斯坦福大学公开课-傅里叶变换及其应用-学习记录5-采样和插值

本片对应视频16-19节 讲义第五章

Ш函数的引入

现在有一个函数如上图左所示，如果要把它周期延拓至无穷远如上右图，可以写出P_ρ(x)的表达式为：

(利用δ的位移性质)
还可进一步写为：
于是将\sum_{k=-\infty}^{\infty}δ(x-kT)定义为Ш函数，一般将周期T写为p，因此有

容易理解，Ш_p函数包含了无穷多个函数，每个函数之间的间隔为，因此也可被表示为：

Ш函数的功能

在上面看到了将一个函数P(x)与做卷积，得到的是将往无穷远处延拓的函数，因此Ш函数可以使一个函数周期化。
这是函数卷积的作用，那么现在来考虑的乘法：

注意到这个求和式中的每一项都是函数乘上了一个系数，从上一节就可以看出，对于函数乘上一个系数直观上不会影响它的表达式，但是在它被用作分布作用于测试函数上时，这个系数就会影响到最终的结果，因此函数与一个函数f(x)做乘法，会将的在x=k时的所有函数值都记录在了结果的那个求和式中，因此函数的乘法完成了对函数在处的采样。对于Ш_p(x)有f(x)Ш_p(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kp)δ(x-kp)，它将所有x=kp时的函数值记录下来，即对在所有的处的采样。

总结一下：函数用作卷积时，实现了对目标函数的周期延拓；用作乘法时，实现了对目标函数的采样。

有的时候会用到Ш(px)，它的表达式为：

由δ的拉伸特性，可得：
因此：
由此也不难得出：

Ш函数的傅里叶变换

首先来看泊松求和公式：

这个式子看上去似乎有点不可思议，不过它是可以证明的：
设g(t)=(f*Ш)(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t - k)
现在来考虑g(t)的傅里叶级数：

换元：设u = t-k得：
因此C_n = Ff(n)，代入傅里叶级数：又有因此
取t=0得：

这就是泊松求和公式的证明。
有了这么一个公式，来考虑函数的傅里叶变换，依旧利用分布的做法：

因此FШ = Ш，即函数的傅里叶变换是它本身。
而对于Ш_p = \frac{1}{p}Ш(\frac{1}{p}x) 由傅里叶变换的拉伸特性，得

因此可以看到函数的间隔越大，其傅里叶变换的间隔越小。

采样定理

前面提到了卷积有一个应用——低通滤波，将信号中低频成分保留，高频成分除去。如果一个信号本身就只含有频率范围为[0,\frac{p}{2}]的成分，那么就称该信号的带宽为。

采样定理：对于带宽为P的信号，以\frac{1}{p}为间隔采样，如果能获取所有的采样点f(\frac{k}{p})的值，就可以得到该信号在任意点处的值。

这又是个看上去非常不可思议的东西，那么下面来证明：
由于信号的带宽是有限的，如果对其做周期延拓Ff(s)*Ш_p，应该满足

等式两边同时做傅里叶逆变换：得

上式表明，如果已知所有的f(\frac{k}{p})，对它们做插值就可以求出f(t)。(t为任意值)

对采样定理的认识

为了方便，取p=1，则采样定理的公式变为：

先来看sinc(t-k)的性质：由帕斯瓦尔定理：

显然当m≠n时，上式为0，当m=n时，上式为1。也就是说当sinc(t-m)、sinc(t-n)是正交的。
再看与的内积：

由于f的带宽为1，因此
因此与的内积就是f(k)！
好了，现在重新来看采样定理的这个式子：

其中sinc(t-k)(k=0,±1,±2,±3,……)是一组正交基，而是与的内积，即在上的投影！也就是说采样定理实质上和傅里叶级数一样，都是将函数看做无限维的向量，然后取了一组维数为无穷的基，将原函数分别投影在了这一组基上！

采样定理的注意事项

采样定理要求能够获取所需要的无穷个采样点的信息，实际情况肯定不能满足这一要求，因为现实世界中的信号在时间上是有限的，在频率上也是有限，但是从数学的角度来分析，一个信号是不可能同时在时域和频域上都受到限制的。
假如信号在频域上受限，即满足：

因此
sinc是无限延伸的，因此也是无限延伸的。
也就是说实际情况与数学理论是存在矛盾的，这就是下一章离散傅里叶变换的内容了。

还有一点就是采样定理中的选取问题，推导的时候是选取就为带宽，但是实际情况可能根本就不知道信号的带宽，如果说采样的p'选取低于带宽，就会导致混叠现象；如果高于带宽，不会影响最终计算的正确性。具体可看讲义和课程，这里就不详细描述了。