大学物理复习——量子力学基础
量子力学基础
早期量子论
黑体辐射，普朗克量子假设
热辐射、黑体辐射
热辐射 ：所有物体在任何温度下都会向周围空间发射电磁波，在不同温度下发出的各种电磁波的能量随着波长的变化呈现不同的分布特性
平衡热辐射 ：当物体处于稳定温度状态时，在单位时间内所发射出的电磁辐照度与所吸收的电磁辐照度达到动态平衡
单色辐射本领（单色辐出度） ：指单位时间内从物体表面每平方米面积上以特定波段Δλ内发出的能量
总辐出度（辐出度） ：表示单位时间内从物体表面每平方米面积上以所有可能波长发出的能量总量M(T)=∫₀^∞ M_λ (T)dλ
黑体 ：指的是能够完全吸收各种入射电磁波的理想物质
斯忒藩——玻尔兹曼定律
\begin{system}M(T)=\int_0^\infty M_\lambda (T)\dint符号dλ\\
M(T) = σT^4 \end{system}
其中部分描述了该系统中的积分运算和另一个表达式M(T)与σT^4之间的关系。常数项σ被定义为5.67×10^{−8}\ W·m^{−2}·K^{−4}。
维恩位移公式
\lambda_mT=b其中b为维恩常数2.898\times10^{-3}m\cdot K
普朗克量子假说
-3
普朗克公式M_\lambda(T)=2\pi hc^2\lambda^{-5}\frac{1}{e^{\frac{he}{\lambda kT}-1}}
其中符号h代表普朗克常数
其具体数值为6.63\times 10^{-34}
普朗克量子假说是物理学中用于描述物体辐射能量的基本理论模型。
- 构成黑体腔壁的分子和原子被视为带电的线性谐振子，并能吸收或辐射电磁波。
- 谐振子仅能处在特定的能量级上，每个能级的能量均为最低能量单位ε 的整数倍。
其中能量子ε=hv。
光电效应、光的波粒二象性
爱因斯坦的光量子理论
爱因斯坦提出的光电效应方程表明：当金属表面的自由电子吸收单个光子的能量hv时，在其中一部分能量被用于使电子脱离金属表面（逸出功A值），剩余的部分则转化为光电子的动能。
光的波粒二象性
光子的能量E=hv,E=mc^2
光子的动量p=\frac{E}{c}=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}
康普顿效益
康普顿效应 ：短波射线通过物质散射时，发现散射的波长发生变化的现象
康普顿效应的具体表现与解释 ：
- 散射X射线所具有的一个特殊性质是其存在一种大于原始X射线波长的新峰值（其对应于与外围电子发生相互作用时所失去的部分动量）。
- 折射后出现的小幅减小后的X射线相对于原始X射线而言，在其传播方向上的差异程度与其发生角度ψ之间存在密切关系（这种差异程度反映了相互作用过程中能量转移的方向性）。
- 在相同的观察角度ψ下进行分析时不同种类样品表现出大致相同的结构变化程度（这种现象反映了相互作用过程中能量转移方向的一致性）。
- 在样品内部原子序列数目增多的情况下较高值范围内的散射光强度会呈现出衰减现象（这种衰减现象表明虽然内部存在更多原子但并未显著影响到外围电子层面的行为）。
据研究，得到下面几则公式：
碰撞后电子的质量
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
两个波长的差值
\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{2h}{m_0c}sin^2\frac{\psi}{2}
电子的波长
\lambda_c=\frac{h}{m_0c}
玻尔的氢原子理论
巴耳末公式
当氢原子电子自较高能量状态（如n=3,~4,~5,~6\dots）跃迁至基态（m=2）时所发射出的光子光谱线波长满足下述关系式
玻尔的氢原子理论
三个基本假设：
定态假说
原子经由从高能到低能的定态跃迁时会发射一个光子，在此过程中吸收到一个光子也可以促使原子从低能到高能跃迁这一现象当且仅当满足hv=Eₙ-Eₖ时成立
- 轨道角动量量子化假设
L=mv_nr_n=n\frac{h}{2\pi}
其中n为量子数
据上述假设可以推出E_n=-\frac{1}{n^2}(\frac{me^4}{4\pi\varepsilon_0r_n})
其中E_1=-13.58eV
德布罗意波、实物粒子的波粒二象性
德布罗依波 ：所有运动现象均与之相伴随。
其运动特征与波动特性不可分割。
在自由情况下的速度较低时，
有E=\frac{p^2}{2m}，
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mE}}
测不准关系
不确定性原理：微观粒子的空间坐标通过概率波函数来表征，在理论中只能揭示出粒子在各个位置出现的概率分布情况；任意给定时刻不可能准确地确定其位置和动量值
海森堡测不准关系式
对于每一个坐标轴方向，
\begin{cases}
Δp_x与Δx的乘积至少为h’的一半，
\\
Δp_y与Δy的乘积至少为h’的一半，
\\
Δp_z与Δz的乘积至少为h’的一半。
\end{cases}
薛定谔方程
薛定谔方程 被称为描述粒子运动及其所处状态的波动方程
在其中，
波函数Ψ=Ψ(x,y,z,t)代表系统的状态；
势能函数U=U(x,y,z,t)则定义了空间中的势场；
拉普拉斯算子∇²则由三个二阶偏导数组成。
一维自由粒子的薛定谔方程
因此，在没有外力作用下自由运动的粒子遵循以下方程：
-\frac{h^2}{2m}\cdot \nabla^2\Psi = i h \frac{\partial \Psi}{\partial t}
其中，在这种情况下涉及到了波函数的一阶导数和二阶导数的具体形式如下：
\Psi(x,t) = \Psi_0 e^{-i\left(\frac{E t - p x}{h}\right)}
波函数的物理意义
波函数模的平方代表了t时刻，在空间(x,y,z)附近的体积元内粒子出现的概率分布情况，并被称为概率密度函数
物质波与经典波的本质区别
- 物质波函数属于复数域范畴无法直接观测，并未具有独立的物理意义其模长的平方则具备可测性和实际意义
- 该种波动特征反映了粒子的概率分布情况其重要性体现在相对比值上
定态问题
当体系以特定的波函数描述的状态时其能量具有确定值则称该状态为定态此时满足薛定谔方程-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + U\Psi = E\Psi。
波函数的物理意义
波函数的平方代表了一定时刻在(x,y,z)周围单位体积范围内粒子出现的概率\omega=|\varPhi|^2。根据概率守恒定律，在整个区域内概率密度函数的空间积分为1，即\int \int \int _v |\varPhi|^2dxdydz =1。
定态薛定谔方程
-\frac{h'^{2}}{2m}\nabla^{2}\Phi + U\Phi = E\Phi 基于德布罗意理论 E = h'\omega 在一维势场问题中 \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}} + \frac{2m}{h'}(E - U)\Phi(x) = 0
薛定谔方程的简单应用
一维无限深势阱
将金属中的自由电子视为一维无限深势阱中的粒子运动。该区间的势能函数u(x)在(0, a)区间内取值为零，在区间外趋近于无穷大。求解结果表明：波函数Φ(x)可表示为Φ(x)=Csinkx + Dcoskx。其中k满足ka=nπ的关系式；系数D被确定为零；常数c取值为√(2/a)
氢原子的量子理论
据电子的势能表达式为U(r)= - \frac{e^{2}}{4{\pi}{\varepsilon}_{0} r}
满足定态薛定谔方程的形式：-\frac{{h}'}{2m}\nabla^{2} {\Phi} + U{\cdot}{Φ}= E{\cdot}{Φ}
由此可得对应的微分方程形式为：\nabla^{2}{Φ} + \frac{{2m}}{{{h}'}} \left(E - \frac{{e}^{2}}{4{\pi}{\varepsilon}_{0} r}\right){Φ}= 0
通过求解该微分方程即可获得所需的结果：
氢原子的能级量子化E=-\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\frac{1}{n^2}
多电子原子中电子的分布
斯特恩—盖拉赫实验
原子在外部磁场中的磁矩取向呈现量子化特征。据dA = \frac{1}{2} r^2 d\varphi可知，在极短时间内动量矩L = m r^2 \omega = m r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial t}。由此可得量值为A = \frac{L T}{2 m}。由于电流强度I = \frac{\partial e}{\partial T}恒定，则电流强度与磁感应的关系为I A = I e / T = I e / (m T)。因此磁矩\mu = I A = \frac{\partial e L }{\partial 3 m }.