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【大学物理·早期量子论和量子力学基础】量子力学中的氢原子问题

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一、氢原子的薛定谔方程

在氢原子中，电子的势能函数为
U=-rac{e^{2}}{4i i _{0}r}

将U代入薛定谔方程得
rac{artial^{2} si }{artial x{2}}+\frac{\partial{2} si }{artial y{2}}+\frac{\partial{2} si }{artial z{2}}+\frac{2m}{h{2}}si =0

采用球极坐标代替直角坐标，因 x=rsinheta cosarphi ,y=rsinheta sinarphi ,z=rcosheta,所以上式化成
rac{1}{r^{2}}rac{artial }{artial r}+rac{1}{r^{2}sinheta }rac{artial }{artial heta }+rac{1}{r{2}sin{2}heta}rac{artial^2 si }{artial arphi 2}+\frac{2m}{h{2}}si =0

通常采用 分离变量法，即有
si =Rheta hi

1.能量量子化
E_{n}=-rac{me^{4}}{32i ^{2}i {2}_{0}h{2}}rac{1}{n{2}}=-\frac{me{4}}{8i {2}_{0}h{2}}rac{1}{n^{2}}

式中n=1,2,3,...,称为主量子数

2.“轨道”角动量量子化

电子绕核运动的角动量必须满足量子化条件
L=qrt{l}rac{h}{2i }

式中l=0,1,2,3,...(n-1),称为角量子数

3. “轨道”角动量空间量子化
L_{z}=m_{l}rac{h}{2i }

式中m_{l}=0,m 1,m2,...,m l称为磁量子数。对于一定的角量子数l,m_{l}可取(2l+1)个值

早在 1896年塞曼发现，当光源处于外磁场中，它发出的一条谱线将分裂成若干条非 常靠近的谱线，这种现象称为塞曼效应.

二、氢原子中电子的概率分布

在氢原子中，求解薛定谔方程得到的电子波函数si 对应每一组量子数，有一确定的波函数描述一个确定的状态.
si {n,l,m{l}}=R_{n,l}heta {l,m{l}}hi _{ml}

电子出现在原子核周围的概率密度为
eft | si ight |^{2}=eft | Rheta hi ight |

在空间体积元dV=r^{2}sinheta drdheta darphi内，电子出现的概率为
eft | si ight |^{2}dV=eft | R ight |^{2}eft | heta ight |^{2}eft | hi ight |{2}r{2}sinheta drdheta darphi
eft | R ight |{2}r{2}dr表示电子在半径为r和r+dr薄球壳内的概率，它与坐标heta与arphi无关，因此r^{2}eft |R ight |^{2}称为径向概率密度，用p(r)表示

当氢原子处于基态时(n=1,l = 0)，电子出现在玻尔半径a_{0}附近的概率最大

量子力学得出电子出现在某处的概率， 不能断言电子在某处出现

所谓电子云，并不表示电子真的像一团云雾罩那样弥漫在原子核周围，而只是电子概率分布的一种形象化描述而已.

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