《离散时间信号处理学习笔记》—z变换（二）
注：本博客是基于奥本海姆《离散时间信号处理》第三版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
一、z变换性质
1、以下讨论中，将X(z)记为x[n]的z变换，X(z)的收敛域用Rx表示，即
Rx代表一个满足
由z值构成的集合，在设计两个序列及其相关z变换的过程中，在研究它们之间的特性时
1、线性性质表明
正如所指出的, 为了将两个z变换之和分解为各自单独的z变换, 变量z必须同时存在于两个独立收敛区域内. 由此可知, 其收敛域至少是这两个独立收敛区域的交集部分.
2、时移
其中
3、用指数序列相乘
指数相乘性质在数学上的表示为
符号收敛域=
表示收敛域为R_x时，在引入缩放因子|\mathbf{z}_0|后会改变其大小；换句话说，在这种情况下|\mathbf{z}_0|R_x将对应地包含所有满足r_R < |\mathbf{z}| < r_L条件的\mathbf{z}值集合。
的z值集合。
4、X(z)的微分
微分性质表示为
5、复数序列的共轭
共轭性质表示为
6、时间倒置
时间倒置性质是指
其中，收敛域=1/Rx意指Rx的颠倒；即如果Rx是在
内z值得集合，那么X*(1/z*)的收敛域就是在
内z值得集合。
7、序列卷积
卷积性质有
8、z变换性质表
二、z变换与LTI系统
一个LTI系统可通过输入信号x\left [ n \right ]与h\left [ n \right ]进行卷积运算得到输出序列y\left [ n \right ]=x\left [ n \right ]*h\left [ n \right ]。其中h\left [ n \right ]表示该系统对单位脉冲序列\delta \left [ n \right ]的响应。基于上述性质可知：通过应用Z变换技术可求得输出序列y\left [n \right ]的Z域表达式为
式(3.1)
在式中，
H(z) 和 X(z) 分别对应 h[n] 和 x[n] 的 Z 变换；
其中 H[z] 被定义为具有脉冲响应 h[n] 的线性时不变（LTI）系统的系统函数。
基于由差分方程描述的线性时不変（LTI）系統而言, z變換將極其有價值。具有以下結構的形式之差分化程式
式(3.2)
当输入在n=0时刻之前恒为零且在输入由零转为非零的过程中满足初始松弛状态要求时
均被假定为零值。尽管具有初始松弛条件的差分方程可用于定义LTI系统，但仍希望了解其相应的系统函数。通过运用线性属性以及时移特性，则可推导出
式(3.3)
求解Y(z)，并用X(z)和差分方程的系数进行比较表示，可以得到
式(3.4)
分析式（3.1）与式（3.4）之间的关系后可知，在描述线性时不变系统的式（3.2）中所对应的传递函数即为
式（3.5）
基于式(3.2)所定义的差分方程系统的性质为因果性。根据以往的知识可知，在式(3.5)中H(z)必须具有一种收敛域形式为|z|>rR。由于收敛域内不得包含任何极点，则参数rR必须等于以原点为中心最远那个极点的距离。若rR小于1，则所有极点均位于单位圆内部，则该系统稳定，并可利用式（3.5）将z替换为z=ejω以求取其频率响应。
3、注意到，如果将式(3.2)用下面的等效形式来表示；
式(3.6)
如式（3.5）所示，则将该系统的传递函数（以及稳定系统下的评价响应）表征为两个以z-1为变量的一阶多项式的比例形式。这种表达方式便于后续简化运算，在此过程中我们能够清楚地认识到分子部分反映了输入信号及其延迟项与z的变化关系；而分母部分则直接关联着输出信号及其延迟项之间的关系。类似的逻辑下，在已知一个形如式（3.5）中的z-1比值形式传递函数的情况下，则可以直接构造出对应的一阶差分方程，并将其转换为类似于式（3.6）的形式从而得到所需的递归实现结构。
三、单边z变换
1、单边z变换的定义如下；
单边Z变换与双边Z变换的主要区别在于其积分（求和）下限始终固定在零点，在此范围之外不再考虑n < 0所对应的序列值x(n)。若序列在n < 0时取值为零，则单边Z变换与双边Z变换的结果完全相同；反之，在这种情况下（即当n < 0时序列值不为零），两者的结果则存在显著差异。
2、所有单边Z变换（Z-transform）的收敛域都表现为|Z| > r_R的形式；而对于有理型单边Z变换（rational Z-transform），其收敛域边界通常由复平面中离原点最远极点所决定。在数字信号处理领域中，则类似形式（如式3.2）的标准差分方程通常是在初始松弛条件下建立的；然而，在某些特殊情况下，则可能出现非初始松弛条件下的情况；此时，则表明单边Z变换（single-sided Z-transform）具备一种十分有用的功能特性；而对于单边Z变换而言，则如同双边Z变换一样具备相同的线性属性；不过这种属性却与双边Z transform存在显著差异。