Solving Numerical Problems with Artificial Intelligence
作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
随着科技的发展，数字处理的重要性日益凸显，其在人们日常生活中的应用范围不断扩大。数字技术的应用显著降低了处理复杂计算和模式识别的难度。然而，这些问题通常具有极高的计算复杂度，超出传统方法的解决能力。在这种背景下，如何借助人工智能技术来辅助解决这些问题，已成为研究的当务之急。近年来，基于神经网络的机器学习方法在多个领域取得了显著的应用进展。因此，本文旨在系统回顾人工智能技术在数值计算领域的最新应用进展。
2.问题定义及导读
概念定义
计算机科学中的数值运算（Numerical Operations），是指利用计算方法完成数学运算、数据表示和处理的具体方式。在计算机系统架构中，数值运算不仅用于存储和管理信息，还用于处理和分析数据，是工程应用和技术实践的重要基础。具体来说，它通常分为以下三个领域:
该领域的问题涵盖有限元法（FEM）和高斯积分（GI），涉及微分方程的求解、向量函数的代数运算，包括插值方法、求根算法、优化理论、模拟技术以及建模过程等。
数据处理（Data Processing）：这类问题通常涉及数据转换、分析和管理。数据处理与统计分析有所不同，其主要目标是整合、转换、过滤、归纳和呈现原始数据。
图像处理（Image Processing）：这类具体指的包括获取光信号或电子信号，并完成其处理、传输和显示等系列操作。
AI模型分类
人工智能研究从1956年图灵奖的诞生以来，始终致力于开发出一种可以理解、操控、自我更新的机器智能体，这种智能体能够进行预测、推断、学习、决策、决策制定、语言理解以及具备智慧。机器学习作为人工智能的重要分支，由周志华教授提出，其核心是一个计算机程序，通过大量数据训练，能够对输入的数据进行预测、归纳、总结、推断。因目前计算机的算力水平和存储能力不足，机器学习的效果受到较大的限制。近年来，随着深度学习的兴起，机器学习的发展速度显著超过过去几十年。在深度学习的框架下，人工智能模型达到了前所未有的高度。因此，本文将机器学习划分为监督学习、无监督学习、强化学习和集成学习四个子类。
监督学习（Supervised Learning）：主要采用提供带有标签的训练数据来进行训练的方式。在监督学习过程中，训练数据由输入样本及其对应的目标输出组成。常用的监督学习算法包括逻辑回归、线性回归、支持向量机（SVM）、决策树、随机森林以及Adaboost等方法。
无监督学习（Unsupervised Learning）：为模型提供数据但未附加任何标签作为训练数据的学习方法。在无监督学习中，训练数据仅包含输入变量，模型需要自主发现数据中的潜在结构。常用无监督学习方法包括集群分析、层次集群分析、降维技术、密度估计方法以及谱分析等。
强化学习（Reinforcement Learning）旨在通过提供奖励和惩罚机制，使模型在动态环境中做出最优决策。强化学习的目标是通过优化策略，实现长期收益最大化。常见的强化学习算法包括Q-learning、Sarsa、Actor-Critic和Policy Gradient等方法。
- 集成学习（Ensemble Learning）：是一种通过组合多个学习器以共同完成数据学习任务的方法。通过集成学习，可以显著提升学习性能。常见的集成学习算法包括Bagging、Boosting和Stacking等。
3. 核心算法原理和具体操作步骤以及数学公式讲解
FEM法求解Poisson方程
3.1 FEM法简介
FEM（有限元法）是一种源自古典力学与经典线性代数理论的计算技术，主要用于解决各种方程组的数值方法。它通过将问题分解为有限网格上的积分来实现对复杂系统的模拟与分析。
模型假设：FEM作为一种数值方法，通过离散化的方式对物理模型进行描述，对基本假设进行充分阐述是必要的。具体而言，首先，我们假设单元在空间网格中呈现均匀单位立方体的形状。接着，基于场的连续性，我们假设函数空间中的基函数不仅正交，还满足一致连续性。最后，我们假设在每个单元上，偏微分方程具有唯一的解析解。具体而言，我们考虑的方程形式为∇·(A(x)∇u(x))=f(x)，其中u(x)表示在网格上某一点处的值，A(x)则是一个厄米矩阵。
梯度计算过程：在任意一个单元的节点上，首先，在该节点的局部坐标系中计算梯度方向n，然后，利用该梯度方向对单元的参数坐标dxi进行求导运算，从而得到梯度场Δu。
-
应力计算：通过积分式计算单元元在ξ方向的二阶张量TR，得到应力场τ。
-
磁场计算：可以通过群公式计算单元元在ζ方向的二阶张量∇×H，得到磁场H。
3.2 FEM法求解Poisson方程
为了实现FEM法求解Poisson方程，我们需要准备如下条件：
-
拟合好的单元格信息；
-
有限元函数空间；
-
边界条件；
-
参数μ。
对于每个单元，我们要确定其形状函数g(r)和积分限界：
设r为局部坐标，g(r)为形状函数。若以η(r)表示界函数，其中Dirichlet边界条件为...，则得：
对于给定的边界条件Γ（ξ、η）和外部点，可以使用边界元素法（BEM）或边界条件重整化法（Boundary condition reformulation method）。边界元素法（BEM）通过求解由边界上每个结点对应的两个单元所形成的线性方程组，确定场函数η(r)的值。边界条件重整化法通过将约束条件直接嵌入到单元的运动方程中，从而能够快速获得边界元素。
-
首先确定单元内部参数μ：
-
对网格所有单元进行求解：
-
要求的Poisson方程组：
令：
将上述条件代入上式，即可得到系统方程。这里有两步求解。
第1步：通过克拉默特金小矩形式求解，得到梯度场Δu和应力场τ。
第2步：通过连续核函数法求解，得到磁场H。
3.3 克拉默特金小矩形式
基于这一形式，可以推导出场的局部特性。这一形式涉及形状函数g(r)与积分限的连续和一致局部坐标系之间的关系，通过推导可以得出关于形状函数的一阶偏导数的斜对称矩阵表达式。通过这一形式，可以对场的局部特性进行详细描述。
- 对于单元 Ui 中的形状函数 g ，首先计算局部坐标 r = xi - xj，在积分限界 η 上积分：
将积分限界 η 连续替换为边界条件，可得：
\begin{bmatrix}
G_x & S & T \
S^T & I_{nn} & O \
T^T & O & I_{tt}
\end{bmatrix}=
\int_{\Omega} G(\tilde{\sigma})\frac{\partial}{\partial x}(\mu^{-1}\nabla u)(\delta_{ij}-\epsilon_{ijk}\beta_{k})^{t+d}(u-\bar{u})\,\mathrm{d}\Omega
代码解读其中：
- \tilde{\sigma} 是局部雅可比矩阵，由局部雅可比矩阵乘积计算得到；
- G(\tilde{\sigma})=\frac{1}{h^2}\tilde{\sigma}^{ij}(\det J^{-1}+\det N_{jk}^{\prime}) 可被视为泊松核函数；
- (\delta_{ij}-\epsilon_{ijk}\beta_{k})^{t+d} 可视为扩散算符；
- \mu^{-1}\nabla u 可被视为压力算符；
- \alpha 和 \beta 分别表示约束函数；
- \bar{u} 是单元 Ui 的平均值，具体表示为各点求和后的数值；
- I_{nn},I_{tt} 均为单位矩阵。
当设定的边界条件 Γ （ξ，η） 为 Dirichlet 型时，可以在边界积分中直接取用 \delta_{ik}-\epsilon_{ijk}\beta_{k}=-1 以得到矩阵 G。而当设定的边界条件 Γ （ξ，η） 为 Neumann 型或 Robin 型时，还需考虑边界积分中的差分项。此时，由于法向矢量的一阶导数存在，需额外引入边界元的表面积。
- 计算边界元的小矩形式：
\sum_{h=1}^N\int_{\Gamma_{h}}G(\tilde{\sigma})\frac{\partial}{\partial s}(u-\bar{u})\frac{\partial}{\partial t}(u-\bar{u})\,\mathrm{d}s+\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\nabla v\cdot\left(\frac{\partial u}{\partial n}-\delta_{ik}\right)\frac{\partial v}{\partial t}\,\mathrm{d}s+\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial n}\,\mathrm{d}s
+\int_{\Gamma_{h}}\left.\frac{\partial H_{mn}}{\partial n}\right|_{\partial \Gamma_{h}}\frac{\partial u}{\partial t}\,\mathrm{d}s
+\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\nabla w\cdot\frac{\partial u}{\partial n}\frac{\partial v}{\partial s}-\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial w}{\partial n}\,\mathrm{d}s-\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\frac{\partial u}{\partial n}\frac{\partial w}{\partial t}\,\mathrm{d}s
-\int_{\Gamma_{h}}\frac{\partial T_{n}}{\partial n}\frac{\partial u}{\partial t}\,\mathrm{d}s
=\int_{\Gamma_{h}}\left(-\frac{\partial}{\partial s}\mu^{-1}\frac{\partial p}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial t}\mu^{-1}\frac{\partial q}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial n}\mu^{-1}\frac{\partial u}{\partial z}\right)\,\mathrm{d}s
+\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\nabla w\cdot\left[\frac{\partial}{\partial s}\nabla u-\frac{\partial}{\partial t}\nabla v\right]\,\mathrm{d}s+\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\left[\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial u}{\partial n}-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial n}\right]w\,\mathrm{d}s-\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\frac{\partial w}{\partial n}\frac{\partial u}{\partial t}\,\mathrm{d}s-\int_{\Gamma_{h}}\mu^{-1}\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial n}\,\mathrm{d}s-\int_{\Gamma_{h}}\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial T_{n}}{\partial n}\,\mathrm{d}s
代码解读在该区域中，边界元 \Gamma_{h} 由单元剖分 \mathcal{T}_{h} 定义。当边界元的位置发生变化时，取值不同的单元可能会导致相同的小矩形式的出现。值得注意的是，边界积分的结果应当保持一致。
在存在不规则面的限制情况下，通过小矩形式的改造可以直接表达梯度场的边界条款。将不规则面的法向量定义为φ，同时引入变形变量ψ。ψ反映了不规则面的退化程度，同时满足约束关系：
1. 引入拉普拉斯变换：对于任意相邻的两个单元，我们通过其共同边界的同一面来建立不变映射 \varphi_{\mathcal{L}} 。由此可知，
其中 M 为不规则面的参考配置， M 通过 B Spline 函数插值获得。
特别注意：M在整个区域内应保持一致性，不能被分割成碎片，由此可知\varphi_{\mathcal{L}}是一个连续映射。
在该区域内，假设速度场和边界压力场均满足边界条件。假设在相邻单元面上的单元，分别由 L 和 R 进行标记。由此可得，
则可认为，当 \xi 不在 [0,1] 范围内时，沿着 (\mathcal{L},\mathcal{L}) 方向的单元由右侧单元（R）定义，其拉普拉斯变换 \tilde{\psi}_R 应当满足：
\tilde{\psi}_R=(\tan^{-1}\frac{|\varphi_{RB}|}{r_B})n_B+m_Br_Bn_B
- 当 \xi 的取值范围限定在 [0,1] 区间时，则可认为沿着 (\mathcal{L},\mathcal{L}) 方向的单元是由左侧单元（L）所定义的，其拉普拉斯变换 \tilde{\psi}_L 应该满足一定的条件：*
\tilde{\psi}_L=(\tan^{-1}\frac{|\varphi_{LB}|}{r_B})n_B+m_Br_Bn_B
2. 小矩形式的改造：根据拉普拉斯变换，引入标量函数 \alpha ，
该表达式等于左边表达式的绝对值，其中左边表达式由三个部分组成，包括一个反正切函数项和两个线性项。
将公式改写为：\alpha_{R}等于\tilde{\psi}_R的绝对值，这等于由\tilde{\psi}_{BR}加上一个涉及\tan^{-1}函数和变量r_B, n_B, m_B的表达式，再减去\tilde{\psi}_{RL}的绝对值。
接下来，利用 E=H/c^2,
上式可以转化为
其中，
- \Delta_1=\frac{p}{\rho c^2}-\lambda/(E-p) 代表熵墙；
- \lambda 表示与速度相关的源项，对应沿速度的散聚效应；
- \lambda^* 表示与位移相关的源项，对应沿位移的迁移效应；
- D 为对角线矩阵，其对角线元素为压力。