2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题

A 题《定日镜场的优化设计》

推进新型电力系统向新能源方向发展有助于实现国家碳达峰与碳中和目标这一战略举措。作为一种低碳环保的创新性清洁能源技术塔式太阳能光热发电在能源领域具有显著应用价值[1]。

定日镜是塔式太阳能光热发电站（以下简称塔式电站）收集太阳能的基本组件，其底座由纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以控制反射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的俯仰角，定日镜及底座示意图见图 1。 两转轴的交点（也是定日镜中心） 离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场。定日镜将太阳光反射汇聚到安装在镜场中吸收塔顶端上的集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来， 再经过热交换实现由热能向电能的转化。 太阳光并非平行光线， 而是具有一定锥形角的一束锥形光线，因此太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线[2]。 定日镜在工作时，控制系统根据太阳的位置实时控制定日镜的法向，使得太阳中心点发出的光线经定日镜中心反射后指向集热器中心。 集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。

计划于在东经98.5∘、北纬39.4∘位置上空3000米处附近半径为350米的圆形区域内基于中心点建立镜场坐标系：该坐标系以圆形区域中心为原点正东方向设立x轴正向正北方向设立y轴正向垂直地面向上则定义z轴正向从而形成镜场坐标系统这一设定将有助于后续规划工作的开展在此基础之上设计了一座高度为80米的吸收塔并采用了外置式高8米直径7米圆柱形集热器装置其中吸收塔周边1公里范围将预留空地用于搭建厂房并安装发电储能以及控制等关键设备

定日镜子呈平面矩形形状，在水平方向上始终保持与地面平行。其中上下的两条平行边之间的间距即为"镜子的高度"；左右两边的距离则定义为"镜子的宽度"；通常情况下要求镜子宽度至少与其高度相当。镜子长度一般设置在2至8米范围内，并且安装位置需满足：当围绕水平转轴转动时不会触地的要求。考虑到日常维护和清洗车辆的需求，在相邻定日镜子底座中心之间必须保持至少5米以上的间距。

为了简化计算过程, 我们假设所有"年均"指标均采用相同的时间点进行测量, 这些时间点分别为当地时间每月21日9:00, 10:30, 12:00, 13:3o以及下午3点整.基于此前提条件, 现在需要建立一个数学模型用于解决以下问题：首先, 如果将吸收塔放置于该圆形定日镜场的中心位置, 并且设定所有定日镜尺寸统一为6米乘以6米（即6m×6m）的同时将安装高度统一设置为4米, 并将其所有定日镜中心的位置（并将其命名为"定日镜位置", 具体数据参见附件）带入考虑范围后, 需要对这一系统进行性能评估.具体而言, 需要求解该系统的年平均光学效率值以及年平均输出热功率数值;此外还需要计算出每平方米反射面单位面积上的年平均热输出功率值.以上各项指标的具体数值应当按照表格一和表格二所列格式进行记录与汇总.

请就以下问题进行分析与设计：依据相关技术规范书的要求，在确定固定式太阳 thermal 系统中固定式太阳thermal装置的技术参数时，请详细计算以下内容——固定式太阳thermal装置的总集热面积计算公式；单台反射器的有效集热面积计算方法；系统整体效率评估指标体系建立方案；系统运行工况下的最大储热量计算步骤；以及系统投资成本估算流程等五个方面的问题，请详细阐述各环节的具体实施步骤并附上必要的计算公式和图表支持。

问题 3 ：如果定日镜尺寸可设为不同值并安装高度可设为不同值那么在满足达到额定期电输出功率的前提下请重新设计整个定日镜场的各项参数使得单位镜面面积年平均输出的热功率尽可能高请将计算所得的各项数据分别按照表1 表2 及表3 的格式填入相应表格并将所得结果包括吸收塔的位置坐标 各类定日镜尺寸 安装高度及其位置坐标按照指定模板的形式保存至 result3.xlsx 文件中

B 题《多波束测线问题》

单波束测深技术通过声波在水体中的传播特性实现水下深度测量。基于上述原理，在水下测量船上安装的换能器垂直向下发射声波信号，并记录自声波发射至信号接收过程中的传播时间。根据所测得的声波在海水中行进速度与总时长信息计算出水体深度。该技术导致测深数据呈现沿航迹高度密集分布特征，在相邻航线之间则无数据记录存在。

多波束测深系统是在单波束测深的基础上发展起来的，该系统在与航迹垂直的平面内一次能发射出数十个乃至上百个波束，再由接收换能器接收由海底返回的声波，其工作原理如图 2所示。多波束测深系统克服了单波束测深的缺点，在海底平坦的海域内，能够测量出以测量船测线为轴线且具有一定宽度的全覆盖水深条带（图 3）。多波束测深条带的覆盖宽度 𝑊 随换能器开角 𝜃 和水深 𝐷 的变化而变化。 若测线相互平行且海底地形平坦，则相邻条带之间的重叠率定义为 𝜂 = 1 - 𝑑𝑊，其中 𝑑 为相邻两条测线的间距， 𝑊 为条带的覆盖宽度（图 4）。若 𝜂 < 0，则表示漏测。为保证测量的便利性和数据的完整性，相邻条带之间应有 10%~20% 的重叠率。但真实海底地形起伏变化大，若采用海区平均水深设计测线间隔，虽然条带之间的平均重叠率可以满足要求，但在水深较浅处会出现漏测的情况（图 5），影响测量质量；若采用海区最浅处水深设计测线间隔，虽然最浅处的重叠率可以满足要求，但在水深较深处会出现重叠过多的情况（图 6）， 数据冗余量大，影响测量效率。问题 1 ：与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 𝛼 的斜线（图7），称 𝛼 为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。若多波束换能器的开角为 120∘，坡度为 1.5∘，海域中心点处的海水深度为 70 m，利用上述模型计算表 1 中所列位置的指标值，将结果以表 1 的格式放在正文中，同时保存到 result1.xlsx文件中。

问题 2：以图 8所示的矩形测区为基础，请推导多波束测深覆盖宽度的数学表达式。已知条件包括：多波束换能器开角为120∘；底坡度为1.5∘；水体深度在该区域中心点位置达到120米。通过前述推导出的数学表达式，在表2中列出各测试点位置对应的多波束测深覆盖宽度计算结果，并将结果以表格形式整合到正文部分的同时保存至result2.xlsx文件中。

问题3

问题4中提供的数据是某海域（南北长5海里、东西宽4海里）之前通过单波束测深方法获取的海底深度信息。该研究希望通过对这一组单波束测深数据进行分析与处理来辅助制定多波束声呐测量船的最佳布设方案。具体而言，在制定航迹时需要满足以下几项要求：一是使得航迹行进所形成的连续覆盖区域能够最大限度地覆盖整个待探测海域范围；二是要求相邻覆盖区域间的重叠程度需控制在20%以内；三是为了保证效率最大化，则希望所制定的整体航迹总长度能够达到最短。在此基础上，请对以下各项指标进行计算：(1) 总布设长度；(2) 漏检区域占总面积的比例；(3) 在重叠区域内超出规定比例部分对应的总布设长度。其中横纵坐标单位为海里（1海里=1852米），水深以米计。

C 题《蔬菜类商品的自动定价与补货决策》

在生鲜零售店中常见蔬菜类商品的保质期普遍较短,其品相会随着时间推移逐渐劣化,大部分种类的商品如果在当日未售罄,则隔日将无法继续销售.因此,生鲜零售店通常会依据各商品的历史销售数据及市场需求每天进行补充进货策略.

考虑到商超销售的蔬菜品种多样且产地分布不一，在凌晨3时至4时之间进行蔬菜采购交易。因此商家在无法确切掌握具体单品及采购成本的情况下需制定当日各类蔬菜库存补充计划，并依据成本加成法对运损品与品相欠佳商品实施折扣处理策略。精准的需求预测分析对库存管理和定价策略具有重要影响。从需求角度来看：不同时间段内的蔬菜销售量往往受季节性因素影响程度存在差异；从供给侧分析：4月至10月是蔬菜供应较为丰富的月份但在商超销售空间受限的情况下科学合理地搭配销售组合显得尤为重要。

该超市提供了六个蔬菜品类的商品详细信息；超市分别提供了2020年7月至2023年6月期间各商品的销售流水数据及批发价格相关信息；该超市收集了各商品近期损耗率的数据。请依据提供的资料建立数学模型以解决相关问题。

问题 1

针对问题2，请商超从品类角度制定补货计划，并分析各蔬菜品类的销售总量与其成本加成定价之间的关系。请要求针对各蔬菜品类未来一周（即2023年7月1日至7日），制定每日的补货总量及定价策略，并以使商超的收益最大化为目标进行安排。

问题 3 ：鉴于蔬菜类商品销售空间较为有限，在此背景下希望针对该需求制定单项产品补货计划。具体要求包括：可上架销售的新品总量控制在 27 至 30 种之间，并确保每种新品最低订购量需达到 2.5 千克的基本陈列量。基于 2023 年 6 月 24日至 30 日可上架销售的商品品种数据，在确定 7 月 1 日各单项产品的补货数量及定价策略时，请充分考虑各类蔬菜商品市场需求情况，并以最大化商超收益为目标。

为了解决制定蔬菜商品的补货与定价决策的问题，请问商超还需收集哪些相关信息？这些数据如何有助于解决上述问题？能否提供一些意见与理由？