一维离散动力学系统的混沌研究【基于matlab的动力学模型学习笔记_8】

混沌理论研究了一维动力学系统的复杂行为，通过正弦函数、Logistic映射和余弦函数的动力学方程展示了系统的混沌特性。正弦函数型动力学微分方程的混沌系统中，随着参数λ的变化，系统经历了三次分岔，最终进入混沌状态；Logistic映射在参数α大于1且小于3.5时表现出混沌行为，种群数量趋于稳定；余弦函数型动力学微分方程的混沌系统中，参数λ的变化也导致了三次分岔，随后进入混沌状态。通过仿真分析，揭示了不同动力学方程对系统发展和混沌产生的重要影响。

摘 联： 混沌现象（Chaos）是确定性系统中表现出的看似随机的不规则运动特征，本文将基于几种经典的单变量动力学方程组，深入研究其混沌产生机制及其对应的MATLAB仿真分析。

仅作为学习笔记使用，如有任何意见或建议，欢迎随时进行友好交流和指正。如能提供任何帮助，我们将会深感荣幸。

目录

0 引言

1 正弦函数型动力学微分方程的混沌

1.1系统的混沌

1.2系统分岔值的求解

2 Logistic映射

2.1系统的混沌

3 余弦函数型动力学微分方程的混沌

3.1系统的混沌

4 总结

参考文献

0 引言

混乱（Chaos）被定义为发生在确定性系统中看似随机的不规则运动。长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性运动学描述方法，即确定的运动具有完美的解析解。然而，在自然界中，非线性现象往往发挥着关键作用。混沌运动被描述为确定性系统中对初始条件具有敏感依赖性的回复性非周期运动。混沌理论属于非线性科学，只有非线性系统才能产生浑沌运动。1963年，Lorenz在美国气象研究中首次发现空气动力学领域中的混沌现象，这一发现使得非线性动力学成为解决复杂自然现象的有效工具。1975年，混沌一词首次出现在科学文献中，标志着非线性动力学理论的正式诞生。自此以来，非线性动力学迅速发展，成为涵盖广泛科学领域的研究领域，其研究内容包括电子学、物理学、气象学、生态学、数学以及经济学等多个学科。

一般而言，一个近似现实但完全无内生随机性的模型若表现出看似随机的行为，则可称该真实物理系统为混沌系统。按照确定的规律变化或具有轻微随机性的系统统称为动力系统，其状态可通过一个或多个变量的数值来确定。在某些动力系统中，两个极其接近的初始状态经过充分长时间后会变得完全不一致，类似于从长序列中任选的两个状态，这种现象被称为对初始条件的敏感依赖性。而对初始条件的敏感依赖性也可被视为混沌的一个定义。

本文将基于经典的单变量混沌系统展开研究，从该系统的角度，探讨动力学演化规律、混沌机制的形成机理，并结合MATLAB进行仿真分析。通过系统分析，全面解析混沌现象的本质特征及其发展规律。

1 正弦函数型动力学微分方程的混沌

1.1系统的混沌

该动力学微分方程的状态变量随着时间的推移呈现离散性特征，也可称为离散动力学微分系统，其数学表达式为：

其中：

使用MATLAB计算随着

的逐渐增大，迭代

的值，程序如下：

 f=@(a,x)a*sin(pi*x);%动力微分方程(补充：@(x)表示匿名函数，可以接受输入并返回输出)

    
 hold on;
    
 for x0=-1:0.1:1% x的取值迭代
    
     for a=0:0.01:1%系统函数的取值
    
     y=diedai(f,a,x0);
    
     for count=1:32
    
         plot(a,y(count),'k.');
    
         hold on;
    
     end
    
     end
    
 end
    
 子函数：
    
 function y=diedai(f,a,x1)
    
 N=32;
    
 y=zeros(N,1);
    
 for i=1:1e4
    
     x2=f(a,x1);
    
     x1=x2;
    
     y(mod(i,N)+1)=x2;
    
 end
    
 end

为了使表达更加清晰明了，该内容将整体结构分为主函数和子函数两部分，其中，子函数主要负责执行迭代操作。

仿真结果：

其中，横轴代表系统参数

在图中，纵轴标注为迭代值x。可以看出，系统在0.3处出现第一次分岔，在0.7附近出现第二次分岔，随后于0.8区域呈现第三次分岔特征，而当参数达到0.86时，系统进入混沌状态。

1.2系统分岔值的求解

在当前计算过程中，当重复计算x时，其呈现多个值且最大值与最小值的差超过0.001，此时，系统被判断为分岔。

①求解第一个分岔值(在0.3左右)

MATLAB程序：

 f=@(a,x)a*sin(pi*x);

    
 format short;
    
 x0=0.1;
    
  for a=0.3:0.0001:0.32%为了节省计算量，将第一个分岔值预估在0.3-0.32之间
    
     y=diedai(f,a,x0);
    
     if max(y)>0.001
    
     disp(a);
    
     break;
    
     end
    
  end
    
 计算结果：
    
  
    
 求得第一个分岔值为0.3183.
    
 ②求解第二个分岔值(在0.7左右)
    
 MATLAB程序：
    
 f=@(a,x)a*sin(pi*x);
    
 format short;
    
 x0=0.1;
    
  for a=0.7:0.0001:0.72%为了节省计算量，将第一个分岔值预估在0.7-0.72之间
    
     y=diedai(f,a,x0);
    
     if max(y)- min(y)>0.001
    
     disp(a);
    
     break;
    
     end
    
  end
    
 计算结果：
    
  
    
 求得第二个分岔值为0.7200.
    
 ③求解第三个分岔值(在0.8左右)
    
 f=@(a,x)a*sin(pi*x);
    
 format short;
    
 x0=0.1;
    
  for a=0.8:0.0001:0.85%为了节省计算量，将第一个分岔值预估在0.8-0.85之间
    
     y=diedai(f,a,x0);
    
     if abs(y(32)-y(30))>0.001%从图像可以看出，由于迭代值已经分岔到关于横轴对称，因此用最大值与最小值之间的差值来衡量分岔已经不合理了，因此利用diedai,m函数里面的第32次迭代(最后依次迭代)和第30次迭代之间的差值来比较。
    
     disp(a);
    
     break;
    
     end
    
  end

计算结果：

求得第三个分岔值为0.8333.

2 Logistic映射

2.1系统的混沌

具有类似的动态特性，Logistic映射同样属于一维离散动力学系统，其定义是：

其中

为系统参数，

其程序为：

 clc, clear,  
    
 hold on
    
 for a=0:0.01:4
    
     x1=0.1;%初值设置
    
     for i=1:100
    
     x2=a*x1*(1-x1);%动力学迭代方程
    
     x1=x2;
    
     if i>70, plot(a,x1,'.'), end
    
     end
    
 end
    
 xlabel('\alpha'), ylabel('\it x','rotation',0)

仿真结果：

Logistic映射也被称作种群数量模型，这是因为该模型最初就是用来描述某种群数量随时间的变化过程。由于资源有限、生存空间受限以及天敌的存在等因素，种群数量不可能无限增长，当超过一定数量界限后，种群个体之间就会出现激烈的竞争，‘适者生存’，只有那些适应能力更强的个体才能存活下来。这与系统参数达到一定规模时，系统图像所呈现的混沌状态具有相似性。

与正弦型函数引起的混沌不同，虫口模型的混沌状态出现在系统参数超过一定数值后昆虫数量才开始发生变化。换句话说，当系统参数超过1时，该系统才能完成数量上的增长迭代，从而推动种群的持续发展。但值得注意的是，当系统参数达到3.5左右时，即进入混沌状态，该种群将难以持续稳定地发展。

因此，对于该模型下的种群，当系统参数

时，种群能够得到较好的发展，也可以把

理解为Logistic映射的适宜增长参数。

3 余弦函数型动力学微分方程的混沌

3.1系统的混沌

该动力学微分方程的状态变量随着时间的离散变化而变化，也可以称为离散动力学微分系统，其方程表达式为：

其中：系统的参数

程序段：

 f=@(a,x)a*cos(pi*x);%动力微分方程(补充：@(x)表示匿名函数，可以接受输入并返回输出)

    
 hold on;
    
 for x0=-1:0.1:1% x的取值迭代
    
     for a=0:0.01:1%系统函数的取值
    
     y=diedai(f,a,x0);
    
     for count=1:32
    
         plot(a,y(count),'k.');
    
         hold on;
    
     end
    
     end
    
 end
    
 子函数：
    
 function y=diedai(f,a,x1)
    
 N=32;
    
 y=zeros(N,1);
    
 for i=1:1e4
    
     x2=f(a,x1);
    
     x1=x2;
    
     y(mod(i,N)+1)=x2;
    
 end
    
 end

同第一章所述的正弦函数的混沌特性相仿，在本章中，为确保表达清晰明了，我们将内容划分为主函数和子函数两大类。其中，子函数主要负责迭代计算的部分，而主函数则负责输入方程。

仿真结果：

其中，横轴代表系统参数

纵轴为迭代值，从仿真图可以看出，在0.4附近呈现第一次分岔，在0.6附近呈现第二次分岔，在0.65附近呈现第三次分岔，之后，系统进入混沌状态。

4 总结

通过上述三个实例，我们可以看出，在一维系统中，系统参数对相应的动力学方程以及系统的演进具有关键影响。当虫口模型的系统参数低于1时，系统甚至无法正常进行迭代繁殖，而当系统参数超过3.5时，系统将发展为混沌状态。可以看出，对系统参数的调节具有显著影响作用，这极大地影响着生物模型的演进过程。

而正弦和余弦函数所对应的混沌现象，即使其初始条件设定相同，其变化轨迹仍然呈现出显著的差异。这种现象充分揭示了动力学方程在系统演化过程中的主导作用及其对混沌形成机制的揭示具有重要意义。

参考文献

1. 李静、向菲、张军朋. 基于混沌理论的数字图像加密方案. 电子设计工程, 2019, 27(12):84-88.
2. 彭川、莫海芳. 利用Logistic混沌序列的鲁棒数字水印技术. 计算机仿真, 2012, 29(9):278-282.
3. 柯赟、蒋天发. 基于离散余弦变换和Contourlet变换混合的图像水印方案. 武汉大学学报：工学版, 2012, 45(2):264-267.