【图形学】计算机图形学知识点提纲3

【图形学】计算机图形学知识点提纲3

• 1.阐述向量与矩阵的定义及其基本运算规则
• 2.介绍计算向量模长的方法，并定义单位向量的概念
• 3.探讨向量在计算机图形学中的主要应用场景
• 4.详细阐述向量内积的代数和几何定义，并分析其在图形学中的具体应用
• 5.深入解析向量叉积的概念及其基本计算法则
• 6.明确二维线性变换的数学定义及其性质
• 7.阐述二维平移、旋转与缩放变换矩阵的构造方法及推导过程
• 8.分析二维变换组合后的复合变换特性及其表现形式
• 9.介绍三角形重心坐标表示方法，并探讨其在计算机图形学中的实际应用
• 10.讨论如何将复杂平面形状分解为简单三角形的过程及其实质意义

1.什么是向量？什么是矩阵？要求掌握它们的基本算术运算

向量被定义为同时拥有大小和方向的物理或数学实体
矩阵被描述为元素按照矩形排列的实数或复数集合
基本算术运算包括：
    向量运算：
        模长即向量的长度
        归一化处理使向量长度标准化为1
        加法和减法运算用于对向量进行增减操作
        点积：
            代数定义是指对应分量相乘后求和的结果
            几何定义等于两向量长度乘以夹角余弦值
        投影计算方法是将被投影向量长度乘以夹角余弦值
        向量间夹角则指两向量之间的角度关系，在此范围内讨论更为合理

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  * 叉积：

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* 矩阵计算
  * 转置
  * 加减
  * 乘法
  * 行列式计算

2.如何计算向量的长度？什么是单位向量？

• 向量的长度的计算：|(|X|)|=√(x_1^2 +x_2^2 )
• 单位向量：长度为1的向量

3.向量在图形学中有哪些主要应用？

• 表示方向
• 表示偏移
• 表示空间位置

4.向量的内积运算，包括代数以及几何定义，在图形学中的应用？

• 代数上的定义：两个向量对应分量相乘后求和
• 几何意义上的定义：两个向量的模长与其夹角余弦值的乘积
  • 计算投影是否与第二个向量垂直：投影等于点积除以第二个向量的模长
  • 计算自身点积：该值等于自身分量平方和开平方根
  • 归一化处理后的点积即为两单位向量间的夹角余弦值

5.向量叉积的概念以及基本计算原理

6.二维线性变换的定义

• τ：R^2 →R^2
• τ(αv+βw)=ατ(v)+βτ(w) ∀v,w∈R^2
• τ(x)=Mx
• M=[τ(e_1 )τ(e_2 )]

7.二维变换：平移、旋转、缩放矩阵及其推导过程

• 平移

• 旋转

• 缩放

8.二维变换组合的特点

将物体绕z轴旋转135°，然后平移到点（15，15），并等比例缩放1.2倍。

9.三角形的重心坐标表示方法，并了解其在图形学中的应用

• 重心坐标：(α β γ)
• 主要应用：
  • 插值法向量
  • 插值颜色

10.二维形状的三角化

我们称T为物体X的一个三角形集。如果T中的任意两个三角形t1和t2满足以下任一情况：

• 这两个三角形不相交；
• 它们共享同一顶点；
• 它们共享同一条边。
  则称T为X的一个三角化。