卫星轨道总结

闲来无事，翻了翻卫星轨道推导，总结下。

首先列举几个关键方程

随后，在研究轨道方程时

两边对微分得到：0=h^2(\dot u\ddot u+u\dot u)-GM\dot u=\dot u(h^2(\ddot u+u)-GM)

所以有：\dot u=0\quad 或者 \quad h^2(\ddot u+u)-GM=0\quad\quad (7)

其中为：

\dot u=0 ⇒ u=u_₀ ⇒ ρ=ρ₀

这一条件导致：

u = c·sin(θ + θ₀) + \frac{GM}{h²}

由此可得：

ρ = \frac{h²}{GM} · \frac{1}{1 + ε·sin(θ + θ₀)}

其中：

ε = c·\frac{h²}{GM}

可见方程（8）代表圆锥曲线轨道。

下面推导\epsilon的表达式.

基于能量守恒定律（4）和轨道方程（8）可知：
E等于二分之h平方乘以括号内u点平方加u平方再减去GM乘以u，
这进一步展开为：
E等于二分之h平方乘以括号内c平方cos²(theta加theta0)加上(c sin(theta加theta0)加GM除以h²)的平方，
简化后得到：
E等于二分之h平方乘以括号内c平方加上(GM除以h²)²再加2c sin(theta加theta0)乘以GM除以h²，
最终整理得：
E等于二分之h平方乘c平方减去(GM)四次方除以(2h四次方)
从而得出关系式：
c的平方等于(2E)/(h²)加上(GM/h²)²，
进一步变形得到：
epsilon的平方等于(c h²/GM)的平方，
即epsilon的平方也等于(2E h²)/(GM)^2加上1。

选择合适的坐标系时, 为了便于研究问题, 我们通常会选取中心天体的位置作为坐标系的原点, 并将近日点对应的角度θ设为零. 这种设置使得轨道方程能够被统一表示如下:

最后，讨论轨道类型与常见参数
从(10)式可以看出:

当离心率ε为零时，

有根据(4)可知，

角速率满足r²·dθ/dt = h，

此时圆轨道半径r等于ρ，并且由式（4）知：

ρ = r = h²/(GM) = -GM/(2E)

其中E代表总机械能。

周期T定义为2π/ω，

即：

T = 2π/(dθ/dt) = 2π√(r³/GM)

同时，在圆轨道上任一点的速度v满足：

v = √(GM/l) ，其中l是该点到中心天体的距离。

当l等于中心天体半径R时，

v = √(GM/R)

这就是该中心天体的第一宇宙速度。

当参数ε取值为1时

当参数\epsilon>1时，在系统运行过程中可得到系统的总能量值为正值的情况下，则该物体将脱离中心天体的引力束缚运动轨迹呈现双曲线形态。在任一位置处的速度大小均大于\sqrt{2GM/l}其中l表示当前位置处卫星与中心天体之间的距离

当离心率介于0至1之间时，则轨道能量E为负值E<0。此时卫星无法逃脱中心天体的引力捕获作用（逃逸），其轨道轨迹为椭圆曲线。
椭圆轨道参数包括半长轴a、半短轴b以及焦点到某一顶点的距离p等基本参数：

\begin{cases} a = \dfrac{h^2}{2GM}\left(\dfrac{1}{1+\epsilon} + \dfrac{1}{1-\epsilon}\right) = -\dfrac{GM}{2E} \\ b^2 = 2a \cdot \dfrac{h^2}{2GM} = -\dfrac{h^2}{E} \\ p = \dfrac{h^2}{GM} \end{cases}

其中h表示动量矩密度。
为了计算运动周期T，则需通过开普勒第二定律：

\rho^2 \cdot \dot{\theta} = h

进而得到：

\int_0^{T}\rho^2 \cdot \dot{\theta} dt = \int_0^{T}\rho^2 d\theta = hT

由此可得：

hT = 2\pi ab \\ h^2 T^2 = 4\pi^2 a^4 b^4 \\ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}

由此可见，在同一中心天体系统中不同卫星的椭圆轨道仅由机械能决定其半长轴a及周期T：

\dfrac{T}{(a)^{3/2}}=k \\ k= (G M)^{-1/8}

其中k为常数系数。
此外椭圆轨道参数还包括半短轴b, 离心率\epsilon, 焦距p, 均与动量矩密度h相关联。