方差，协方差，标准差和均值标准差等各种差

3 方差

3.1 英文名称

variance

3.2 所属学科

概率论和统计

3.3 实际用途

在概率论中，方差用于衡量随机变量与其均值之间的偏离程度。当标准偏差与方差增加时，在统计学中计算样本方差时，默认的做法是取各数据与其算术平均数之差平方后的总和，并将其平均。相反地，在这种情况下（即当离散程度减小时），这些指标会反映出数据点更加集中于均值周围。

3.4 历史

"方差"（variance）这一术语最初是由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中首次提出。

3.5 定义

是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

3.6 公式

设 X 是一个随机变量，若

当X存在时，则称其为X的方差，并定义符号表示为D(X)、Var(X)或DX。其中E(X)表示X的期望值；而X代表实际观测到的数值。

称为方差。这里E{}只能理解为一个记号，真正的公式在这里：

右边的求和公式可以转换成更容易计算的形式：

• 说明
  • • • • • • 可以提取出来

用newlisp计算,实现代码如下：

    ; variance of a data vector X(define()(div()(sub(length)1))); sum of sqared differenses of X to mean of X(define()(sub()(div(mul()())(length))))

调用代码如下：

    >(module"stat.lsp")(lambda()(append(join(mapstring)"\r\n")"\r\n"))>(setf(1231457))(1231457)>()4.904761904761905

4 标准差

(均方差)

4.1 英文名称

Standard Deviation

4.2 实际用途

因方差为数据平方而与检测值差距显著，在实际应用中不易直接观察其大小。通常采用对方差开平方来获得度量指标即是所要介绍的标准偏差。

4.3 公式

4.4 计算

newlisp 调用如下：

    >()2.214669705568283

5 协方差

5.1 英文名称

covariance

5.2 简介

从直观上讲, 协方差衡量的是两个随机变量间误差的程度. 当这两个变量子相同的时候, 方差异即为这种特殊情形下的协变数. 对于不同的变量子而言, 两者的协变数即为它们之间的差异. 若变量子X与子Y相互独立, 则E[(X−E(X))(Y−E(Y))] = 0. 因此如果上述数学期望不等于零, 则子X与子Y之间必然存在某种关联.

5.3 公式

[]内部的乘法式子变换一下

将E[…]内部的都提取出来

该方法将变量Y的概率加权平均数视为一个常数，在运算过程中能够被提取到外部运算符的作用范围内。类似地，在处理包含两个期望值相乘的情况时（如...），同样遵循类似的线性性质进行计算。

所有E()都统一写成E[]

5.4 计算性质

协方差的性质：

1. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
2. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), （a,b是常数）
3. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

6 均值的标准误差

6.1 公式