离散傅立叶变换DFT和离散余弦变换DCT

离散傅立叶变换DFT

一维DFT

文献1第4章中的相关论述分别阐述了单变量的一维离散傅里叶变换DFT及其反变换IDFT。

有时候，前边的系数\frac{1}{M}会发生变化，但其乘积仍然为，常见的情况如下：

在此，我们可以以第一组变换对为主来记忆 DFT 。

二维DFT

同时，文献2中接着给出了式**(4.2.16)** 和式**(4.2.17)** 所示的二维离散傅立叶变换和反变换：

\text{其中} u=0,1,2,…，M-1; v=0,1,2…，N-1。

其中

离散余弦变换DCT

参考文献3和文献4指出，离散余弦变换具有多种不同的定义。其中最常用的是DCT-II类型

一维DCT

在文献5的第9章中，在条公式（9.2.1）和条公式（9.2.2）处分别对一维离散余弦变换及其反变换进行了详细阐述。具体内容所述如下所述

其中，系数 a(u)的表达式为：

然而，在如 MATLAB 这样的软件中，矩阵下标通常采用从1而非0开始的方式进行编号。这表明，在 MATLAB 中该公式会被重新表述为：

其中，系数 w(k)的表达式为：

二维DCT

在文献6的第九章中**（9.2.4）** 和**（9.2.5）** 式又分别提出了二维离散余弦变换及其逆变换的具体内容，请参考以下详细说明

\text{其中}u=0,1,2,…，M-1;v=0,1,2,…，N-1。

\text{其中}x=0,1,2,…及y=0,1,2,…；与原文相比存在细微的差别（我们将其中一个变量N更换为M），该文献未明确给出其系数的具体形式，但我们可以依据以下一系列变换推导出相应的系数表达式。接着，在 MATLAB 环境中将其表示为以下公式：

C(k,l)=\frac{1}{2}(-1)^{k/2}(-1)^{l/2}\left[\cos\left(\frac{\pi k(2x+1)}{2M}\right)+\cos\left(\frac{\pi l(2y+1)}{2N}\right)\right]

其中，系数 \alpha_p与 \alpha_q的表达式分别为：

和

参考文献

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Rafael C. Gonzalez与Richard E. Woods合著的《Digital Image Processing》一书已出版第二版，并由阮秋琦等学者负责翻译；可参考维基百科关于‘离散余弦变换’的相关介绍：Wikipedia: Discrete Cosine Transform；例如，在图像工程领域中，《图像处理》（第三版）由章毓晋教授编写并出版。