二. 离散时间信号与离散时间系统
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取样和内插
取样
取样定理: 任何连续信号x_a(t),其频谱内容中的最高频率成分被设定为f_m;在对x_a(t)实施采样过程时,只要确保采样速率不低于2f_m,就能够通过脉冲序列x_a(nT)精确无误地重构出原始信号x_a(t)
因果性判断:
Z变换:
通过上述分析可以看出：
常用的Z变换包括：
- 单位阶跃序列u(n)映射到\frac{z}{z-1}
- δ函数映射到常数序列1
- n乘以单位阶跃序列nu(n)映射到\frac{z}{(z−1)^2}
- a的n次方乘以单位阶跃序列a^nu(n)映射到\frac{z}{z−a}
z变换性质:
* 线性
* 位移性:
* 双边z变换: 原序列不变,之影响在时间轴上的位置 Z[x(n-m)]=z^{-m}X(z)
-
单边Z变换: 若x(n)是一个双边序列
Z{x[n]u[n]} = X(z)，其中
Z{x[n + m]u[n]} = z^m [X(z)-Σ_{k=0}{m-1}x[k]z{-k}]
且
Z{x[n - m]u[n]} = z{-m}[X(z)+Σ_{k=-m}{-1}x[k]z^{-k}]- 乘以指数序列(尺度变换):Z[a^nx(n)]=X(\frac{z}{a})
- 微分: Z[nx(x)]=-z\frac{dX(z)}{dz}
- 复共轭序列:Z[x^*(n)]=X^*(z^*)
- 初值定理:若x(n)为因果序列,其初值可由下式求得:x(0)=\lim_{z\to\infty}X(z)
- 终值定理:
离散傅里叶变换DTFT:
该系统的频率响应定义为H(e^{j\omega})；其值等于输入信号与输出信号傅里叶变换的比率；这表示它是该系统单位冲激响应序列的傅里叶变换结果；同时这也表明了h(n)与H(e^{jω})之间的傅里叶变换关系
DTFT性质:
- 线性性质
- 时移特性: 对于任意整数n_0有x(n-n_0)\leftrightarrow e^{-jn_0\omega}X(e^{j\omega})
- 周期性: 离散时间傅里叶变换（DTFT）是关于频率\omega的周期函数，并具有2\pi的周期
- 卷积特性: 时域卷积在频域表现为两信号频谱幅度的乘积关系
- 对称性:
常用离散傅里叶变换:
x(n)=a^nu(n),0
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