斯坦福大学公开课-傅里叶变换及其应用-学习记录4-分布以及分布的傅里叶变换
本篇对应视频11-15节，讲义第四章。
在第三章中，曾经提到了，对于函数f(x) = 1，是没有办法求它的傅里叶变换的，原因在于\hat{f} = \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist} · 1 dt中等式右侧的这个积分式在经典微积分理论下是不可积的，还有比如说f(x) = sinx、f(x) = cosx都没有办法求其傅里叶变换，对于一个信号，它怎么可以没有频谱呢？果真如此的话，傅里叶变换不就存在很大的漏洞了吗？也就是说傅里叶变换与经典微积分学理论是存在矛盾的，这显然不是一个好的局面，这一章就是为了解决经典微积分理论所不能解决的一些与傅里叶变换有关的问题。
可积性与光滑性
命题：如果函数f(x)满足\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx < \infty，那么的傅里叶变换Ff以及傅里叶逆变换F^{-1}f连续。
证明： 取s、s' 当s'->s时：|e^{2\pi ist} - e^{-2\pi is't}|->0而\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|<\infty，故|Ff(s)-Ff(s')|->0
因此连续。逆傅里叶变换也可类似地证明。
很显然
上面证明了当满足时，其傅里叶变换连续。那么继续往深一步考虑，|f(x)|满足\int_{-\infty}^{\infty}|xf(x)|dx < \infty时，它的傅里叶变换会不会有更优的性质？
命题： 如果函数满足，则函数的傅里叶变换可微。
证明：
命题：如果函数满足\int_{-\infty}^{\infty}|x^2f(x)|dx < \infty，则函数的傅里叶变换Ft二阶可微。
证明：
容易知道\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|<\infty的必要条件是x->\infty时，f(x)->0。因此上边几个命题可以简要地描述为：
在时下降地越快，那么它的傅里叶变换就越光滑。
那么反过来考虑，如果越光滑，它的傅里叶变换是不是应该下降地越快？设当时，且可微，则 因此
这表明当s->\infty时，Ff(s)会如同\frac{1}{s}一般地下降。
那么如果二阶可微呢？
可见此时会以\frac{1}{s^2}的速率下降。
那么不难得出，越光滑，则它的傅里叶变换下降地越快。
这就引出了一类重要的函数——速降函数。
速降函数
速降函数的定义:
一个函数如果满足：
1.无限可微
2.对于任意的m,n > 0，都有当x->±\infty时，|x^m\frac{d^n}{x^n}f(x)->0|
则它在±\infty速降
速降的主要含义是当时，任意阶导的下降速度都要快于x^m的上升速度。条件2的等价条件为：对于任意的，都有当时，|x^m\frac{d^n}{x^n}f(x)|<=C_{mn}。
对于傅里叶变换来说，速降函数具有非常优异的性质：
速降函数的傅里叶变换也是速降函数
证明：注意到有两条有关导数的性质：
1.(2\pi is)^nFf(s) = (F\frac{d^n}{dx^n}f)(s)
2.\frac{d^n}{dx^n}Ff(s) = F((-2\pi ix)^nf(x))
因此： 故：
故速降函数的傅里叶变换也是速降函数。
还可以证明对于速降函数 ，F^{-1}Ff = f
定义集合为所有的速降函数的集合，它满足：
1.如果f(x)∈S，则Ff(s)∈S
2.如果，则
狄拉克函数δ
定义函数
显然这个函数不是常规的函数，它实际上是一个广义函数。狄拉克函数代表了集中在一点的分布，它可以用矩形波函数来逼近：δ(x) = lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon}Π_{\epsilon}
狄拉克函数的性质：
1.对狄拉克函数在(-\infty,\infty)积分结果为1
证明：\int_{-\infty}^{\infty}δ(x) = \int_{-\infty}^{\infty}lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon}Π_{\epsilon} = lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon}\int_{-\frac{\epsilon}{2}}^{\frac{\epsilon}{2}}·1dx = 1
2.对任意的函数\phi(x)，都有\int_{-\infty}^{\infty}δ(x)\phi(x)dx = \phi(0)
证明：利用泰勒展开：
当\epsilon \to 0时，含x项的都会趋近于0，因此最后的结果为：
分布的定义
分布实际上就是一个广义函数（包括上面提到的狄拉克函数），对于一个函数，一般看待它的角度是把它看做一个由到y的映射，而对于分布应该将它视作为作用于测试函数的一个线性算子，比如分布为T，测试函数为\phi，那么作用于就表示为T(\phi)，它的结果是一个数，并且满足T(\phi1+\phi2) = T(\phi1) + T(\phi2)，T(\alpha \phi) = \alpha T(\phi)。通常作用于记作与匹配，即，分布有点类似概率密度函数。
匹配的结果为一个数，是通过积分实现的 ，而测试函数一般都选取为S，即速降函数集合，选取速降函数为测试函数就保证了对于绝大多数的分布T，这个积分都是存在的。
对于狄拉克函数<δ,\phi> = \phi(0)
对于T(x) = 1 就有
分布的傅里叶变换
对于一个分布，它的傅里叶变换设为FT，考虑作用于测试函数：由于x、y独立，可交换积分次序
因此分布的傅里叶变换作用于测试函数 等价于分布作用于测试函数的傅里叶变换 。
同理可得分布的逆傅里叶变换作用于测试函数 等价于分布作用于测试函数的逆傅里叶变换 。
下面来看几个求分布的傅里叶变换的例子：
1.T(x) = δ(x)
因此Fδ = 1，即狄拉克函数的傅里叶变换为1，也可得出1的傅里叶变换为狄拉克函数。
2.T(x) = δ_a(x)
δ_a(x)指的是将狄拉克函数的x=0平移到x=a后得到的函数。
因此Fδ_a = e^{-2\pi iax}，不难得出F(e^{-2\pi iax}) = Fδ_a
3.T(x) = cos(2\pi ax)
4.T(x) = sin(2\pi ax)
这就解决了开头提出的在经典微积分理论中不能解决的傅里叶变换的问题。
分布的导数
分布与函数不同，任何一个分布都是可导的。
设分布T(x)的导数为T'(x)，它作用于测试函数为：
来看个具体的例子：
设单位越阶函数为
如果把它就看做一个函数，显然它在处是不可导的，但是如果把它看成一个分布的话：
因此T'= δ
对于分布的傅里叶变换，它也有导数定理：
因此(FT)' = F(-2\pi isT)
分布的乘积
两个函数可以做乘法，但是分布与分布是不可以做乘法的。分布只可以在一定条件下与函数做乘法。
显然这个条件是：若\phi∈S，则f\phi∈S
狄拉克函数的抽样特性
考虑一个函数与狄拉克函数做乘法：
因此同理有
这叫做狄拉克函数的抽样特性。
分布的卷积及卷积定理
显然分布的卷积也应该有一定的约束，先考虑速降函数g与函数f作卷积作用于测试函数上的情况：设u = x-y，则原式=
推广到分布中：设有两个分布G(x)、T(x)
容易得到约束条件为：
分布的卷积定理为：
因此F(T*S) = FTFS
狄拉克函数的平移特性
设有函数，与δ卷积：
故f*δ = f
考虑与卷积：
设x+a=u得：
因此f*δ_a = f(x-a)即与δ_a卷积会导致向右平移a个单位
由此可推导出：
狄拉克函数的缩放特性
考虑δ(ax)的性质：
当a>0时：
设u = ax 则x = \frac{u}{a} 、dx = \frac{du}{a}
原式=
因此δ(ax) = \frac{1}{a}δ(x)
当a<0时：换元存在积分范围取反，最终会多一个负号，即δ(ax) =-\frac{1}{a}δ(x)
因此δ(ax) = \frac{1}{|a|}δ(x)
因此在横轴上对狄拉克函数做缩放，直观上它的表达式没受任何影响，依旧是在0处为无穷，但是实际上它的纵轴还是被缩放了\frac{1}{|a|}。
视频第15节以及讲义中提到了利用傅里叶变化来分析光的衍射，有兴趣的可以自行查阅。