Reconfigurable Intelligent Surface Assisted NOMA Empowered Integrated Sensing and Communication

文章目录

• • II. SYSTEM MODEL AND PROBLEM FORMULATION

  • • A. Communication model
    • B. Radar detection model
    • C. Maximize the minimum beampattern gain

  • III. PROPOSED SOLUTION

  • • A. Joint active beamforming and power allocation coefficients optimization

II. SYSTEM MODEL AND PROBLEM FORMULATION

如图1所示，所考虑的RIS-NOMA-ISAC系统由一个配备 N_T 天线的双功能基站(BS)、2K 单天线用户、一个具有 M 个反射元件的均匀线阵(ULA)-RIS和 L 个雷达目标组成。我们假设BS到通信用户和雷达目标的直接链路被阻断，即需要或使用RISs时的典型应用场景。因此，在我们的系统中，我们假设所有的通信用户和雷达目标都在BS的NLoS区域。我们仔细部署RIS，以确保所有目标都在RIS的LoS区域。

为了提高频谱效率和降低系统负载，我们假设采用用户聚类技术将 2K 个用户分成 K 个簇。因此，每个集群中有两种类型的用户，即 RIS-near user （RNU）和 RIS-far user（RFU）。一般来说，RNU比RFU更接近RIS。在每个簇中，在传输过程中应用NOMA协议。簇和用户集分别用 \mathcal{K}=\{1,\cdots,K\} 和 \mathfrak{U}=\{1,\cdots,2K\} 表示。为简便起见，我们将第 k 个簇中的RNU和RFU分别表示为用户 \mathcal{U}(k,n) 和用户 \mathcal{U}(k,f)。

A. Communication model

BS发射的叠加通信信号由

\begin{equation*}\displaystyle \mathrm{x}=\sum_{k=1}^{K}\mathrm{w}_{k}(\sqrt{a_{k,n}}s_{k,n}+\sqrt{a_{k,f}}s_{k,f}), \tag{1}\end{equation*}

其中 \mathbf{w}_{k}\in\mathcal{C}^{N_{\mathrm{T}}\times 1} 是第 k 个簇的主动波束形成向量，s_{k,i} 表示发送给用户 \mathcal{U}(k,i) 的通信信号，\mathbb{E}(s_{k,i}^{H}s_{k,i})=1，,a_{k,i} 是对应的功率分配系数，i\in\{n,f\},k\in\mathcal{K}。设 \mathbf{G}\in\mathcal{C}^{M\times N_{\mathrm{T}}} 和 \mathbf{g}_{k,i}\in\mathcal{C}^{M\times 1} 分别为通信链路 BS\rightarrowRIS 和 RIS\rightarrow\mathcal{U}(k,i) 的信道系数。在RIS的帮助下，用户 \mathcal{U}(k,i) 接收到的信号可以数学表示为

\begin{equation*}y_{k,i}=(\displaystyle \mathbf{g}_{k,i}^{H}\boldsymbol{\Theta G})\sum_{k=1}^{K}\mathbf{w}_{k}(\sqrt{a_{k,n}}s_{k,n}+\sqrt{a_{k,f}}s_{k,f})+z_{k,i}, \tag{2}\end{equation*}

其中 \Theta=\operatorname{diag}(\mathbf{v}) 为RIS的对角线相移矩阵，\mathbf{v}=[e^{j\theta_{1}^{\mathrm{RIS}}}e^{j\theta_{2}^{\mathrm{RIS}}}\cdots e^{j\theta_{M}^{\mathrm{RIS}}}] 为被动波束形成矢量。RIS中，\theta_{m}^{\mathrm{RIS}}\in[0,2\pi) 表示第m个反射元相移，m\in\mathcal{M}，z_{k,i}\sim\mathcal{C N}(0,\sigma^{2}) 为加性高斯白噪声(AWGN)， \mathcal{M}=\{1,2,\cdots,M\} 为反射元集。

在本文提出的 RIS-NOMA-ISAC 系统中，采用逐次干扰抵消（successive interference cancellation，SIC）技术对同一集群内的用户信号进行解码。我们假设每个簇中的解码顺序是固定的。特别地，用户 \mathcal{U}(k,n) 首先解码用户 \mathcal{U}(k,\ f) 的信号，从它的观测中减去这个信号来解码它自己的信息。因此，用户 \mathcal{U}(k,n) 译码用户 \mathcal{U}(k,\ f) 信号的可达速率为

\begin{equation*}R_{k,f\rightarrow n}=\displaystyle \log_{2}\left(1+\frac{a_{k,f}|\mathbf{g}_{k,n}^{H}\mathbf{\Theta}\mathbf{G w}_{k}|^{2}}{I_{k,n}^{\text{iner}}+I_{k,n}^{\text{iter}}+\sigma^{2}}\right), \tag{3}\end{equation*}

其中 I_{k,n}^{\text{iner}}=a_{k,n}|\mathbf{g}_{k,n}^{H}\boldsymbol{\Theta}\mathbf{G w}_{k}|^{2}，I_{k,n}^{\mathrm{iter}}= \displaystyle \sum_{\widetilde{k}\neq k}^{K}|\mathbf{g}_{k,n}^{H}\boldsymbol{\Theta G}\mathbf{w}_{\widetilde{k}}|^{2}。

I_{k,n}^{\text{iner}} 表示簇间的干扰，该信号是发送给用户 \mathcal{U}(k,n)的；I_{k,n}^{\mathrm{iter}} 是来自别的簇的干扰

如果上述解码成功，那么用户 \mathcal{U}(k,n) 从 y_{k,n} 中删除信号 在 s_{k,f} 以进一步解码其自己的信号 s_{k,n}。对应的个体可达速率由

\begin{equation*}R_{k,n}=\displaystyle \log_{2}\left(1+\frac{a_{k,n}|\mathbf{g}_{k,n}^{H}\boldsymbol{\Theta}\mathbf{G w}_{k}|^{2}}{I_{k,n}^{\text{iter}}+\sigma^{2}}\right). \tag{4}\end{equation*}

相应地，用户 \mathcal{U}(k,f) 将用户 \mathcal{U}(k,n) 的信号视为干扰，直接解码自己的信号。因此，用户 \mathcal{U}(k,f) 解码自己信号的可达速率可以表示为

\begin{equation*}R_{k,f\rightarrow f}=\displaystyle \log_{2}\left(1+\frac{a_{k,f}|\mathbf{g}_{k,f}^{H}\boldsymbol{\Theta G w}_{k}|^{2}}{I_{k,f}^{\text{iner}}+I_{k,f}^{\mathrm{iter}}+\sigma^{2}}\right), \tag{5}\end{equation*}

其中 I_{k,f}^{\text{iner}}=a_{k,n}|\mathbf{g}_{k,f}^{H}\boldsymbol{\Theta}\mathbf{G w}_{k}|^{2}，I_{k,f}^{\text{iter}}= \displaystyle \sum_{\tilde{k}\neq k}^{K}|\mathbf{g}_{k,f}^{H}\boldsymbol{\Theta}\mathbf{G}\mathbf{w}_{\widetilde{k}}|^{2}。

因此，用户 \mathcal{U}(k,f) 的个人可达速率为

\begin{equation*}R_{k,f}=\displaystyle \min\{R_{k,f\rightarrow n},\ R_{k,f\rightarrow f}\}. \tag{6}\end{equation*}

B. Radar detection model

由于所有潜在目标都在BS的非目标区，来自BS的非目标区链路可以被利用来执行雷达目标感知。然而，我们可以利用RIS创建的 reflection-LoS links 来完成传感任务。我们考虑使用RIS的波束方向增益作为传感性能指标。RIS处的反射信号可以表示为

\begin{equation*}\displaystyle \overline{\mathbf{x}}=\boldsymbol{\Theta G}(\sum_{k=1}^{n}\mathbf{w}_{k}(\sqrt{a_{k,n}}s_{k,n}+\sqrt{a_{k,f}}s_{k,f})).\tag{7}\end{equation*}

因此，相应的 协方差矩阵为

\begin{equation*}\displaystyle \mathbf{R}_{\overline{\mathbf{x}}}=\mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{x x}}^{H}\right)=\boldsymbol{\Theta G}\left(\sum_{k=1}^{K}\mathbf{w}_{k}\mathbf{w}_{k}^{H}\right)\mathbf{G}^{H}\mathbf{\Theta}^{H}. \tag{8}\end{equation*}

在我们所考虑的系统中，通信信号用于雷达目标感知，因此RIS的波束方向图增益相对于第 q 个感兴趣角为 \theta_{q}^{\mathrm{T}\mathrm{g}}

\begin{equation*}\displaystyle \mathcal{P}_{\theta_{q}}^{\mathrm{T}_{g}}\left(\mathbf{w}_{k},\mathbf{v}\right)=\boldsymbol{a}^{H}\left(\theta_{q}^{\mathrm{Tg}}\right)\boldsymbol{\Theta G}\left(\sum_{k=1}^{K}\mathbf{w}_{k}\mathbf{w}_{k}^{H}\right)\mathbf{G}^{H}\boldsymbol{\Theta}^{H}\boldsymbol{a}\left(\theta_{q}^{\mathrm{Tg}}\right), \tag{9}\end{equation*}

其中 \boldsymbol{a}\left(\theta\right)=\left[1,e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\left(\theta\right)},\cdots,e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\left(M-1\right)\sin\left(\theta\right)}\right]^{T}角为 θ 的RIS导向矢量，d 为天线间距，λ 为载波波长，q∈q，{1,2，···，q}， q\in\mathcal{Q}\triangleq \{1,2,\cdots,Q\}，\mathcal{Q}_\theta=\left\{\theta_1^{\mathrm{Tg}}, \theta_2^{\mathrm{Tg}}, \cdots, \theta_Q^{\mathrm{Tg}}\right\} 为感兴趣的传感角度集合。

C. Maximize the minimum beampattern gain

本文的目标是通过联合优化BS处的有源波束形成和功率分配系数，以及RIS处的无源波束形成，来最大化朝向 Q 感兴趣角的最小波束方向增益。据此，优化问题被表示为

\begin{align*} &\max_{\mathbf{a}_{k},\mathbf{w}_{k},\mathbf{v}}& &\min_{q\in \mathcal Q}\mathcal{P}_{\theta_{q}^{\mathrm{Tg}}}(\mathrm{w}_{k},\ \mathrm{v}), \tag{10a} \\ & \text { s.t. } & &R_{k,i}\geq R_{k,i}^{\min}, \tag{10b}\\ & &&\sum_{k=1}^{K}\left\|\mathbf{w}_{k}\right\|_{2} \leqslant P_{\max }, \tag{10c}\\ & & &a_{k, n}+a_{k, f}=1, a_{k, i} \in(0,1), \tag{10d}\\ &&& \theta_{m}^{\mathrm{RIS}} \in[0,2 \pi) \tag{10e} . \end{align*}

式中 R_{k,i}^{\min} 为最小QoS要求，P_{\max} 为BS处的最大发射功率，\mathbf{a}_{k}=[a_{k,n}, a_{k,f}]^{T},i\in \{n,f\},k\in\mathcal{K},m\in\mathcal{M}。

III. PROPOSED SOLUTION

在本节中，我们详细阐述如何解决问题(10)。我们首先将问题(10)转化为更容易处理的形式。为了便于设计，我们定义 \mathbf{W}_{k}=\mathbf{w}_{k}\mathbf{w}_{k}^{H}，其中 \mathbf{W}_{k}\succcurlyeq 0，排名 rank(\mathbf{W}_{k})=1,k\in\mathcal{K}。同样，我们定义 \mathbf{V}=\mathbf{v v}^{H}，满足 \mathbf{V}\succcurlyeq 0 且 rank(\mathbf{V})=1。然后，波束增益可以重新表示为

\begin{equation*}\displaystyle \mathcal{P}_{\theta_{q}}\left(\mathbf{W}_{k},\mathbf{V}\right)=\operatorname{Tr}\left[\mathbf{V}\mathbf\Upsilon_{q}\left(\sum_{K=1}^{K}\mathbf{W}_{k}\right)\boldsymbol{\Upsilon}_{q}^{H}\right], \tag{11}\end{equation*}

其中 \mathbf{\Upsilon}_{q}=\operatorname{diag}\left\{\boldsymbol{a}^{H}\left(\theta_{q}^{\mathrm{Tg}}\right)\right\} \mathbf{G}。

此外，我们引入了一个辅助变量 \chi，将问题(10)中的非光滑目标函数转换为光滑目标函数。最后，可以将原问题(10)等价地重铸为:

\begin{align*} \max_{\substack{x>0,\mathbf{a}_k,\\ \mathbf{W}_k\succ0,\mathbf{V}\succ0}} \quad & \chi, & (16a) \\ \text{s.t.} \quad & \text{Tr}\left( \mathbf{V}\mathbf\Upsilon_{q}\left(\sum_{k=1}^{K} \mathbf{W}_k \right)\mathbf\Upsilon_{q}^H \right) \geq \chi, & (16b) \\ & \sum_{k=1}^{K} \text{Tr}(\mathbf{W}_k) \leq P_{\max}, & (16c) \\ & [\mathbf{V}]_{m,m} = 1, & (16d) \\ & \text{rank}(\mathbf{W}_k) = 1, & (16e) \\ & \text{rank}(\mathbf{V}) = 1, & (16f) \\ & \text{(10d)}, (13), (14), (15), & (16g) \end{align*}

其中 i \in\{n, f\}, k \in \mathcal{K}, m \in \mathcal{M}, q \in \mathcal{Q}。

A. Joint active beamforming and power allocation coefficients optimization

在本小节中，我们旨在通过求解问题(16)优化有源波束成形和功率分配系数，固定无源波束成形矩阵 \mathbf{V}。特别地，我们可以通过求解以下优化问题来获得最优的 \{\mathbf{W}_{k}\} 和 \{\mathbf{a}_{k}\} :

\begin{align*}&\max _{\chi\gt 0, \mathbf{a}_k, \mathbf{W}_k \succcurlyeq 0} \chi,\tag{17a}\\ &s.t . \text{(10d), (13), (14), (15), (16b), (16c), (16e). }\tag{17b}\end{align*}

解决问题(17)的难点是(13)(14)(15)(16e)的非凸约束。我们首先通过引入一个新的松弛变量 \eta_{k} 来处理约束(13)，然后我们有

\left\{\begin{align*} a_{k, n} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k} \mathbf{H}_{k, n}\right) \geqslant \eta_{k}^{2},\tag{18} \\ \eta_{k}^{2} \geqslant r_{k, n}^{\min }\left(I_{k, n}^{\text {iter }}+\sigma^{2}\right)\tag{19}, \end{align*}\right.

其中 \mathbf{H}_{k,n}=\boldsymbol{\Gamma}_{k,n}^{H}\mathbf{V}\boldsymbol{\Gamma}_{k,n} 和 I_{k,n}^{\mathrm{iter}}=\displaystyle \sum_{\tilde{k}\neq k}^{K}\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{\widetilde{k}}\mathbf{H}_{k,n})。

然后，通过应用 Schur complement theory[10]，(18)可以表示为线性矩阵不等式形式

\begin{equation*}\begin{bmatrix} a_{k, n} & \eta_k \\ \eta_k & \operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_k \mathbf{H}_{k, n}\right) \end{bmatrix} \succcurlyeq 0, \exists \eta_k\gt 0\tag{20}\end{equation*}

进一步，利用基于一阶泰勒近似的连续凸近似(SCA)方法，(19)可近似为：

\begin{equation*}\eta_{k}^{2}+2\tilde{\eta_{k}}(\eta_{k}-\tilde{\eta_{k}})\geq r_{k}^{\min_{n}}(I_{k,n}^{\mathrm{iter}}+\sigma^{2}), \tag{21}\end{equation*}

其中 \tilde{\eta}_{k} 是一个不动点，可以通过 \tilde{\eta}_{k}^{(t_{1})}=\eta_{k}^{(t_{1})} 进行更新，t_1 是迭代指数。

接下来，我们处理约束(14)和式(15)。将 a_{k,f}=1-a_{k,n} 代入(14)和(15)，我们有:

\begin{equation*}\displaystyle \frac{r_{k,f}^{\min}\left(\frac{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n}\right)}{r_{k,f}^{\min}}-I_{k,n}^{\mathrm{iter}}-\sigma^{2}\right)}{r_{k,f}^{\min}+1}\geqslant a_{k,n}\operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n}\right)\tag{22}\end{equation*}

\begin{equation*}\displaystyle \frac{r_{k,f}^{\min}\left(\frac{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f}\right)}{r_{k,f}^{\min}}-I_{k,f}^{\mathrm{iter}}-\sigma^{2}\right)}{r_{k,f}^{\min}+1}\geqslant a_{k,n}\operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f}\right) \tag{23}\end{equation*}

其中 \mathbf{H}_{k,f}=\boldsymbol{\Gamma}_{k,f}^{H}\mathbf{V}\boldsymbol{\Gamma}_{k,f} 和 I_{k,f}^{\mathrm{iter}}=\displaystyle \sum_{\tilde{k}\neq k}^{K}\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{\tilde{k}}\mathbf{H}_{k,f})。

我们注意到(22)和(23)中的函数 a_{k,n}\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n}) 和 a_{k,n}\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f}) 是非凸的。为了处理这些非凸性，我们采用了算术-几何平均不等式[11]。具体来说，a_{k,n}\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n}) 和 a_{k,n}\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f}) 可以近似为

\begin{equation*}a_{k,n}\displaystyle \operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n})\leqslant\frac{\beta_{k,1}a_{k,n}^{2}}{2}+\frac{(\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n}))^{2}}{2\beta_{k,1}}\triangleq\mathcal{T}_{k,1}, \tag{24}\end{equation*}

\begin{equation*}a_{k,n}\displaystyle \operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f})\leqslant\frac{\beta_{k,2}a_{k,n}^{2}}{2}+\frac{(\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f}))^{2}}{2\beta_{k,2}}\triangleq\mathcal{T}_{k,2},\tag{25}\end{equation*}

其中 β_{k,1} 和 β_{k,2} 为不动点。如果 \displaystyle \beta_{k,1}=\frac{\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n})}{a_{k,n}}，\displaystyle \beta_{k,2}=\frac{\operatorname{Tr}(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f})}{a_{k,n}} 则(24)和式(25)中的等号将始终成立。

基于上述变换和近似，式(22)和式(23)的约束可近似表示$$
\begin{equation*}\displaystyle \frac{r_{k,f}^{{\min}\left(\frac{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,n}\right)}{r_{k,f}}{\min}}-I_{k,n}^{{\text{iter}}-\sigma}{2}\right)}{r_{k,f}^{\min}+1}\geqslant\mathcal{T}_{k,1} \tag{26}\end{equation*}

\begin{equation*}\displaystyle \frac{r_{k,f}^{{\min}\left(\frac{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{W}_{k}\mathbf{H}_{k,f}\right)}{r_{k,f}}{\min}}-I_{k,f}^{{\mathrm{iter}}-\sigma}{2}\right)}{r_{k,f}^{\min}+1}\geqslant\mathcal{T}_{k,2},\tag{27}\end{equation*}

最后，让我们将注意力转向秩一约束(16e)。为了解决这个问题，我们利用半定松弛(SDR)技术，从问题公式中去除约束。因此，松弛问题被给出为

\begin{align*}&\max {\chi\gt 0,0\lt a{k, n}\lt 1, \mathbf{W}_k \succcurlyeq 0} \chi,\tag{28a}\ &s.t . (16\mathrm{b}), (16\mathrm{c}), (20), (21), (26), (27).\tag{28b}\end{align*}