2024年第十四届MathorCup数学应用挑战赛A题思路分享（妈妈杯）
A题 移动通信网络中PCI规划问题
物理小区识别码（PCI）规划涉及在移动通信系统中下行链路层上对各覆盖区间的合理编号配置。该过程旨在防止 PCI 矛盾、混淆以及模3 干扰等现象的发生。通过该规划方案对于降低相邻小区间的干扰（ICI），提升下行控制信道（PDCCH）的数据传输效率具有重要意义。特别地，在基站边缘覆盖区域及信号切换场景下使用该规划方案能够显著降低信号干扰，并显著提升用户体验。
在移动通信系统中, PCI的数量受到严格限制,然而,在实际网络中小区数量却极为庞大,因此必须对pci进行有效的复用配置,这将带来pci资源合理利用的问题。不当的pci配置可能导致下行链路中的ic干扰显著上升,从而严重影响网络质量水平。在制定 pci 规划时需综合考量以下三种情况:_pci 冲突、_pci 混淆以及_pci模3 干燥现象。
在无线通信系统架构中，在满足以下条件下可定义相关概念：首先，在特定时间点上若某区域（如A）的相关主控设备能够接收另一区域（如B）的有效信号，则区域B被定义为区域A的一个邻域；其中当区域B与区域A具有相同的频率参数时，则该关系被归类为同频邻域关系；进一步地，在区域内某关键节点（如C）所接收本区域内（如A）发送过来的数据流强度值与其所接收其他相邻区域（如B）的数据流强度值之间的差值不超过设定值时（此处设定值取6），则该相邻关系将被认定为空间重叠覆盖关系
当主控小区与其一个同频邻区被分配相同的 PCI 时（如图 1 所示），小区 1 及其一个同频邻区 2 被分配了相同的 PCI 值 A，在这种情况下就会发生 PCI 冲突。可能导致被小区 1 应连接的用户设备误连接至小区 2。这种误判最终会导致无线信号服务中断，并进而造成下行网络资源错配配置的问题。
图1:PCI冲突的示意图
在主控小区的两个或多个同频邻区之间出现PCI混淆现象属于常见情况。如图2所示，在此情境下进行说明：假设小区1的两个邻居小区2和3都被分配了相同的 PCI 值 B。当小区1中的用户因移动或其他原因试图切换到 小区 2 时（注意此处修改），由于 小区 ② 和 3 的 PCI 设置相同（此处修改），用户的误操作可能导致其误切换至 小区 3（此处修改）。这种现象可能导致下行网络中用户在进行服务切换时出现信号中断以及资源分配错误（此处修改）。
图2: PCI混淆的示意图
PCI模3干扰会在主控小区与其一个同频重叠覆盖邻区被分配相同模3 PCI值时出现（如图3所示）。该情况发生在小区1与一个特定编号为②的小区之间（例如：小区1获得pci=1而小区2获得pci=7时二者模三值均为1），从而导致_pci_模三冲突的发生。当出现这种现象时，在小区1与2之间会因为参考信号叠加导致接收质量显著下降。与此同时这种冲突状况将引起cQI评估失误并引发下行网络延迟问题
PCI规划问题的目标旨在为小区合理配置PCI，并在确保网络中PCI冲突、混淆和模3干扰尽可能减少的情况下寻求最优解。
实际网络中存在多种表示PCI冲突混淆和模3干扰数量的方法这些方法包括利用路测数据点的具体情况进行分析还可以通过整个城市范围内的栅格化处理所有栅格的数据来实现这些技术手段中网优部门主要采用的是基于测量报告(MR)的数据模型。该模型由UE设备定期上报在通信过程中生成的一系列参数组成其中每个MR报告主要包括UE设备接入的主控小区信息接收到的邻区信息以及对应的信道质量值等关键指标。由于测量报告具有定期上报的特点在一定时间段内形成的MR数据能够较好地反映出业务量的空间分布情况同时考虑到MR数据在时间和空间维度上的全面性和广泛性基于这些参数计算出的结果能够较为准确地反映网络中的PCI指标水平
基于MR数据的PCI规划问题具体表现为：给定N个小区，在所有相关MR数据的基础上进行分析与整合后，并非直接生成三个维度均为N的矩阵；而是通过建立复杂的数学模型与算法优化计算流程，并最终得到三个相互关联且具有对称性的二维矩阵组合。
- 冲突矩阵A由元素a_{ij}组成，在此定义中，默认情况下a_{ij}仅用于表示第i个主控区与第j个邻区分组的情况。
- 混淆矩阵B=[v]_{ij}...在此定义中，默认情况下v_{ij}仅用于表示第i个区域单元被系统识别为主控区域单元时所对应的第j个区域单元的情况。
- 干扰矩阵C由元素c_{ij}组成，在此定义中，默认情况下c_{ij}仅用于表示主控区i与第j个区域单元之间存在干扰关系的情况。
若小区i和j配置相同的PCI参数，则冲突次数将提升a，并导致混淆次数上升by+b。当小区i和j配置的PCI模3结果相同时，则模3干扰次数将上升cij+cji。
在实际网络系统中，全部可用的物理信道资源单元数量为从零到一零零七共一零零八个。基于所附数据文件详细分析的结果，在某个特定区域内配置频率资源以支持二千零六十七个小区集合的无线接入需求。
问题1
为这2067个小区重新规划PCI配置，以最小化其间的冲突、混淆以及模3干扰的总MR数量。
问题2
考虑到冲突、混淆和干扰在不同方面的优先级差异，在为这2067个小区重新分配PCI的过程中也是要考虑这些小区之间存在的冲突、混淆以及模3干扰的问题。首先确保冲突相关的MR值降至最低水平，在此基础上确保混淆相关的MR值也降至最低水平，并尽量减少模3 interference所导致的MR影响。
在实际网络架构中，在原有2067个小区的基础上进行 PCI 重新规划后，在其周边的一些小区域内会产生模3干扰的MR数量的变化。
问题3
为这2067个小区进行PCI重新规划，在经过重新规划后, 所有相关小区间将最小化冲突型. 混淆型. 模3干扰型的影响总量
问题4
根据冲突、混淆和干扰的不同权重对2067个小区进行 PCI 重新规划，在此过程中需要考虑所有可能受到影响的小区间中的冲突、混淆和模3 干扰问题。具体实施时应首先将冲突类 MR 数降至最低水平，在此前提下再将混淆类 MR 数降至最低水平，并最终尽量降低模3 干扰类 MR 数。
注：上面四个问题中，除了正常完成论文外，每个问题对2067个小区分配的 PCI都填入“问题结果表.xlsx”文件对应的四个表单中，并单独上传至竞赛平台。
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思路与求解
为了有效解决移动通信网络中的PCI规划问题，在此过程中需要考虑到各个子问题的独特性以及对应的解决方案。在后续的内容中，我们将逐一细致地构建每个子系统的模型，并结合其具体情况制定相应的优化方案以确保整体规划的合理性和有效性。
问题1：基本问题的解决策略
目标： 最小化2067个小区间的冲突MR数、混淆MR数和模3干扰MR数的总和。
模型：
- 变量定义： 变量x_{ij}属于二元变量集，在表示小区i被分配到特定的 PCIj时取值为1，在其他情况下取值为0。
- 目标函数： 总成本\text{Minimize}\;Z=\sum_{i=1}^{2067}\sum_{j=1}^{2067}(A[i][j]+B[i][j]+C[i][j])\cdot x_{i,\text{PCI}_i}\cdot x_{j,\text{PCI}_j}。
- 约束条件： 对于所有小区i\in[1,2067]来说\sum_{j=0}^{1007}{x}_{ij}=1。
- 变量x_{ij}取值于二元集合\{0, 1\}。
问题2：考虑优先级的解决策略
目标：通过多阶段优化设计，在三重层次上依次最小化冲突类、混淆类以及模3干扰类的误报率指标。模型：采用分阶段优化的设计思路。
- 阶段1： 在实现任务目标的过程中，降低冲突MR的数量。
- 阶段2： 通过优化算法设计来实现，在完成任务目标的基础上（即实现了任务目标），通过改进算法设计来实现，在完成任务目标的同时（即完成了任务目标），进一步降低混淆MR的数量。
- 阶段3： 在完成了上述两个步骤的基础上（即在完成了任务目标以及降低了混淆MR数量的情况下），进行优化以减少模3干扰的影响，并在此基础上进行优化以减少模3干扰的影响。
问题3：考虑外围小区的影响
目标： 本研究旨在最小化所有可能受到影响的小区间冲突频次、混淆频次以及模3干扰频次的总数。
模型： 与问题1类似，在本研究中所涉及的矩阵计算需扩展至包含外围区域内的小区。
问题4：考虑优先级及外围小区的解决策略
目标： 以减少冲突为首要目标，在此基础之上逐步混淆以增强其鲁棒性，并最终引入模3干扰机制；同时确保所有可能受到影响的小区都能得到妥善处理。
模型： 采用分阶段优化策略，并与问题3中的矩阵定义相结合。
解决策略和方法
针对以上四个问题，一个实际的解决方案可以通过以下步骤进行：
- 数据预处理：构建冲突矩阵A、混淆矩阵B以及干扰矩阵C。
- 优化方法选择：鉴于问题的NP难性特性，在实现过程中可以选择遗传算法、模拟退火或者其他启发式算法来完成求解任务。
- 多阶段优化：针对需要考虑优先级的问题，在求解过程中可以通过逐步优化策略来实现各目标的分步改进。
- 验证和调整：在实验中可以根据结果的有效度以及实际应用中的反馈信息来进行模型参数的微调与改进工作。
示例代码框架（Python伪代码）
# 初始化参数
num_cells = 2067
num_pci = 1008
# 生成或读取冲突、混淆、干扰矩阵
A, B, C = generate_matrices(num
_cells)
# 定义优化问题（以问题1为例）
def optimize_pci():
solution = initial_solution(num_cells, num_pci)
best_score = evaluate(solution, A, B, C)
for i in range(iterations):
new_solution = modify_solution(solution)
new_score = evaluate(new_solution, A, B, C)
if new_score < best_score:
best_score = new_score
solution = new_solution
return solution
# 运行优化
best_pci_assignment = optimize_pci()
代码解读