2024年第十四届MathorCup数学应用挑战赛D题思路分享（妈妈杯）
D题 量子计算在矿山设备配置及运营中的建模应用
随着智能技术的快速发展,智慧矿山的理念正日益得到重视。众多设备供应商纷纷转向提供智慧矿山整体解决方案,其是否拥有提供整体解决方案的能力,已成为影响其核心竞争力的关键因素之一。智慧矿山凭借先进的信息技术与设备自动化,实现了高效的生产效率、安全可靠的作业环境以及环保友好的运行模式,并推动了整个行业的智能化进程。在运营过程中,如何依据工作量大小、机型容量、作业效率高低以及能源消耗与成本等多方面因素来制定最优的资源配置与运营方案,则成为了提升竞争力的重要课题。
QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization, QUBO)模型是一种兼容相干伊辛机(Coherent Ising Machine, CIM)的数学优化框架，在其形式上表现为min\ x^T Q x,其中x \in \{0,1\}"。本竞赛题目主要聚焦于智慧矿山设备配置及运营方案设计这一应用场景，在该问题建模的基础上采用了QUBO形式，并借助Kaiwu SDK完成了求解过程。Kaiwu SDK提供了一款基于相干伊辛机求解QUBO模型的软件开发包，并可通过访问此处获取其官方下载链接。此外，请注意：附件1提供了详细的QUBO建模参考资料（来源未详），而附件2至4则包含了相关应用案例论文（来源未详）。
作为智慧矿山项目的团队成员，请为即将投用的一家新成立的智慧矿山承担制定全面设备布局及运行策略的责任。在制定该方案时需考虑到的因素包括：
- 挖掘机工作容量：不同型号挖掘机的工作容量范围（立方米）
- 挖掘机工作效率：各类挖掘机的工作效率指标（斗/小时）
- 矿用载重车最大装载量：各类矿用载重车的最大装载能力限制（立方米）
- 燃油消耗指标：各类挖掘机与矿用运输车辆的燃油消耗标准值（升/小时）·购置费用：各类挖掘机及矿用运输车辆的成本预算上限（万元）
- 人工支出包括基本工资、福利补贴等项目：操作人员每月所需的人工支出项目统计(元/月)
- 设备维护费用：各类机械每月所需投入的维护费用总额(元/月)
基于该项目的规模及相关设备的数据情况, 总投入资金为2.4亿元, 预计持续开采时间为5年. 共有4种不同类型的挖掘机可供选择, 其设备参数将在下文表格1中详细列出.
挖掘机和矿车按每月工作20天、每日8小时运行；燃油价格定为7元/升。矿石的价格定为每立方米20元
挖掘机和矿车按每月工作20天、每日8小时运行；燃油价格定为7元/升。矿石的价格定为每立方米20元
在实际生产中存在诸多限制因素：
- 在实际作业过程中, 挖掘机与矿车的匹配存在一定限制
基于铲斗宽度和矿车宽度之间存在对应关系的小型挖掘机无法与较小规格的矿车相配。为了避免装车效率过于低下,较小规格的小型挖掘机也不适合搭配过大的矿车辆。不同规格的小型挖掘机各有其适应范围
关于与矿车的匹配关系，请参考表3中的具体匹配关系安排。具体匹配关系安排见表格3。举例而言，在处理一台编号为②号的挖掘机时，则必须配备至少两辆型号为1号位移量较大的矿车或一辆型号为2号位移量较小的矿车以确保作业过程中的稳定性运行。
矿山在实际运营过程中依赖小型挖掘机协同执行修路、搭建临时设施以及处理边角料等后勤保障工作；为了确保整体作业效率得到充分保障，矿山必须配备一定数量的大型挖掘机。经过综合考虑后可得出结论：矿山整体所需的挖掘机类型至少应涵盖三种不同的型号。
3、智慧矿山系统运营过程中的效率按照如下规则计算：
- 当挖掘和运输设备之间的匹配程度恰好符合表格中的数据（即当配对数等于表中所列的数量）或者当向挖掘设备分配运输设备的数量超过表中所列的数量时；
- 其每日工作负载则由挖掘设备本身的效率决定。
- 当向每台挖掘设备分配的运输设备数量不足时（例如，在某标准配置下（如每台需配两辆矿车），仅安排一台的情况下），挖掘机会会有部分时间因等待运输设备而受限。
- 其每日工作负载则为其理论最大值乘以相应的时间利用系数。
4、设定以下假设条件：
为了减少管理与调度的复杂性并降低因更改匹配而产生的安全风险假设挖掘机械与运输机械之间的一对一配对关系是固定的。
规定同一规格挖掘机械仅能与同规格运输机械进行配对
仅需在初始阶段投入购买挖掘机的成本
问题1
在其他条件不变的情况下（即不考虑挖掘机的工作寿命），表4详细列出了每种类型挖掘机在长期运营中的折现利润估计值。基于这一简化前提条件，请为预算有限的公司制定一个优化计划：确定能够在预设预算内实现最大总利润的最优采购方案（包括所需挖掘机型号及其采购数量）。为此，请分别运用Kaiwu SDK内置的模拟退火求解器和CIM模拟器对上述优化问题进行建模与求解计算。
问题2
假定挖掘机与矿车的标准使用寿命设定为五年，在综合考虑以下因素的基础上构建一个QUBO模型，并据此规划所需的挖掘机型号配置及其采购数量，并明确挖掘机与矿车之间的最优匹配关系作为目标变量（目标函数：五年内的总收益减去各类相关成本）。其中所述QUBO模型的具体求解过程将采用Kaiwu SDK所提供的模拟退火求解器以及基于CIM平台构建的有效模拟器来进行计算操作。在此过程中，请尽量降低整体所需使用的量子比特数目（因为当前SDK系统仅支持不超过100个量子比特的问题实例）。在实际应用中若所建模的情况超过了这一限制条件，则需深入思考并提出创新性的解决方案以应对这一技术瓶颈问题
问题3
在问题2的背景下，在配置了10种不同型号的矿车（参数参考表5）的情况下，设置挖掘机的数量为10（参数参考表6）。为了确保配置至少5种不同的挖掘机型号，并根据表7所示的匹配关系进行规划。假设初始投资预算设定为40,000万元，请构建QUBO模型，并利用Kaiwu SDK求解最优采购方案。特别地，在实际操作中建议采用分阶段求解策略：当构建的QUBO模型比特数较高时，可以通过每次提取一个子问题的方法（如subQUBO）来逐步解决原问题。这种分阶段方法结合了量子计算与经典计算的优势（详见附件4）。
问题4
请列举一个可能通过构建适当的QUBO模型实现决策优化的实际应用场景，并详细说明该场景的技术背景及潜在价值。该场景应具备显著的实际应用价值，并突出其在工业生产中的潜在优势及解决方案的具体实施路径。具体要求包括：1）阐述该应用场景的技术基础条件；2）明确该问题可转化为求解特定约束条件下的组合优化问题；3）建立相应的QUBO数学模型表达式，并简要说明其参数设置依据；4）提出基于现有算法框架的技术实现方案；5）给出预期的理论性能评估指标及其实现可行性分析；6）最后附上相关参考文献列表。
附件：MathorCup高校数学建模挑战赛历年优秀论文下载
全国高校数学建模竞赛期间提交的优秀学术成果集（2017至2022年）
思路与求解
为了解决这一问题，在深入分析智慧矿山的整体运作模式之前，请您先掌握相关技术方案的基本逻辑框架，并基于提供的数据信息构建相应的QUBO模型。
问题1：建立QUBO模型以最大化总利润
数据解读和模型构建
基于问题陈述，在预算限制内选择各种类型的挖掘机及其数量以实现总体最大利润。其次，在优化模型中设定决策变量x_i表示类型i挖掘机的数量。通过参考文献中的数据表可知，在各个工作状态下这些设备能带来的长期收益已按现值计算并进行了汇总。
挖掘机的成本和利润数据（例如）可能如下：
- 投入十万用于购买挖掘机设备，并带来二十万的收益。
- 投入十五万购买挖掘机设备，并带来三十万的收益。
- 投入两百万元购买挖掘机设备，并带来二十五万的收益。
- 投入二百五十万购买挖掘机设备，并带来三十五万的收益。
QUBO模型表达式
总预算不超过2400万元。我们可以构建QUBO模型如下：
优化目标（需最小化）：通过数学表达式表示为：
\text{Minimize} \; -\sum_{i} p_i x_i
其中，p_i代表挖掘机型号i对应的利润值。
将约束（预算限制）整合到目标函数中：
\text{Minimize} \; -\sum_{i} p_ix_i + \lambda\left(\sum_{i}c_ix_i - B\right)^2
其中c_i代表型号i的成本参数,B设定为固定的预算是2400万元,λ作为一个较大的惩罚系数被引入以确保不会超出预设的总预算限制。
求解
使用Kaiwu SDK的模拟退火求解器和CIM模拟器进行求解。
from kaiwu_sdk import QUBOSolver
# 例子：定义利润和成本
profits = [20, 30, 25, 35] # 单位：万元
costs = [100, 150, 200, 250] # 单位：万元
budget = 2400 # 单位：万元
num_types = len(profits)
# 构建Q矩阵
Q = [[0]*num_types for _ in range(num_types)]
lambda_penalty = 10 # 罚项系数
for i in range(num_types):
Q[i][i] = -profits[i] + lambda_penalty * costs[i]**2
for i in range(num_types):
for j in range(i+1, num_types):
Q[i][j] = 2 * lambda_penalty * costs[i] * costs[j]
# 调用求解器
solver = QUBOSolver()
solution = solver.solve(Q)
print("Purchased quantities:", solution)
代码解读问题2：考虑挖掘机和矿车的使用寿命，建立QUBO模型
数据解读和模型构建
在这个问题中, 不仅需要购买挖掘机, 还要科学配对矿车, 以实现5年内的总收益最大化. 设x_{ij}表示挖掘机型号i和矿车型号j的配对数量. 受限于问题本身, 不同类型的挖掘机只能与相同类型的矿车配对, 这一规定大大简化了模型.
成本与收益
- 挖掘机与运输车辆的费用C_{ij}。
- 挖运运输车辆产生的收入R_{ij}通过匹配效率计算得出了相应的收入R_{ij}。
QUBO模型表达式
总成本小于等于启动资金的投入范围之内，在此前提下我们期望实现利润的最大化。具体而言我们的优化模型旨在求解以下两个主要组成部分：第一部分是收益项R第二部分是成本项C两者之间的差额即为我们定义的目标函数即max{R - C}同时还需要满足一系列约束条件以确保实际可行性
\text{Minimize} - \sum_{i,j} R_{ij} x_{ij} + \lambda \left(\sum_{i,j} C_{ij} x_{ij} - B\right)^2
其中B是总预算，\lambda是一个大的罚项系数。
求解
使用Kaiwu SDK的模拟退火求解器和CIM模拟器进行求解。
from kaiwu_sdk import QUBOSolver
# 假设数据
costs = [[100, 150], [200, 250]] # 成本矩阵
revenues = [[20, 30], [25, 35]] # 收益矩阵
budget = 2400 # 总预算
# 构建Q矩阵
num_types = len(costs)
Q = [[0]*num_types for _ in range(num_types)]
lambda_penalty = 10 # 罚项系数
for i in range(num_types):
for j in range(num_types):
Q[i][j] = -revenues[i][j] + lambda_penalty * costs[i][j]**2 if i == j else 2 * lambda_penalty * costs[i][0] * costs[j][1]
solver = QUBOSolver()
solution = solver.solve(Q)
print("Matching matrix:", solution)
代码解读问题3：设计更复杂的采购与匹配方案
数据解读和模型构建
在当前研究领域中，我们深入分析当前所涉及的多种设备及其对应的预算需求。通过采用子QUBO方法以应对复杂度较高的挑战。
subQUBO 方法
- 将较大的QUBO问题划分为更小规模的子问题。
- 依次解决每一个子问题，并更新解决方案。
- 反复执行前述操作直至达到收敛状态。
求解
使用Kaiwu SDK进行解决。
# 假设已定义较大的Q矩阵
# 分解和求解subQUBO
sub_solutions = []
for subQ in decompose(Q):
solver = QUBOSolver()
sub_solution = solver.solve(subQ)
sub_solutions.append(sub_solution)
update(Q, sub_solution)
final_solution = aggregate(sub_solutions)
print("Final purchasing and matching plan:", final_solution)
代码解读问题4: 潜在的QUBO模型应用场景
场景描述
构建大型仓库管理系统时需对仓储布局安排进行优化，并对货物取货流程进行改进以实现缩短货物取货时间并提升仓储空间利用率
研究方法和技术路线图
- 建立决策变量x_{ijk}来表明物品i在仓库区j位置k的存在状态。
- 目标函数是使使用时间和移动距离最小化。
- 限制条件要求所有物品必须被唯一放置在仓库中的某个位置。
QUBO模型表达式
该模型旨在最小化总存储成本和约束条件下的优化目标函数。具体而言，在目标函数中包含三个部分：第一项\sum\limits_{i,j,k} t_{ijk}x_{ijk}表示各物品在不同位置上的存储成本；第二项\lambda_1\sum\limits_i\left(1-\sum\limits_{j,k}x_{ijk}\right)^2和第三项\lambda_2\sum\limits_{j,k}\left(1-\sum\limits_ix_{ijk}\right)^2分别用于约束物品数量和位置限制；其中t_{ijk}代表物品i存于位置(j,k)所需的时间。
预期结果
预期将实现高效率的空间布局安排和高效的物品取用速度，并突出量子计算在复杂优化问题中的显著优势。
该场景充分体现了QUBO模型在商业运营领域的潜力，并特别适用于物流与仓储管理领域。利用构建相应的QUBO模型能够有效提升运营效率及降低相关成本。