IEEE 754 浮点数

IEEE 754 浮点数

• 格式
• 特殊值
• 具体实现

格式

IEEE 754标准规范了浮点数格式的构成要素：符号字段、指数字段"eb"以及有效数字字段"mmm"。其表示方法为：±1.mmm×2^(eb-偏移值)，其中二进制运算占主导地位。在一个典型的32位浮点运算单元中包含以下组成部分：1个符号字段、8个指数字段（存储指数信息）以及23个有效数字字段（存储有效数字），具体结构如下：

• 阶码：表示指数加上一个偏移量（offset），其大小取决于阶码位的数量（e）。具体而言，在32位浮点型单元中（Word），由于存在8个比特用于编码阶码信息（e=8），因此其偏移量等于2^{(e-9)} - 1（即2^{(8-9)} - 1 = -\frac{9}{8}）。当该偏移量被加至原始指数时，则会得到对应的二进制指数形式。
• 尾部：类似于科学记数法中的尾部数值，在计算机内部存储时由于正规化的特性（即小数十进制形式始终以'有效数字的第一位数字开头），因此实际存储的是小数点后部分。
• 小数点前固定为'有效数字的第一位数字'（通常情况下是'一'），而其余的小数值则由存储的位置决定。
• 在这种情况下，默认省略掉这个固定的前导数字。
• 具体而言，在这种存储格式下：
  • 当尾数值显示为"abc"时，则实际数值相当于"abc"加上隐含的小数值部分
  • 这种方式能够有效提高数据的精度

特殊值

IEEE 754 标准将指数位全为 0 和全为 1 用特殊情况以表示一些特殊值。

• ±0：由于规范化浮点数格式表示为 1.\text{mmm} \times 10^e 的形式，在这种情况下无法表示零值。因此零值被视为特殊情况。
• ±∞：当阶码全为1且尾数全为零时，则表示正负无穷大（依据符号位确定），任何数除以零都会产生无穷大数值。
• NaN：当阶码全为1且尾数不完全为零时，则表示非数字（NaN）。此类情况通常出现在非法运算中。
• 非规约数：如果阶码全部为零，则非规约数的表示方式变为 \pm(\text{mmm} \times 2^{-\text{偏移量}}) 的形式，并能表示趋近于零的小数值。对于32位浮点型来说其最小指数是-126（对于64位则不同）。当尾部数值全部为零时，则该非规约数值退化为常规的\pm{Zero}。

具体实现

• 单精度：包含有总共三十二个二进制数字的结构体系，在其中一位用于存储符号信息、八位用于指数编码以及剩余的二十四比特来存储尾数值信息。其数值范围为1.175494 \times {10^{-}^{38}}到3.402823 \times {10^{+}^{38}}。
• 双精度：包含有六十四比特的信息单元，在其中一位用于存储符号信息、十一位用于指数编码以及剩余的五十二比特来存储尾数值信息。其数值范围为2.225073 \times {10^{-}^{308}}到1.797693 \times {10^{+}^{308}}。

现代计算机系统普遍采用IEEE 754标准来表示浮点数。假设我们要将十进制数A转换为二进制形式进行存储，则首先将其表示为其二进制展开式B。经过规格化处理后得到的是以2为底的指数形式：C×2^D。其中符号位设置为零值（因为数值A为正），其阶码字段编码结果为十进制数值十一（即二进制B_8B_4B_2B_₁），其尾数字段编码结果则为十六进制数值五（即二进制b_7b_6b_5b_4b_3b_2b_₁b₀）。计算得出最终的机器数表示如下：符号位s=O；阶码字段\text{E}=B_{8}B_{4}B_{2}B_{₁}=A+B+C-D+E-F-G-H-I-J-K-L-M-N-O-P-Q-R-S-T-U-V-W-X-Y-Z；尾数字段\text{M}=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t+u+v+w+x+y+z。为了保证精度，在编码过程中需对阶码字段进行偏移处理，默认偏移量取值为十二�（十六进制中的 7F$）。因此最终所得的结果对应于上述计算过程中的具体步骤

练习：确定数值范围