汽车横向运动学建模学习笔记

单车模型建模

车辆横向运动的运动学建模

其中X、Y代表了车辆的位置信息，在分析车辆运动特性时具有重要意义。其中\psi用于描述车辆当前行驶方向的角度（即heading角），而\beta被定义为车辆行驶过程中的侧滑角。在简化模型的过程中，我们通常假设\beta=0且\delta_r=0以减少计算复杂度。研究表明，在汽车行驶速度较慢的情况下（即V较小），上述假设能够得到充分验证。

车辆的航向角\gamma = \psi + \beta

通过正弦定理对三角形OCA进行分析得到以下关系式：\frac{\sin(\delta_f - \beta)}{l_f} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \delta_f\right)}{R}。运用同样的方法研究三角形OCB，则有\frac{\sin(\beta - \delta_r)}{l_r} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \delta_r\right)}{R}。将上述结果展开后得到：\frac{\sin(\delta_f)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\delta_f)}{l_f} = \frac{\cos(\delta_f)}{R}以及\frac{\sin(\beta)\cos(\delta_r) - \cos(\beta)\sin(\delta_r)}{l_r} = -\frac{\cos(\delta_r)}{R}。合并整理后可以推导出：(\tan(\delta_f) - \tan(\delta_r))\cos(\beta) = \frac{l_f + l_r}{R}。进一步求解可以得到转向角\beta的表达式为：\beta = \arctan\left( \frac{l_f\tan\delta_r + l_r\tan\delta_f}{l_f + l_r} \right)。考虑到车辆行驶速度较慢的特点，则其转弯半径的变化较为缓慢，在这种情况下，车辆方向的变化率等于其角速度\acute{\psi}，即\acute{\psi} = \frac{V}{R}。将其代入上式后可以进一步表示为\acute{\psi} = \frac{V\cos(\beta)(\tan(\delta_f) - tan (\delta_r))}{l_f + l_r}。分别在X和Y方向上具有以下运动学方程：\acute{X} = V\cos (\psi + \beta)以及\acute{Y} = V\sin (\psi + β)。该模型中包含三个输入参数δf、δr和V，在此定义域内V被视为外部输入变量而滑移角β则可通过前文所述的关系式进行计算确定

阿克曼转向几何

定义L = l_f + l_r。通过简化上式得出：\frac{\acute{\psi}}{V} = \frac{1}{R} = \frac{\delta}{L},其中第一部分是计算角速度乘以半径以获得线速度的过程；随后进一步简化上式得出结果。考虑到L与R之间的显著差异（即L >> R），由此可知\delta相对较小。当$\tan(\delta) ≈ δ时，则可推导出δ= L/R。\ 最终得到关系式：

Δθ=θ_i−θ_o= ( Ll_w ) / R²=( Δθ²l_w ) / L.