IEEE 浮点表示
计算机中浮点数的表示方法采用该标准——IEEE浮点表示
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基本概念
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- 情况1：常规值
- 情况2：非常规的值
- 情况3：特殊值
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表示方法
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- 示例1
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- 示例分析
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非常规情况
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常规情况
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剩下特殊情况，不表述
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示例2
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- 小数是0
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小数不是0
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扩展
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舍入
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基本概念
形如x * 2y这样的数，可以通过给定 x 和 y 的值来表示。
IEEE 浮点标准用 V = (-1)^s * M * 2^E 的形式来表示一个数：
- 符号（sign） s 决定这个数是正数还是负数（s=0正数，s=1负数）。
- 尾数（significand）M 是一个二进制小数。
- 阶码（exponent）E 的作用是对浮点数加权,权重是2的E次幂。
下图分别表示（C语言中）单精度浮点float 和双精度浮点 double的表示格式。
- float格式中，s、exp、和frac字段分别为1位、k=8位和n=23位,得到一个32位的表示。
- double格式中，s、exp、和frac字段分别为1位、k=11位和n=52位，得到一个64的表示。
给定了位表示，根据exp的值，被编码的值可以分成三种不同的情况。
情况1：常规值
也就是最普遍的情况。 exp 的位模式不全是0，也不全是1（单精度数值为255，双精度值为2047）。阶码的值为 E =e - Bias 。
e 是无符号数，位表示为： e k-1 … e1e0 因此它的值在 1 ~ 254 之间（单精度），1~2046之间（双精度）；
Bias 是偏置值：等于 2 k-1 - 1 （单精度是127，双精度是1023）
因此，E 的值就可以得到一个范围（包含边界）: -126 ~ 127（单精度）,-1022 ~ 1023（双精度）
小数字段 frac 被解释为描述小数值 f ， 0 ≤ f ≤ 1
二进制表示为 0.f n-1 … f1f0
由此尾数被定义为 M = 1 + f （也叫做隐含的以1开头的表示）
情况2：非常规的值
当阶码全都为0时，所表示的数是非规格化的形式。
阶码值是 E = 1 - Bias
尾数值是 M = f ,也就是小数字段的值，不包含隐含的1。
情况3：特殊值
当阶码位全为1时，表示特殊值。
- 无穷大：阶码位全为1，小数位全为0
- NaN：表示不是一个数（Not a Number），即阶码位全为1，小数位不全为0。
表示方法
示例1
以一个6位二进制为固定长度的范围。来表示一些数，这样方便我们更好的理解。假定s、exp、frac字段分别为 1位，3位，和2位。
这样我们得到一个6位二进制表示法：s=1，k=3，n=2 ，我们以此来表示一些数。
示例分析
在表示数之前，我们先来分析一下这个6位的二进制。
由阶码k 的位分布情况，能得到常规值，和非常规值。他们是平滑过渡的。
先确定偏置量 Bias = 2k-1 - 1 = 3 （k=3）
下面我们来了解他们能表示的数的范围和值。不考虑符号位。
公式：V = (-1)^0 * M * 2^E
请考虑下面的二进制位，符号位的值固定为1，下面的计算都会省略
非常规情况
E = 1 - Bias = -2
M = f
[------] 0 000 00 （最小值的二进制位分布）
V = 0 * 0= \dfrac{0}{16}
[------] 0 000 01
V=\dfrac{1}{4} * \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}
[------] 0 000 10
V=\dfrac{2}{4} * \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{16}
[------] 0 000 11 （最大值的二进制位分布）
V= \dfrac{3}{4} * \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}
常规情况
E = e - Bias
M = 1 + f
[------] 0 001 00 （最小值二进制位分布）
V=(1+0) * 2^{1 - 3} = \dfrac{4}{4} * \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{16}
[------] 0 001 01
V=(1+\dfrac{1}{4}) * 2^{1-3}=\dfrac{5}{4} * \dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{16}
后面的省略了…你可以自行转换计算
[------] 0 110 11 （最大值二进制位分布）
V=(1+\dfrac{3}{4}) * 2^{6-3}=\dfrac{7}{4}*8=14*\dfrac{16}{16}=\dfrac{224}{16}
剩下特殊情况，不表述
示例2
进一步理解浮点数，将如下数转换为二进制表示。（6位二进制位）
小数是0
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[十进制] 8.0
8的二进制为：1000
可以写成 1.000*2^3
E = 3 = e - 3；得到 e = 6; 阶码表示为110，加上符号位和小数位。得到：0 110 00 -
[十进制] 4.0
4转换成2进制位：100；将小数点移到二进制位1的右边， 可以得到1.00* 2^2 ，E = 2 = e - 3；e = 5;
再将5写作二进制表示：101
加上符号和小数位写作：0 101 00
小数不是0
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[十进制] 0.25
没有整数部分，将小数部分转化成二进制位。
0.25 * 2 = 0.5---取到第一位二进制位 0
0.5 * 2 =1.0---取到最后一位二进制位 1
写作二进制位：0.01
改写成：1.0 * 2^{-2}
得到 E = -2 = e - 3；e = 1 。阶码部分为：001，小数位都已经转化为0，加上符号位0
得到二进制位：000100 -
[十进制] 2.25
2 写成二进制位：10
尾数位 f 表示如下，通过乘以2直到值为1来得到小数的二进制位：
0.25 * 2 = 0.5 --- 整数部分是---0
0.5 * 2 = 1.0 ---整数部分是---1 小数部分为0了，结束。
写作尾数位：01
2.25写作二进制位表示：10.01
可以写成：1.001 * 2^1
E = 1 = e-3；e=4
阶码位表示为：100
加上符号位和小数位：0100001
如上，我们发现，7位二进制位才能表示2.25。因为小数位需要3位二进制位来表示。
扩展
浮点标准能精确的表示任意一个数吗？比如 0.1
尝试将0.1转化为二进制位表示:
0.1 * 2 = 0.2---0
0.2 * 2 = 0.4---0
0.4 * 2 = 0.8---0
0.8 * 2=1.6---1
0.6 * 2=1.2---1
0.2 * 2=0.4---0
0.4 * 2=0.8---0
0.8 * 2=1.6---1
0.6 * 2=1.2---1
…
我们发现除了第一个0，已经出现了循环位0011
00011...0011
由此看出0.1并非精确值，而是近似值。位越多，越趋近值0.1。
舍入
浮点数的舍入方式有向整数舍入，向零舍入，向上和向下舍入。
下面以取整数为例：
| 示例值 | 1.4 | 1.6 | 1.5 | 2.5 | -1.4 | -1.5 | -2.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 向整数舍入 | 1 | 2 | 2 | 2 | -1 | -2 | -2 |
| 向零舍入 | 1 | 1 | 1 | 2 | -1 | -1 | -2 |
| 向上舍入 | 2 | 2 | 2 | 3 | -1 | -1 | -2 |
| 向下舍入 | 1 | 1 | 1 | 2 | -2 | -2 | -3 |