地理坐标范围和时间范围，并推算出所对应的影长与其观测值进行对比观察结果发现由于相对多出了一个可变因素因此导致解的数量随之增加 因此我们需要通过图像对所有可能的解进行进一步验证 根据模型计算得出第一组测量点位于东经79度北纬39度附近属于新疆喀什地区具体时间为5月12日或7月31日而对于第二组测量点位于东经110度北纬34度附近的陕西省商洛市区域其对应的时间是10月26日
在解决第四问题时，在视频信息每隔三分钟进行捕获，并利用Digimizer软件获取影像长度。相较于第二个问题而言，在此过程中增加了杆件的长度。由此可知，在不同时间段可以通过观察太阳入射角的变化情况来获得所需的数据关系式。基于第一部分中推导得出的第一问所涉及的空间位置关系式模型，在实际测量数据的基础上运用非线性拟合算法计算得到了观测点位于东经111度、北纬43度的位置区域，并且该区域位于内蒙古自治区乌兰察布市周边地区
关键词： 空间坐标系 二次函数拟合 标准差 非线性拟合
1、问题重述
探讨如何确定视频的拍摄地点和时间成为数据分析的关键环节之一；太阳影子定位技术主要依据观察物体太阳影子的变化来识别位置与日期的方法。
探讨如何确定视频的拍摄地点和时间成为数据分析的关键环节之一；太阳影子定位技术主要依据观察物体太阳影子的变化来识别位置与日期的方法。
构建关于影子长度变化的数学模型，并研究其随不同参数变化的规律，并利用所构建的模型绘制2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆太阳影子长度的变化曲线。
基于某一固定直立杆在水平地面太阳投影顶端坐标的数据, 通过数学建模确定直立杆所在的位置. 将你们开发的应用程序用于分析附件1中的太阳投影顶端坐标数据, 计算出多个可能的位置.
基于固定直立于水平地面的物体在其太阳投影顶端的位置数据, 建立数学模型以确定观测物体所处的具体地理位置及其所属日期. 对附件2及附件3中的太阳影子坐标数据进行建模分析, 得出一系列可能存在的地理位置及其对应的日期信息.
视频文件中展示了一根直杆，在阳光照射下形成的影子随时间变化而动态呈现，并经估算确定其高度约为2米。基于此情境，请构建相应的数学模型以确定该视频的具体拍摄位置，并基于该模型推导出多个可能的位置。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
附件一：影长数据（含3个表格）
附件二：视频
2、问题假设
1、同一天中不考虑地球公转所引起的太阳直射点纬度变化
2、不考虑各地的海拔、高地等引起的高度变化
3、照射到地球表面的太阳光线为平行光
4、题中所给的所有数据准确无误
5、视频所截取的数据能够具有代表性
3、符号说明
| 符号 | 表示的意义 |
|---|---|
| R | 地球半径 |
| r | 日地距离 |
| 太阳入射角 | |
| 杆长 | |
| 影长 | |
| 测量地 | |
| 太阳 | |
| 时间 |
4、模型建立与求解
4.1模型一的建立与求解
4.1.1 模型一的建立
设地心作为坐标系的原点，并将x轴正方向定位于赤道上东经0°点的方向；同时将z轴正方向对应北极星所在的方向；与x、z轴均垂直的空间中确定y正向的位置；从而采用右手定则建立直角坐标系。设定测量位置的地理纬度与经度值分别为λ与φ；由此可得该测站点的空间位置坐标值：(X, Y, Z) = (R·cosφ·cosλ, R·cosφ·sinλ, R·sinφ)；因此可选取该测杆的空间指向矢量作为基准矢量：v = (−sinα, cosα·sinβ, cosα·cosβ)；其中α代表测杆与当地水平面之间的倾斜角度；而β则表示测杆相对于当地子午线的角度偏转值；太阳到地球的距离简称为日地间距：D = 1.496亿公里
直杆长度为，影子长度为，太阳直射点的经纬度为。
其中， 即
太阳直射点：
经度，是测量地点的时间，是地球的自转角速度，。
纬度，是从春分日开始经过的天数， [1]
记日地平均距离为，又称为天文单位，其中1天文单位
可以精确至。
由于日地距离在每年每一天都被准确测定，并且因此这个距离可以用一个数学公式来表示。为了减少使用具体长度单位所带来的冗长性问题，在天文学中通常会采用该距离与平均日地距离之比的平方来表示这一数值。 [2]
我们得到的数学表达式为：
式中称日角，即，这里又由两部分组成，即，
其中即为积日, 即为日期在一年内的顺序号. 例如, 1月1日其积日为1, 平年的每年年终均为第365天, 闰年全年共有第366天等.
又有，
其中为数值向下取整为最接近的整数的函数。
因此我们可以得到了观测点所在地的日地距离,.
记太阳入射角，太阳的坐标为，其中
所以太阳入射角为与的夹角的余角，即，此时，若则舍去。
故可以得到影子长度:
。
4.1.2 模型一的求解：
位于天安门广场的观测点由此可得其经度为东经116°23′29″、纬度为北纬39°54′26″。
又根据地球半径，从而可以得到北京天安门广场坐标为
根据观测时间2015年10月22日北京时间9:00-15:00可以得到
，，
，
那么此时的日地距离。
也就是说，在北京时间2015年10月22日太阳直射点位于南纬
按照公式进行计算后，则能够获得不同时间点的太阳直射点纬度数值，并由此推算出相应时刻太阳的位置坐标信息（见下表）。
| 9:00 | 165 | -11.1154 | -141284859.6 | 37857164.04 | -27802137.27 |
| 9:18 | 160.5 | -11.1154 | -137879086.7 | 48825545.36 | -27802137.27 |
| 9:36 | 156 | -11.1154 | -133623243.4 | 59492900.97 | -27802137.27 |
| 9:54 | 151.5 | -11.1154 | -128543568.3 | 69793463.05 | -27802137.27 |
| 10:12 | 147 | -11.1154 | -122671379.4 | 79663725.22 | -27802137.27 |
| 10:30 | 142.5 | -11.1154 | -116042880.6 | 89042834.04 | -27802137.27 |
| 10:48 | 138 | -11.1154 | -108698938.9 | 97872964.18 | -27802137.27 |
| 11:06 | 133.5 | -11.1154 | -100684832.1 | 106099674.9 | -27802137.27 |
| 11:24 | 129 | -11.1154 | -92049969.77 | 113672245.9 | -27802137.27 |
| 11:42 | 124.5 | -11.1154 | -82847588.81 | 120543989.7 | -27802137.27 |
| 12:00 | 120 | -11.1154 | -73134424.91 | 126672539.7 | -27802137.27 |
| 12:18 | 115.5 | -11.1154 | -62970362.97 | 132020111.4 | -27802137.27 |
| 12:36 | 111 | -11.1154 | -52418067.8 | 136553735.2 | -27802137.27 |
| 12:54 | 106.5 | -11.1154 | -41542597.8 | 140245459.8 | -27802137.27 |
| 13:12 | 102 | -11.1154 | -30411003.88 | 143072524.5 | -27802137.27 |
| 13:30 | 97.5 | -11.1154 | -19091916.01 | 145017499.5 | -27802137.27 |
| 13:48 | 93 | -11.1154 | -7655120.124 | 146068393.5 | -27802137.27 |
| 14:06 | 88.5 | -11.1154 | 3828872.121 | 146218727.1 | -27802137.27 |
| 14:24 | 84 | -11.1154 | 15289258.1 | 145467573.8 | -27802137.27 |
| 14:42 | 79.5 | -11.1154 | 26655380.71 | 143819564.4 | -27802137.27 |
| 15:00 | 75 | -11.1154 | 37857164.04 | 141284859.6 | -27802137.27 |
基于已知杆长的长度这一前提条件，在应用入射角公式以及影长计算公式时，我们能够获得不同时间段内的太阳入射角度与其对应的影子长度数据（如表所示）。
| 影子长度 | ||
|---|---|---|
| 9:00 | 0.388150215 | 7.336860881 |
| 9:18 | 0.434875968 | 6.458059249 |
| 9:36 | 0.478877147 | 5.778292791 |
| 9:54 | 0.51977913 | 5.242293654 |
| 10:12 | 0.557178011 | 4.815214138 |
| 10:30 | 0.590647639 | 4.47431276 |
| 10:48 | 0.619751521 | 4.204425012 |
| 11:06 | 0.64406016 | 3.995344707 |
| 11:24 | 0.663173545 | 3.84023309 |
| 11:42 | 0.676747218 | 3.734615318 |
| 12:00 | 0.684518846 | 3.675737661 |
| 12:18 | 0.686331109 | 3.66216913 |
| 12:36 | 0.682146543 | 3.693590593 |
| 12:54 | 0.672051204 | 3.770747168 |
| 13:12 | 0.656246327 | 3.895559021 |
| 13:30 | 0.635029826 | 4.071402227 |
| 13:48 | 0.6087714 | 4.303594647 |
| 14:06 | 0.577885716 | 4.600163083 |
| 14:24 | 0.542807464 | 4.973043649 |
| 14:42 | 0.503970805 | 5.440009713 |
| 15:00 | 0.461794213 | 6.02790441 |
为了绘制出影子长度变化曲线，我们对函数中的21组数据进行MATLAB制图。
程序：
R=6371;
time=9:0.3:15;
a=116+23/60+29/3600;
b=39+54/60+26/3600;
c=120-15.*(time-12);
d=asin(0.39775*sind(180+(214-186)));
r=1.48887659888219*10^8;
A=[R*cosd(b)cosd(a) Rcosd(b)sind(a) Rsind(b)];
B=[r*cos(d).cosd(c); rcos(d).sind(c);rsin(d).*ones(1,21)];
for i=1:21
ci(i)=pi/2-acos(dot(A,B(:,i))/norm(A)/norm(B(:,i)));
end
yz=3./tan(ci);
plot(time,yz)
运行结果：
至此为止，我们成功地获得了在2015年10月22日北京时间9:00至15:00期间，在天安门广场（北纬39°54′26″,东经116°23′29″）位置上垂直竖立的一根高为3米的直立杆在太阳照射下的影子长度随时间变化的记录。
4.2模型二的建立与求解
4.2.1 模型二的建立
根据提供的21组不同时间段的影子顶点坐标数据集绘制影子长度随时间的变化趋势图
此时我们可以使用二次函数拟合这组数据，并求出最低点的时间。
程序1：
a=[14.7 1.149625826;14.75 1.182198976;14.8 1.215296955;14.85 1.249051052;14.9 1.28319534;14.95 1.317993149;15 1.353364049;15.05 1.389387091;15.1 1.426152856;15.15 1.463399853;15.2 1.501481622;15.25 1.540231817;15.3 1.579853316;15.35 1.620144515;15.4 1.661270613;15.45 1.703290633;15.5 1.74620591;15.55 1.790050915;15.6 1.835014272;15.65 1.880875001;15.7 1.927918447];
A=polyfit(a(:,1),a(:,2),2);
low=-A(2)/2/A(1)
low =
12.5984
通过运行结果分析得出北京时间为12.5984小时，在影子长度最小的时间点对应当地正午时间相当于当地时间中午十二点
为测量地的经度。
数据的时间段为北京时间从14:42到15:42。在此时间段内观察到影长逐渐增加的情况，并由此可以推断测量地点当前正处于下午时间段。
，代表测量地在北京时间15.7时才刚到下午。
，代表测量地在北京时间14.7时才刚到凌晨。
我们可以得知，从西经到东经处不可能是测量地。
太阳直射点的位置坐标为，则可记录该位置相当于北京时间4月18日的时间点；由此可确定从该纬度向南延伸至全天均为夜晚的时间段。
由，
则，
那么南纬到在北京时间4月18日一直处于黑夜。
接着基于以下公式我们可以获得不同时间段内太阳直射点所在的纬度值从而能够确定不同时间段内太阳的具体位置坐标（如表所示）
| 14:42 | 79.5 | 10.4381 | 26683609.49 | 143971873.3 | 26974431.66 |
| 14:45 | 78.75 | 10.4381 | 28565857.03 | 143610261.2 | 26974431.66 |
| 14:48 | 78 | 10.4381 | 30443209.96 | 143224042.2 | 26974431.66 |
| 14:51 | 77.25 | 10.4381 | 32315346.61 | 142813282.6 | 26974431.66 |
| 14:54 | 76.5 | 10.4381 | 34181946.19 | 142378052.6 | 26974431.66 |
| 14:57 | 75.75 | 10.4381 | 36042688.86 | 141918426.9 | 26974431.66 |
| 15:00 | 75 | 10.4381 | 37897255.81 | 141434484.1 | 26974431.66 |
| 15:03 | 74.25 | 10.4381 | 39745329.26 | 140926307.4 | 26974431.66 |
| 15:06 | 73.5 | 10.4381 | 41586592.55 | 140393983.6 | 26974431.66 |
| 15:09 | 72.75 | 10.4381 | 43420730.19 | 139837604 | 26974431.66 |
| 15:12 | 72 | 10.4381 | 45247427.91 | 139257264 | 26974431.66 |
| 15:15 | 71.25 | 10.4381 | 47066372.72 | 138653062.9 | 26974431.66 |
| 15:18 | 70.5 | 10.4381 | 48877252.95 | 138025104.4 | 26974431.66 |
| 15:21 | 69.75 | 10.4381 | 50679758.31 | 137373496 | 26974431.66 |
| 15:24 | 69 | 10.4381 | 52473579.96 | 136698349.3 | 26974431.66 |
| 15:27 | 68.25 | 10.4381 | 54258410.53 | 135999780.1 | 26974431.66 |
| 15:30 | 67.5 | 10.4381 | 56033944.2 | 135277908 | 26974431.66 |
| 15:33 | 66.75 | 10.4381 | 57799876.74 | 134532856.8 | 26974431.66 |
| 15:36 | 66 | 10.4381 | 59555905.57 | 133764754 | 26974431.66 |
| 15:39 | 65.25 | 10.4381 | 61301729.8 | 132973731.3 | 26974431.66 |
| 15:42 | 64.5 | 10.4381 | 63037050.3 | 132159924.3 | 26974431.66 |
由于影长，这里分别代表第一小问的杆长和太阳入射角。
此外，在每个固定位置都是唯一确定的前提下，在无法准确设定杆长的情况下进行参数代入运算时会出现一定的差异量级（称为差距数倍）。为了找出差异程度最低的位置点（即各地区的影长与测得值之间的标准偏差达到最小的地方），我们可以比较各个候选地点的数据分布情况，并将数值波动范围较小的位置点作为最佳观测点选择依据。
4.2.2 模型二的求解
利用MATLAB编写程序可以得到各地的影长与测量值之间的标准差。
程序：
z=zeros(19700,17000);
for i=64:0.01:260
for j=-80:0.01:89
for k=1:21
c(k)=120-15*(a(k,1)-12);
dt=asin(0.39775sin(pi(28+(a(k,1)-6.75)/24)/186));
l=[cosd(j)*cosd(i),cosd(j)*sind(i),sind(j)];
m=[cos(dt)*cosd(c(k)),cos(dt)*sind(c(k)),sin(dt)];
ac=acos(dot(l,m));
if(ac>pi/2)
z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1;
end
t(k)=1/(a(k,2)*tan(pi/2-ac));
end
if(z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1))==0)
st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=std(t);
else
st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1000;
end
end
end
运行结果：
鉴于运行结果过于庞大
因此计算得出最小的标准差为1.34012\times 10^{-5}, 并且，在该区域附近的标准差数值与全局最小值接近。从而推断出直杆所处的位置位于东经108.67^{\circ}, 北纬19.26^{\circ}. 大致位于我国海南省东方市周边地区。
4.2.3 模型二的检验
计算值与测量值的影长曲线图，如下：
| 时间 | 测量值 | 估计值 | 误差 |
|---|---|---|---|
| 14.7 | 1.149625826 | 1.190490641 | -0.040864814 |
| 14.75 | 1.182198976 | 1.218049998 | -0.035851021 |
| 14.8 | 1.215296955 | 1.246234754 | -0.030937798 |
| 14.85 | 1.249051052 | 1.275059812 | -0.02600876 |
| 14.9 | 1.28319534 | 1.304541586 | -0.021346246 |
| 14.95 | 1.317993149 | 1.334698039 | -0.016704891 |
| 15 | 1.353364049 | 1.365548738 | -0.012184689 |
| 15.05 | 1.389387091 | 1.397114906 | -0.007727815 |
| 15.1 | 1.426152856 | 1.429419494 | -0.003266637 |
| 15.15 | 1.463399853 | 1.462487251 | 0.000912602 |
| 15.2 | 1.501481622 | 1.496344813 | 0.005136809 |
| 15.25 | 1.540231817 | 1.531020797 | 0.00921102 |
| 15.3 | 1.579853316 | 1.566545907 | 0.013307409 |
| 15.35 | 1.620144515 | 1.602953056 | 0.01719146 |
| 15.4 | 1.661270613 | 1.640277494 | 0.020993119 |
| 15.45 | 1.703290633 | 1.678556961 | 0.024733672 |
| 15.5 | 1.74620591 | 1.717831842 | 0.028374068 |
| 15.55 | 1.790050915 | 1.758145355 | 0.03190556 |
| 15.6 | 1.835014272 | 1.799543745 | 0.035470527 |
| 15.65 | 1.880875001 | 1.842076506 | 0.038798495 |
| 15.7 | 1.927918447 | 1.885796626 | 0.042121822 |
根据上表的数据绘制误差变化图，如下：
4.3模型三的建立与求解
4.3.1 模型三的建立
对于这两组数据，以第一组数据为例。
影子长度由四个变量所控制：日期，时间，地点(经度、纬度)。
我们采用了统一的符号系统来表示观测点的经纬度数据及太阳位置的方向信息。基于蒋洪力的研究成果，在分析日运行规律的基础上确定了太阳位置的纬度信息。
其中为每年的积日。
,
利用之前得到的公式，得到太阳入射角与观测点，时间的函数关系：
其中
.
因此影长.
因此应为常值.(为测量值)
再利用一个循环变量；其中以经度、纬度和日期作为三个维度；构建一个三维网格结构；并遍历整个网格的所有节点；从中选出最佳解（具有最小方差）。
在循环中，我们利用二次拟合，求出测量地的大致精度范围.
4.3.2 模型的求解
对于第一个测量地，我们利用二次拟合得到曲线
所以观测地的大致范围在
对于第二个测量地，我们利用二次拟合得到曲线
所以观测地的大致范围在
程序：
(1)
for i=61:120
for j=-90:89
for k=1:365
yz=pnt(i,j,k,a(:,1));
t=yz'./a(:,2);
st((i-60)+(k-1)*60,j+91)=std(t);
end
end
end
(2)
for i=78:137
for j=-90:89
for k=1:365
yz=pnt(i,j,k,a(:,1));
t=yz'./a(:,2);
st((i-77)+(k-1)*60,j+91)=std(t);
end
end
end
对于第一个测量地，得到如下的运行结果：
相对应的结果为11月25日 东经80° 南纬39°.
在世界地图上寻找对应点，发现为海上，所以此值应当舍去，选取次优解。
次优解有两个：5月12日 东经79° 北纬39°。
7月31日 东经79° 北纬39°，此地为新疆喀什附近。
对于第二个测量地，得到如下的运行结果。
相应的结果为10月26日 东经110° 北纬34°，此地为陕西省商洛市附近。
4.4模型四的建立与求解
4.4.1模型四的建立
坐标系与各变量的表示均与问题一中相同。
基于附件4中关于直杆太阳下影子变化的视频材料，在每隔3分钟的时间间隔内对视频中的图像进行截取，并通过 Digimizer 测量软件准确测定了杆长。共计获得了14组观测数据（见下表）。
| 时间 | 影子长度/m |
|---|---|
| 8:54 | 2.410633 |
| 8:57 | 2.363567 |
| 9:00 | 2.324 |
| 9:03 | 2.286367 |
| 9:06 | 2.245267 |
| 9:09 | 2.1975 |
| 9:12 | 2.157067 |
| 9:15 | 2.1198 |
| 9:18 | 2.091633 |
| 9:21 | 2.043833 |
| 9:24 | 2.001667 |
| 9:27 | 1.953233 |
| 9:30 | 1.918767 |
| 9:33 | 1.8776 |
记观测地A的经纬度为（a,b）,那么直杆的方向向量可表示为.
接下来考虑太阳直射点的经纬度：
经度，是测量地点的时间，是地球的自转角速度，。
纬度，是从春分日开始经过的天数，。
通过视频我们能够获得测量地点的日期和时间，并由此推断出不同时间点太阳直射点的经纬位置。
从而太阳位置可表示为。
所以太阳入射角，影子长度。
即
也就是，
4.4.2 模型四的求解
基于上述模型进行研究后发现，在不同时间点上太阳直射点的位置及其对应的坐标值均被精确计算出来，并进一步确定了太阳球心坐标的数值结果
| 8:54 | 166.5 | 14.6001 | -137202961.4 | 32939516.71 | 56723036.13 |
| 8:57 | 165.75 | 14.6001 | -136760041.9 | 34732625.97 | 56723036.13 |
| 9:00 | 165 | 14.6001 | -136293689.3 | 36519783.99 | 56723036.13 |
| 9:03 | 164.25 | 14.6001 | -135803983.5 | 38300684.52 | 56723036.13 |
| 9:06 | 163.5 | 14.6001 | -135291008.4 | 40075022.43 | 56723036.13 |
| 9:09 | 162.75 | 14.6001 | -134754851.8 | 41842493.69 | 56723036.13 |
| 9:12 | 162 | 14.6001 | -134195605.7 | 43602795.45 | 56723036.13 |
| 9:15 | 161.25 | 14.6001 | -133613365.9 | 45355626.1 | 56723036.13 |
| 9:18 | 160.5 | 14.6001 | -133008232.1 | 47100685.3 | 56723036.13 |
| 9:21 | 159.75 | 14.6001 | -132380308.1 | 48837674.03 | 56723036.13 |
| 9:24 | 159 | 14.6001 | -131729701.3 | 50566294.68 | 56723036.13 |
| 9:27 | 158.25 | 14.6001 | -131056523.4 | 52286251.06 | 56723036.13 |
| 9:30 | 157.5 | 14.6001 | -130360889.6 | 53997248.46 | 56723036.13 |
| 9:33 | 156.75 | 14.6001 | -129642919.1 | 55698993.71 | 56723036.13 |
程序：
a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];
for i=78:137
for j=-90:89
yz=pnt(i,j,194,a(:,1));%pnt为求影子长度的函数，见附录。
t=yz'./a(:,2);
st(i-77,j+91)=std(t);
end
end
end
运行结果：
通过EXCEL计算得到标准差的最小值从而可知该测量地点位于内蒙古乌兰察布市附近的地理坐标是东经111度北纬43度
4.4.3 模型四的检验
a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];
st=zeros(60,180);
for i=78:137
for j=-90:89
yz=pnt(i,j,194,a(:,1));
t=2.*yz'./a(:,2);
for k=1:14
st(i-77,j+91)=st(i-77,j+91)+abs(t(k)-1);
end
end
End
容易得到：影长的误差和为 ，
其中为东经111°，北纬43°在对应时间下的影长；为对应时间下的测量值。
则，
即
4.4.4 模型四的检验模型四的推广问题
在无法确定拍摄日期的情况下
5、模型的评价
6.1 模型的优点
数学推演具有坚实的理论基础逻辑推理的过程提升了数据之间的内在联系有助于发现其中明显的错误
（2）基于拟合数据进行位置估算能够起到引导作用从而更容易获得精确的结果
6.2 模型的缺点
因为地理环境的复杂性，在这种情况下很难用一个精确的数学模型来描述它。因此，在实际应用中我们只能采用较为简化的数学模型进行精确描述，并以此为基础得出估算结果
（2）由于采用不同拟合方式可能导致的结果呈现不同精度水平，并因此也存在优化引导式精度的可能性。然而所采用的方式未必达到最佳状态。
6、参考文献
[1] [0583-1458] 蒋洪力，太阳直射点纬度的数学推导和分析，数学通报，第9期:P39-40，2007。
[2] [TK511;P182.1] 王炳忠主讲的第一部分太阳辐照度计算课程基于天文学参数的太阳能计算在《太阳能》第2期:P8-10 1999年发布
[3] [978-7-5643-2992-1] 龚涛，摄影测量学，成都：西南交通大学出版社,2014.04。
[4] [9787040196382] 姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：高等教育出版社，2006。
[5] [9787302265535] 李学文，数学建模优秀论文精选与点评，北京：清华大学出版社，2011。