6.3 定积分在物理学中的应用
第三节：定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
在物理学领域中探讨变力做功的问题具有重要意义。功等于作用于物体上的力乘以该物体在力方向上的位移分量；而这一过程若仅发生在固定方向上则更为简便；但对于随位置变化的复杂情况则需采用微积分方法进行求解
例 1：电场中的功
取一电量为+𝑞+q的点状带电体放置于坐标系原点𝑂O，在其沿 r 轴产生的静电场中某一点处的位置矢径长度记作 r. 静电力 F 对于位于此空间某一点处的一个单位正电量体元的作用力大小可表示为 F = k/r²（其中 k 为空间常数）。现假定将一个单位正电量体元从位置 r=a 沿某条路径移动至位置 r=b，则静电力在此过程中对该单元所施加的功可表示如下：
总功 𝑊W 由下面的定积分给出：
例 2：气体膨胀所作的功
考虑一个横截面积为 S 的圆柱形容器内盛有气体，在等温过程中该系统内气体的压强 p 与体积 V 的乘积始终保持恒定值 k。当活塞从位置 x=a 压缩至 x=b 的过程中，请计算该过程中气体对外界所做的功是多少
因此，作用在活塞上的力 𝐹=𝑝⋅𝑆=𝑘𝑥F=p⋅S=xk。气体对活塞所做的功 𝑊W 为：
例 3：提取水的功
建立一个圆柱形贮水桶模型（Cylindrical Water Tank Model），其高度设定为5米（Height = 5m），底部圆形底面半径设定为3米（Bottom Circular Base Radius = 3m）。该贮水 tank 内储水量完全的情况下抽空所需做的功（Work Required to Empty the Tank），可以通过分层计算每一层水流到 tank 口所需做功的方式进行估算（Estimate by Calculating Incremental Work for Each Water Layer to Reach Tank Opening）
假设液体的密度为ρ（在国际单位制中的值约为1000 kg/m³），作用于液体的重力加速度g被设定为9.8 m/s²。将液体从桶内深处x处提升至水面所做功dW等于：
总功 𝑊W 为：
将 𝜌=1000ρ=1000 kg/m³ 和 𝑔=9.8g=9.8 m/s² 代入，计算得到总功 𝑊W。
这些例子说明了定积分在计算不同物理情景下所做功的问题中的关键作用，在基础力学到电磁学领域中的各种应用情况都被涵盖了。
二、水压力
从流体静力学的角度来看，水压力是具有重要性的概念。特别地，在物体处于不同水深度的位置时，在各个不同的位置上会产生不同的压强值。这些差异性会导致物体所承受的总压力计算变得更为复杂。通过应用定积分的方法可以精确地计算出水压力的数值结果。
水压力的基本概念
在深度 ℎh 处的压强 𝑝p 由下式确定：𝑝=𝜌𝑔ℎp=ρgh，在此式中使用的参数包括水密度（记作 ρ）和重力加速度（记作 g）。将一块面积为 𝐴A 的平板平放于该深度处，则该平板所受水体的压力可表示为：𝑃P 即为：𝑃=𝜌𝑔ℎ𝐴P=ρghA。
但是，在垂直安装的平板上，随着深度的变化而产生的水压差异要求我们使用积分来精确计算受力情况。
例 4：计算水桶端面受的压力
设想一个底半径为R的圆柱形水桶盛满水。我们需要计算该水桶的一个端面所承受的压力。如同图所示，在水平面经过圆心的情况下，我们可以将该端面对应地视为垂直放置的半圆形片段。
计算步骤：
- 详细推导过程如下
总压力计算：
这个积分需要用巧妙的技巧来处理。三角代换是一种可能的方法，在这里不可行；然而，在这里我们则可以利用对称性和现有的积分表来计算。
积分求解：
首先，让我们化简这个积分：
使用换元法 𝑥=𝑅sin𝜃x=Rsinθ，其中 𝑑𝑥=𝑅cos𝜃𝑑𝜃dx=Rcosθdθ，将积分限从 𝑥x 转变到 𝜃θ：
因此，桶的一个端面所受的压力是
，表明水压是与水桶的尺寸和水的密度成正比的。
三、引力的计算方法
在物理学领域中，《牛顿万有引力定律》阐述了两个质点之间的相互作用力机制。这一定律表明，《两质点之间的作用力》与其质量乘积以及两者之间距离平方之倒数呈正比关系。然而，在实际应用中，《当一个物体并非视为质心而是具有延展性时》，例如一根细长棒体，则无法直接使用上述公式进行计算，《而必须采用积分的方法来计算该物体对质心所产生的总引力影响》。
引力的基本定义
对于两个质点而言，在两者之间存在一种吸引力，并由下式表示：
F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}
其中 G 表示万有引力常数，在SI单位制中其值约为 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{N·(m/kg)}^2。
这里 m₁ 和 m₂ 分别代表两个质点的质量（通常以千克为单位），而 r 则表示它们之间的距离（通常以米为单位）。
例 5：细棒对质点的引力
假设有一根长度为l且线密度为μ的均匀细直棒，在距离该棒a单位垂直方向处有一个质量为m的质点M。其中心位于坐标系原点O，并且该棒沿y轴布置。质点M则位于x轴上。
计算过程：
引力元素 ：细棒上位于区间[y, y + dy]的一小部分可被视为一个质点，其质量可表示为μ dy。该部分与质点M之间的距离可表示为r = √(a² + y²)。
引力大小 ：根据万有引力定律，这小段对 𝑀M 的引力 𝑑𝐹dF 为：
水平方向的重力分量 基于对称性原理，在纵坐标（𝑦y-轴）方向上的投影值等于零；其表达式为：
总引力在 𝑥x-方向的分量 ：
这个积分可以通过变量替换和适当的积分技巧解决。
总引力
由于对称性原理，在计算棒对M点的引力时，在y和z方向上的分量相互抵消为零，在x轴方向上则形成合力。该合力可通过下式计算得到：
F_x = G \cdot M \cdot m \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dL}{(L^2 + x^2)^{3/2}}
其中L代表棒的长度变量。对于无限长的情况（L \to +\infty），上述积分会趋于：
F_x = G \cdot M \cdot m \cdot \frac{\pi}{2x^2}
使用适当的积分方法，可以解出引力大小为 𝐹𝑥=2𝐺𝑚𝜇𝑎Fx=a2Gmμ。
从这个实例出发可以看出, 我们是如何利用定积分来计算具有连续质量分布物体对点质量的引力影响. 这种技巧在解决涉及非均匀或复杂形状物体的引力计算中非常有效.
