matlab时域离散信号与系统,时域离散信号和系统的频域分析

信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。

在连续时间信号与系统的分析中, 通常采用时间变量t来表示连续信号, 而相应的系统则通过微分方程进行描述. 其频域分析主要依赖于拉普拉斯变换和傅里叶变换这两种工具. 对于时域离散信号与系统的分析中, 离散信号则通常以序列形式进行表示, 其自变量仅限于整数值, 并且非整数值处无定义. 相应的系统则通过差分方程来进行描述, 其频域分析主要采用Z变换以及序列傅里叶变换等方法.

其功能类似于拉普拉斯变换在连续时间系统中所扮演的角色，在处理差分方程方面也发挥了类似的效用。它通过将复杂的差分方程转换为简单的代数方程的形式来实现这一目标，并显著地简化了求解过程。因而，在解决离散时间系统的相关问题时，在工程实践中具有重要的应用价值

2．2序列的傅立叶变换(离散时间傅立叶变换)

一、序列傅立叶变换：

正变换：DTFT[x(n)]=

(2.2.1)

反变换：DTFT-1

式(2.2.1)级数收敛条件为

|

|=

(2.2.2)

我们称该式为x(n)绝对可和。这一条件同时也是DTFT存在的充分必要条件。对于某些绝对不可和的序列（如周期序列），其DTFT可通过冲激函数的形式来表示。

二、序列傅立叶变换的基本性质：

1、DTFT的周期性

，

是频率w的周期函数，周期为2p。

∵

=

。

问题1：设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT。

=

=

=

=

设N为4，画出幅度与相位曲线。

2、线性

设

=DTFT[x1(n)]，

=DTFT[x2(n)]，

则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]

=

= a

+b

3、序列的移位和频移

设

= DTFT[x(n)]，

则：DTFT[x(n-n0)] =

=

DTFT[

x(n)] =

=

=

4、DTFT的对称性

共轭对称序列的定义：设序列

满足下式

则称

为共轭对称序列。

共轭对称序列的性质：

共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数

证明：

=

+j

(实部加虚部)

∵

∴

+j

=

-j

∴

=

(偶函数)

∴

=－

(奇函数)

一般情况下，共轭对称序列用

表示：

共轭反对称序列的定义：设序列

满足下式

则称

为共轭反对称序列。

共轭反对称序列的性质：

共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数

证明：

=

+j

(实部加虚部)

∵

∴

+j

=

+j

∴

=

(奇函数)

∴

=

(偶函数)

一般情况下，用

来表示

一个序列可用共轭对称序列

与共轭反对称序列

之和表示。即：

x(n)=

+

(2.2.16)

问题1：

=？

=

=

－

∴

=

－

(2.2.17)

=

(

)

=

(

－

)

对于频域函数

，也可分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：

式中，

是共轭对称分量，

是共轭反对称分量，它们满足：

=

，

=

且：

：共轭对称分量，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；

：共轭反对称分量，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。

下面研究DTFT的对称性，按下面两部分进行分析

a)将序列x(n)分成实部与虚部，即：

=

+j

(

、

都是实数序列)

则：

式中：

=DTFT[

]=

，

=DTFT[j

]=j

。

结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应于

中的

，虚部和j一起对应于

中的

。

b)将序列分成共轭对称部分

和共轭反对称部分

，x(n)=

+

∵

=

(

)

=

(

－

)

将上面两式分别进行DTFT，得到：

DTFT[

]=

(

)=Re[

]=

DTFT[

]=

(

)=jIm[

]=j

∴

=

+j

x(n)=

+

结论：序列的共轭对称部分

对应于

的实部

，而序列的共轭反对称部分

对应于

的虚部加j。

应用：利用DTFT的对称性讨论当h(n)是实序列时，其DTFT的特性。

∵h(n)是实序列，所以它所对应的DTFT：

=

，具有共轭对称性，

的实部偶对称，虚部奇对称。

5、时域卷积定理

设y(n)=x(n)*h(n)

则：

=

×

=

(2.2.32)

证明：y(n)= x(n)*h(n)=

=DTFT[y(n)]

=

=

=

=

=

6、频域卷积定理

设y(n) = x(n) h(n)

则

=

=

=

证明：

=

=

=

=

=

=

7、Parseval(帕斯维尔)(帕塞瓦尔)定理

=

(2.2.34)

证明：

=

=

=

=

=

2．5 Z变换的定义与收敛域

一、Z变换的定义

若序列为x(n)，则幂级数

(2.5.1)

我们称序列x(n)的Z变换，并也称之为双边Z transform。其中z代表复变量，在该复平面上被称为z plane。同样地, 我们也可以将其表示为

ZT[x(n)] = X(z)

二、Z变换的收敛域

我们知道，

是一幂级数，只有收敛时Z变换才有意义。X(z)收敛的条件是：

(2.5.3)

X(z)能够收敛的z取值集合称为X(z)的收敛域。

一般收敛域用环状域表示。即：

∴Z变换的公式

(2.5.1)

常见的Z变换是一个有理函数，表示为：

分子多项式

的根是

的零点，分母多项式

的根是

其关键特性位于这些特殊的位置上（称为零极点）。当系统处于这些零极位置时（即零极性状态），其对应的频率响应会出现突变或异常现象（称为零极性效应）。这是因为这些零和极为系统的动态特性提供了重要的信息来源和影响方向；同时，在系统的稳定性分析中发现，在某些特定条件下（如某些临界频率附近），系统的行为会受到显著的影响（称为临界频率效应）。

1、有限长序列Z变换的收敛域

有限长序列即指在一个确定的区间内（例如n_1到n_2），该序列的所有数值均为非零且有限；而超出该区间时，则所有数值归零。其Z变换结果则由以下公式给出：

，所以收敛域为

0

如n1≥0，收敛域为0

如n2≤0，收敛域为0≤|z|

2、右边序列Z变换的收敛域

右边序列是指在n≥n1时，x(n)有值，在n＜n1时，x(n)=0。其Z变换为

该式右侧首项对应于有限长度序列的Z变换，在其收敛域定义上满足0≤|z|这一条件。综合以上两项可知，在两边序列均收敛的情况下, 右边序列的Z变换才会收敛. 由此可得右边序列Z变换的收敛域即为

。

因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。收敛域为

(也可以写成

)，所以，|z|=∞处Z变换收敛是因果序列的特征。

3、左边序列Z变换的收敛域

左边序列是指在n≤n2时，x(n)有值，n＞n2时，x(n)=0。其Z变换为

此式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为0

4、双边序列Z变换的收敛域

这类序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。

双边序列的收敛域为

问题1：求序列x(n)= RN(n)的Z变换及收敛域，并画出收敛域。

解：X(z)=

=

。因为这是有限长序列，所以收敛域为0

思考：RN(n)的DTFT存在吗？

问题2：x(n)=anu(n)，求其Z变换及收敛域，并画出收敛域。

解：这是右边序列，且是因果序列，其Z变换为X(z)=

。收敛域为

(或写成

)

思考：anu(n)的DTFT存在吗？

问题3：x(n)=-anu(-n-1)，求其Z变换及收敛域，并画出收敛域。

解：这是一个左边序列。其Z变换为

，

收敛域为0≤|z|

思考：-anu(-n-1)的DTFT存在吗？

结论：当Z变换的收敛域中包含单位圆时，用Z变换可求出DTFT。

=

(2.5.4)

上式称为单位圆上的Z变换就是离散时间傅立叶变换。

回顾：观察零极点。

结论：零点可以在复平面任何地方存在，而极点则位于收敛域边界及其外部区域。

2.5.3 Z反变换

已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为Z反变换。表示为x(n)=ZT-1[X(z)]

其中，c是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线。

计算Z反变换的方法通常有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法以及长除算法。

一、围线积分法(留数法)

直接计算围线积分费时费力。通常会利用留数定理进行计算。根据留数定理，在闭合路径C上连续的函数F(z)=X(z)z^{n−1}其内部存在K个极点zk满足

(2.5.6)

设zr是X(z)zn-1的单极点，则根据留数定理：

如果zk是L阶极点，则根据留数定理，

(2.5.8)

(2.5.8)公式表明，在处理L级奇点时必须计算其(L−1)阶导数值这一过程显然会带来较大的计算复杂度。当区域C内部存在多级奇点而区域C外部无相应高阶奇点时，则可以通过利用留数定理将外部所有奇点的贡献纳入计算范围从而使得整体分析变得相对简便

函数F(z)=X(z)z^{n-1}在闭合路径C上连续，在其内部存在K个单阶极点z_k及外部存在M个单阶极点z_m(其中K,M均为有限值)。然而现在路径内部出现高阶奇点而外部仅包含一阶奇��，请利用留数定理重新计算路径外部所有一阶奇点之和。计算结果为：

(2.5.9)(2.5.9)适用条件为X(z)zn-1在z趋近于无穷远处存在至少两个以上的零点；这要求分母多项式的次数必须高出分子多项式的次数至少两个

问题1：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]，1/4

求Z反变换。

解：c，c为X(z)的收敛域

内的闭合围线，画出收敛域及c。

X(z)zn-1=

。现在来看极点在围线c内部及外部的分布情况及极点阶数。

当

时，函数在围线c内只有z=1/4处一个一阶极点，

=

，

当

时，函数

仅在围线外侧存在一个一阶极点位于z = 4的位置；而内部则包含两个一阶极点：一个位于z = 1/4处、另一个位于z = 0处并带有(n + 1)阶；因此选择外部的极点更为便捷。

=

，

∴

问题2：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]，|z|>4，

求Z反变换。

解：c，c为X(z)的收敛域

内的闭合围线。

X(z)zn-1=

。现在来看在围c内部及外部的分布情况及极点阶数。

当

时，

函数

在围线c内z=1/4处有一个一阶极点，z=4处有一个一阶极点，

=

，

当n=-1时，x(n)=0，∴x(n)=

，

当

时，函数

围线外不存在任何零。
因此选择位于围线外侧的零点更为便捷。
所有零位于复数平面外。
x(n) = 0.

∴x(n)=(

)u(n)

二、部分分式展开法

对于大多数单极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。

X(z)=B(z)/A(z)= X1(z)+ X2(z)+…+ XK(z)，则

=ZT-1[X1(z)]+ZT-1[ X2(z)]+…+ZT-1[XK(z)]

ZT-1[X1(z)]、ZT-1[ X2(z)]、…ZT-1[XK(z)]可从Z变换表中直接查表得出

问题1：设X(z)=z2/[(z-2)(z-0.5)]，|z|>2，

求Z反变换。

解：X(z) =z2/[(z-2)(z-0.5)]

A1=

，A2=

∴

，

∵收敛域为|z|>2，∴x(n)=

三、幂级数展开法

因为

的Z变换定义为z-1的幂级数，即

所以只要在给定得收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列

。

当X(z)的收敛域为|z|>Rx-时，则

必为因果序列，则需将X(z)展开成z^{-1}级数的形式；为此目标，在展开时应当确保X(z)的分子与分母均按z的降幂次序排列；

当X(z)的收敛域为|z|必为左边序列，X(z)的分子分母应按z的升幂排列；

问题1：已知

，|z|>3

解：因为收敛域|z|>3，所以这是因果序列，因此，X(z)分子分母按z的降幂排列。

进行长除

2.5.4 Z变换的基本性质和定理

一、线性

线性就是要满足比例性和可加性。若

X(z) =ZT [x(n) ]，

Y(z) = ZT [y(n) ]，

则ZT[ax(n)+by(n)]=aX(z)+b Y(z)，

，

。

二、序列的移位

若X(z) = ZT [x(n) ]，

则有ZT [x(n-m) ] =z-mX(z)，

三、乘以指数序列

若X(z) =ZT [x(n) ]，

则ZT [anx(n) ]=X(

)，

四、序列乘以n

若X(z) =ZT [x(n) ]，

则ZT [n x(n) ]=－z

，

五、复序列取共扼

一个复序列x(n)的共扼序列为x*(n)

若ZT [x(n) ] =X(z)，

则ZT [x*(n) ] =X*(z*)，

六、翻转序列

若ZT [x(n) ] =X(z)，

则ZT [x(－n) ] =X(

)，

七、(因果序列)初值定理

对于因果序列x(n)，即x(n)=0，n<0，ZT[x(n) ] =X(z)有

八、(因果序列)终值定理

称x(n)为因果序列，则其Z变换X(z)=ZT[x(n)]位于单位圆|z|=1内部，并且仅在z=1处可能存在一阶极点。

九、序列的卷积和(时域卷积和定理)

设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和

y(n)= x(n)*h(n)=

X(z) =ZT [x(n) ]，

H(z) =ZT [h(n) ]，

则Y(z) =ZT [y(n) ]= X(z) H(z)，

十、序列相乘(z域卷积定理)

若y(n)= x(n)·h(n)，且

X(z) =ZT [x(n) ]，

H(z) =ZT [h(n) ]，

则Y(z) =ZT [y(n) ]=ZT[x(n)·h(n)]

=

，

其中c是v平面上，

与H(v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线。

v平面收敛域为

或Y(z) =ZT [y(n) ]=ZT[x(n)·h(n)]

=

，

其中c是v平面上，

与X(v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线。

v平面收敛域为

十一、帕斯维尔(Parseval)定理

若X(z) =ZT [x(n) ]，

H(z) =ZT [h(n) ]，

且

则

v平面上，c所在的收敛域为

证明：Y(z) =ZT[x(n)·h*(n)]

=

=

，

因为

，所以z=1在收敛域中。令z=1代入上式，

=

v平面上，c所在的收敛域为

如果X(z)，H(z)在单位圆上都收敛，则c可取为单位圆，即

，则

如果h(n)=x(n)，则进一步有

。

2.5.5利用Z变换解差分方程

在第1章详细阐述了差分方程的递推求解方法，在随后的内容中将介绍Z变换方法。这种技术通过将差分方程转换为代数形式，并简化了解题过程

设N阶线性常系数差分方程为

(2.5.30)

一、求

及

对(2.5.30)求双边Z变换：

=

=

/

=

，h(n)=ZT-1[

]

=

，y(n)=ZT-1[

]

2.6离散系统的系统函数，系统的频率响应

信号和系统的频率特性一般用序列的傅立叶变换和Z变换进行分析。

一、传输函数与系统函数

假设系统初始状态为零时，在输出端施加一个单位抽样序列d(n)，其在时域上的响应被定义为系统的单位冲激响应h(n)。对该冲激响应信号进行傅里叶变换后得到

=

，一般称为

为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。

将h(n)进行Z变换，得到

，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。

若给定一个N阶的线性常系数差分方程，则执行双边Z变换以获得系统的整体表达式：

如果

的收敛域包含单位圆|z|=1则，

与

的关系：

=

。即单位圆上的系统函数就是系统的传输函数

二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

因果(可实现)系统其单位脉冲响应h(n)一定满足：当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数

的收敛域一定包含¥点。

系统稳定要求

，对照ZT定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。

所以系统因果且稳定，收敛域包含¥点和单位圆，那么收敛域表示为：r

问题1：一个因果系统的系统函数为

=

，其中a为实数，问：a在哪些范围内才能使系统稳定？

解：因为系统因果，所以收敛域为|a|

三、利用系统的零极点分布分析系统的频率特性

=

将上式因式分解，得到：

=A

式中，

是

的零点，

属于其关键点。A参数决定了传输函数的幅值大小；而决定系统特性的是零极点的分布情况。下文将采用几何学方法分析系统的零极点分布对其频率特性的表现。

=A

设系统稳定，将z=

代入，得：

=A

在z平面上，

用一根由零点

指向单位圆上

点B的向量

表示。同样

用由极点指向

点B的向量

表示，如图2.6.2。

将向量用极坐标表示：

=

，

=

，得到：

=A

=

= |A|

(2.6.8)

=

(N=M)(2.6.9)

随着频率w从零逐渐增加至2π时, 向量终点B沿着单位圆逆时针方向完成一周旋转; 通过应用公式...和..., 分别计算得出系统的幅度特性和相位特性。

按照(2.6.8)掌握零极点分布规律后,我们即可相对容易地确定零极点位置对方系统特性的影响。当B点趋近于极点时,该处极点矢量长度最小而导致幅度特性可能出现峰值现象,且随着极点离单位圆越近,其矢量长度越短,相应出现的峰值高度与尖锐程度也会越高。若极点正好位于单位圆上,则系统的幅度特性将趋于无穷大,导致系统失稳。对于零点的情况则相反:当B趋近于零点时,此处零点矢量长度缩短使得幅度特性的谷值出现;而随着零点多位于单位圆上,谷值将逐渐减小直至消失至完全消失的状态。综合上述分析可知:主导系统的频响特性的主要因素是其主导级联环节的位置及其参数设置情况。具体而言,主导环节的位置主要决定了频响曲线中的峰值位置及其尖锐程度特征;而辅助环节的位置则主要决定了频响曲线中的谷值位置及其形状特征

数字信号处理技术在性能上优于模拟信号处理技术。因此,人们选择将模拟信号数字化,即通过采样、量化和编码等步骤最终形成数字信号。

通过采样的方式将连续时间信号转换为离散时间信号；在数字化过程中，采样被视为第一个关键步骤；采用周期性抽样脉冲序列p(t)，可以从原始连续信号中提取出一系列离散点以形成采样信号；如图所示，在不同的脉冲宽度下，则可以区分两种主要类型。

理想抽样实际抽样

我们旨在探讨信号被抽样后其频谱的变化情况。当满足特定条件时, 可从抽样信号中恢复出原始信号

中不失真地恢复原来信号xa(t)?

设：xa(t)的傅立叶变换为：

，抽样脉冲序列p(t)的傅立叶变换为：

，抽样信号

的傅立叶变换为：

，

∵

= xa(t)p(t)，∴

。

由上图得，抽样脉冲序列p(t)的周期为T，则抽样频率

。则周期信号p(t)的傅立叶变换

，其中

。

的傅立叶变换为：

一、理想抽样

p(t)=

=

=

∴

=

= xa(t) p(t)，p(t)=

= xa(t) p(t)= xa(t)

=

=

二、抽样定理

为了在抽样之后能够不失真地还原出原始信号，则其抽样频率必须严格超过两倍的信号谱最高频率

，这就是抽样定理。

采用等间距的方式对原始连续信号进行采样处理，则会产生对应的采样信号；其频谱表现为原连续信号频谱以所选采样频率为周期，在频率域上进行周期性延拓的结果。

=

(1.5.5)

三、抽样的恢复

如果满足抽样定理，则抽样后不会产生频谱混叠，故将

通过如图所示的理想低通滤波器，就可得到信号频谱。

尽管理想型低通滤波器难以实现，在允许一定误差的范围内可以用近似方法替代其频率响应特性接近理想型的可实现滤波器。

下面讨论如何由抽样值来恢复原来的模拟信号。即

通过H(jW)系统的响应特性。理想低通滤波器的冲激响应为

由

与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为

＝

＝

这就是内插值公式，即由信号的抽样值

经此公式而得到连续信号

，而

称为内插函数，如图所示，在抽样点mT上，函数值为1，其余抽样点上，函数值为0。

对于每一个取样点而言，在其对应的内插函数中其值非零。从而使得各个取样点上的信号值保持不变，在相邻取样点之间的区域则由各个加权抽取样本波形延伸叠加的结果构成。如图所示。这一公式表明，在满足采样的频率高于两倍于信号最高频次的情况下，则整个连续时间域中的原始信号均可被精确地重构出来而不丢失任何信息。

如果一个序列是由对模拟信号进行采样而获得的，则有关系式：x(n) = xa(nT)，这表示该序列值对应于模拟信号在各个采样点处的取值或者说表示为该采样信号在时间点t = nT处的幅值。

例：

= sin(Wt)，理想抽样后，

x(n)=

=sin(WnT)= sin(nω0)

∴ω0=WT数字域频率与模拟角频率之间的关系。

ω0 = W·T = W/f_s = 2πf/f_s 2. 探讨时域离散信号傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换的关系

连续信号

的傅立叶变换及反变换公式如下：

=

理想抽样后的抽样信号为

，

= xa(t) p(t) =

则抽样信号的傅立叶变换

=

离散时间信号x(n)=xa(nT)，x(n)的傅立叶变换为：

(2.2.1)

抽样信号的傅立叶变换

与

有什么关系？

可以证明，

也可写成：

=

，对照

=

，都是

以周期

进行周期延拓。

画

时，以w为横轴，以周期

进行周期延拓。

画

时，以W为横轴，以周期

进行周期延拓。

坐标轴之间的对应关系如下图所示。

在一些文献中经常使用归一化频率

，因为

，

和

都是无量纲量，刻度是一样的。

所以数字频率0、2p处是低频，p附近代表高频。

当抽样频率是信号最高频率

4倍时，最高频率

所对应的数字频率为

。