【ISAC】Task-Oriented Over-the-Air Computation for Multi-Device Edge AI

本文主要研究了通信系统中信号处理与功率控制的关键技术。通过分析信号的特征，提出了基于判别增益的信号恢复方法，并结合波束赋形和预编码技术，优化了系统的性能。研究重点包括信号的PCA降维、波束赋形、预编码以及功率控制等环节。通过引入SCA方法，将复杂的问题转化为凸函数差形式，从而实现了高效的优化。此外，文章还详细讨论了ZF预编码器的设计及其对系统性能的影响，并通过仿射变换和矩阵分析，验证了相关理论的正确性。研究结果表明，通过协同功率控制和波束赋形，可以显著提高通信系统的信道利用效率和信号恢复性能。

文章目录

• 参考文献与符号说明部分
• 问题建模与分析部分
• 协同功率控制与任务导向空中计算中的波束赋形问题
  • 等价问题分析
  • SCA方法求解

X附录

• ZF预编码模块

  • 收接收端波束赋形模块
  • 差分凸函数
  • 问题解释：分母意义
  • Y-复现
  • • Y1-数据集
    • Y2-AI模型

0-参考文献&符号说明

符号	分布
\mathrm{e}_k	感知噪声分布 \mathrm{e}_k\sim\mathcal{N}\left(0,\epsilon_k^2\mathrm{I}\right)
\mathrm{d}_k	感知噪声经过PCA \mathrm{d}_k\sim\mathcal{N}\left(0,\epsilon_k^2\mathbf{I}\right)
\mathcal{F}_\ell(\mathbf{x})	第\ell类别特征的分布 \mathcal{F}_\ell(\mathbf{x})=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{\mu}_\ell,\boldsymbol{\Sigma}\right),\quad1\leq\ell\leq L
\mathbf{n}	OAC过程的AWGN \mathbf{n}\sim\mathcal{N}\left(0,\delta_0^2\mathbf{I}\right)
x_{m_i}	每个特征元素的分布 x_{m_i}\sim\frac1L\sum_{\ell=1}^L\mathcal{N}\left(\mu_{\ell,m_i},\sigma_{m_i}^2\right)
d_{k,m_i}	每个噪声元素的分布 d_{k,m_i}\sim\mathcal{N}\left(0,\epsilon_k^2\right)
x_{k,m_i}	本地元素 x_{k,m_i}\sim\frac1L\sum_{\ell=1}^L\mathcal{N}\left(\mu_{\ell,m_i},\sigma_{m_i}^2+\epsilon_k^2\right)
\hat{x}_{m_i}	接收元素分布 \hat{x}_{m_i}\sim\frac1L\mathcal{N}\left(\hat{\mu}_{\ell,m_i},\hat{\sigma}_{m_i}^2\right)
解释\hat{x}_{m_i}	\begin{cases}\hat{\mu}_{\ell,m_i}=\sum_{k=1}^Kc_k\mu_{\ell,m_i},\\ \hat{\sigma}_{m_i}^2=\sigma_{m_i}^2\left(\sum_{k=1}^Kc_k\right)^2+\sum_{k=1}^Kc_k^2\epsilon_k^2+\frac{\delta_0^2}2\left(\mathbf{f}_1^T\mathbf{f}_1+\mathbf{f}_2\mathbf{f}_2\right)\end{cases}
A	C
A	C
A	C

符号	描述
\mathbf{z}_k	传感器采集的信号 \textcolor{red} {\mathbf{z}_{k}=\mathbf{z}+\mathbf{e}_{k}} \textcolor{blue}{\mathbf{z}=[z_1,z_2,\ldots,z_S]^T} \textcolor{green}{\mathbf{z}_{k}=[z_{k,1},z_{k,2},\ldots,z_{k,S}]^{T}} \mathbf{e}_k\sim\mathcal{N}\left(0,\epsilon_k^2\mathbf{I}\right)
\mathbf{x}_k	PCA特征提取后的信号分量 \mathbf{x}=\mathbf{U}^T\mathbf{z}=[x_1,x_2,\ldots,x_M]^T，前 M 个最大的奇异值对应的主成分
\mathrm{d}_k	PCA特征提取后的感知分量 \mathrm{d}_k=\mathrm{U}^T\mathrm{e}_k
\mathcal{F}(\mathbf{x})	PCA特征提取后的信号分布 \mathcal{F}(\mathbf{x})=\frac1L\sum_{\ell=1}^L\mathcal{F}_\ell(\mathbf{x})
\mathcal{F}_\ell(\mathbf{x})	第\ell类别特征的分布 \mathcal{F}_\ell(\mathbf{x})=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{\mu}_\ell,\boldsymbol{\Sigma}\right),\quad1\leq\ell\leq L
\mu_\ell	第\ell类别特征的中心 \mu_\ell=[\mu_{\ell,1},\mu_{\ell,2},\ldots,\mu_{\ell,M}]^T,\quad1\leq\ell\leq L
G_{\ell,\ell^{\prime}}(\mathrm{x})	任意两个类别的判别增益
s_k	将\mathbf{x}中的每个元素组合成复数符号s_k=x_{k,m_1}+jx_{k,m_2}
b_k	对s_k进行预编码，这是个标量b_k\in\mathbb{C}
\mathbf{y}_m	服务器接收的信号 \mathbf{y}_m=\sum_{k=1}^K\mathbf{h}_kb_ks_k+\mathbf{n}
\hat{s}	服务器接收端beamforming \hat{s}=\mathbf{f}^H\mathbf{y}_m=\mathbf{f}^H\sum_{k=1}^K\mathbf{h}_kb_ks_k+\mathbf{f}^H\mathbf{n} 参考x2
\hat{x}_{m_1} \\ \hat{x}_{m_1}	接收端估计的特征\begin{cases}\hat{x}_{m_1}=\mathrm{Re}\left(\hat{s}\right)=\mathrm{Re}\left(\mathbf{f}^H\sum_{k=1}^K\mathbf{h}_kb_ks_k+\mathbf{f}^H\mathbf{n}\right),\\ \hat{x}_{m_2}=\mathrm{Im}\left(\hat{s}\right)=\mathrm{Im}\left(\mathbf{f}^H\sum_{k=1}^K\mathbf{h}_kb_ks_k+\mathbf{f}^H\mathbf{n}\right),\end{cases}
c_k	\text{接收信号强度或转向功率 } \mathrm{f}^H\mathrm{h}_kb_k=c_k \\ \text{ZF预编码器 } b_k=\frac{c_k\mathbf{h}_k^H\mathbf{f}}{\mathbf{h}_k^H\mathbf{f}^H\mathbf{h}_k}
\mathrm{f_1}	\mathrm{f_1=Re(f)~and~f_2=Im(f)}
\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_i}	\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_i}=\frac{\left(\hat{\mu}_{\ell,m_i}-\hat{\mu}_{\ell^{\prime},m_i}\right)^2}{\hat{\sigma}_{m_i}^2},\quad\forall(\ell,\ell^{\prime},m_i)
\hat P_k	最大预编码功率\hat P_k=\frac{P_k}{\mathbb{E}(s_ks_k^H)}
P_k	预编码功率约束b_k\mathbb{E}(s_ks_k^H)b_k^H\leq P_k

3-问题建立

通信的主要目标是实现单点对单点的无误恢复；该系统旨在通过主成分分析后的特征实现无误恢复；随后进行基于神经网络的识别；

信道对特征有影响，以及如何OAC实现多视角信息；

\begin{aligned}
G_{\ell,\ell^{\prime}}(\mathbf{x}) &\triangleq \mathrm{D}{KL}\left[\mathcal{F}\ell(\mathrm{x})\parallel\mathcal{F}{\ell^{{\prime}}(\mathrm{x})\right]+\mathrm{D}_{KL}\left[\mathcal{F}_{\ell}{\prime}}(\mathrm{x})\parallel\mathcal{F}\ell(\mathrm{x})\right], \
&= \int_{\mathbf{x}}\mathcal{F}{\ell}(\mathbf{x})\operatorname{log}\left[\frac{\mathcal{F}{\ell^{\prime}}(\mathbf{x})}{\mathcal{F}{\ell}(\mathbf{x})}\right]\mathrm{d}\mathbf{x} + \int{\mathbf{x}}\mathcal{F}{\ell^{{\prime}}(\mathbf{x})\operatorname{log}\left[\frac{\mathcal{F}_{\ell}(\mathbf{x})}{\mathcal{F}_{\ell}{\prime}}(\mathbf{x})}\right]\mathrm{d}\mathbf{x}, \
&= \left(\boldsymbol{\mu}\ell - \boldsymbol{\mu}{\ell^{{\prime}}\right)}T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\boldsymbol{\mu}\ell - \boldsymbol{\mu}_{\ell^{\prime}}\right), \quad \forall (\ell, \ell^{\prime}),
\end{aligned}

PMLR-solution，pp45

Eq. 11的证明内容可参考PMLR-solution一书中第45页，该证明与数据整体的方差、均值的平方和MSE具有相似性，其中均值的平方和与MSE具有相似性

该函数G(x_m)被定义为：

G(x_m)=\frac{2}{L(L-1)}\sum_{\ell'=1}^{L}\sum_{\ell<\ell'}\frac{(\mu_{\ell,m}-\mu_{\ell',m})^2}{\sigma_m^2},\quad\forall m

其中对任意的m成立。

Eq. 15 每个元素间的判决增益

G(\hat{x}_{m_i})的估计值为\frac{2}{L(L-1)}乘以所有ℓ'从1到L以及ℓ小于ℓ'的所有情况的求和，其中每一项为（估计的μ_{ℓ,m_i}减去估计的μ_{ℓ',m_i}）的平方，再除以σ_{m_i}的平方。

Eq. 36 接收端每个元素间的判决增益

$(\mathrm{P}1)\最大化G=G(\hat{x}{m{1}})+G(\hat{x}{m{2}})，\ 受限于b_k \cdot b_k^H \leq \hat{P}_k，\quad1 \leq k \leq K。

$(\mathrm{P}1)\最大化G=G(\hat{x}{m{1}})+G(\hat{x}{m{2}})，\ 受限于b_k \cdot b_k^H \leq \hat{P}_k，\quad1 \leq k \leq K。

Eq. 25目标函数具有非凸性和比率形式，且b_{k}与\mathbf{f}之间存在耦合关系。

(\mathbf{P}2)\max_{\{c_k\},\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2}G=\frac{2}{L(L-1)}\sum_{i=1}^{2}\sum_{\ell^{\prime}=1}^{L}\sum_{\ell<\ell^{\prime}}\frac{\left(\hat{\mu}_{\ell,m_i}-\hat{\mu}_{\ell^{\prime},m_i}\right)^2}{\hat{\sigma}_{m_i}^2},\\ \mathrm{s.t.} c_{k}^{2}\leq\hat{P}_{k}\mathbf{h}_{k}^{H}\left(\mathbf{f}_{1}\mathbf{f}_{1}^{T}+\mathbf{f}_{2}\mathbf{f}_{2}^{T}\right)\mathbf{h}_{k},\quad1\leq k\leq K,

4-协同功率控制和用于任务导向空中计算的波束赋形

4.1-等价问题

原始功率约束为：b_{k}b_{k}^{H}\leq\hat{P}_{k}，其中\hat P_k=\frac{P_k}{\mathbb{E}(s_ks_k^H)}，s_k代表预编码前的信号。通过施加零约束的编码，功率约束式变为：c_k^2\leq\hat{P}_k\mathbf{h}_k^H\mathbf{ff}^H\mathbf{h}_k。具体而言，经过将\mathbf{f}分解为其实部和虚部，分别得到\mathbf{f_1}和\mathbf{f_2}，此时功率约束式进一步转化为：c_{k}^{2}\leq\hat{P}_{k}\mathbf{h}_{k}^{H}(\mathbf{f}_{1}\mathbf{f}_{1}^{T}+\mathbf{f}_{2}\mathbf{f}_{2}^{T})\mathbf{h}_{k}。由于\mathbf{f_1}和\mathbf{f_2}具有对称性，因此最优解满足\mathbf{f}_1=\mathbf{f}_2={\mathbf{\hat f}}，最终功率约束式简化为：c_k^2-2\hat{P}_k\mathbf{h}_k^H\hat{\mathbf{f}}\hat{\mathbf{f}}^T\mathbf{h}_k\leq0。这一系列转换的目的在于将原问题转化为差分凸问题（D.C. problem）。

该优化问题旨在最大化目标函数G，其定义为两个求和项的比值

\max_{{c_{k}},\mathbf{f}{1},\mathbf{f}{2},{\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_{i}}}}G

Eq.38 定义变量\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_i}=\frac{\left(\hat{\mu}_{\ell,m_i}-\hat{\mu}_{\ell^{\prime},m_i}\right)^2}{\hat{\sigma}_{m_i}^2},\quad\forall(\ell,\ell^{\prime},m_i)，施加一个等式约束，确保\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_i}的物理意义与原始信号均值和方差保持一致关系（目标函数和约束始终是一对折中）。
\mathbf{f}_{1}和\mathbf{f}_{2}具有对称性，当两者相等时，达到最优解。
目标函数G与\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_i}正相关于，约束条件改为大于等于，增加\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_i}会使目标函数值增大，只有当约束条件取等号时，才能达到最优解。

\begin{aligned} (\mathbf{P}3)\max_{\{c_{k}\},\mathbf{\hat{f}},\{\alpha_{\ell,\ell^{\prime},m_{i}}\}}&G=\frac{2}{L(L-1)}\sum_{i=1}^{2}\sum_{\ell^{\prime}=1}^{L}\sum_{\ell

4.2-SCA求解

该算法在性能上显著优于aiso，主要得益于其简洁的设计和高效的代码结构。

公式（P4）通过最大化目标函数G，实现对复杂度的优化，其中G的定义为：G=2/(L(L-1))乘以累加求和项。

X-附录

x1-ZF预编码

\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{W} \mathbf{s} + \mathbf{n}

ZF预编码的目标是使得 \mathbf{H} \mathbf{W} = \mathbf{I} ，其中 \mathbf{I} 是单位矩阵。这意味着，ZF预编码器要使信道矩阵 \mathbf{H} 与预编码矩阵 \mathbf{W} 的乘积成为单位矩阵，从而完全消除干扰。
为了实现 \mathbf{H} \mathbf{W} = \mathbf{I} ，ZF预编码器的预编码矩阵 \mathbf{W} 通常选择为信道矩阵 \mathbf{H} 的伪逆矩阵：

\mathbf{W} = \mathbf{H}^+ = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H

其中，\mathbf{H}^+ 表示信道矩阵的伪逆矩阵，\mathbf{H}^+ 的计算基于矩阵 \mathbf{H}^H \mathbf{H} 的逆。通过使用伪逆矩阵，ZF预编码器能够将接收信号中的干扰降至最小。然而，ZF预编码并非没有代价。由于 \mathbf{H}^+ 的计算涉及矩阵的逆操作，如果信道矩阵的条件数（即信道矩阵的特征值比）很大，ZF预编码器可能会导致噪声的放大，从而降低系统的信噪比（SNR）。因此，ZF预编码在抗干扰能力和噪声放大之间存在一个折中。

x2-接收端波束赋形

1. 信号增强与干扰抑制

在通信系统中，波束赋形 的主要目标是提高目标信号的强度并有效抑制干扰信号和噪声的影响。在上行链路中，服务器接收的信号是来自多个传感器的综合信号，其中包含目标信号和噪声。通过设计一个合适的接收波束（即选择一个适当的接收权重向量 \mathbf{f} ），可以最大化接收信号中的目标信号分量，同时有效降低噪声和干扰的影响。

具体而言，\mathbf{f} 是一个权重矢量，它通过加权求和不同传感器的信号来提升接收信号的效果。这样可以在目标信号 \sum_{k=1}^K \mathbf{h}_k b_k s_k 和噪声 \mathbf{n} 之间实现一个有益的信噪比（SNR）。

2. 信号的空间滤波

在多个传感器的系统中，信号到达服务器的路径会受多径效应、信号强度和噪声水平等多种因素的影响。通过设计合适的接收波束，波束赋形技术实现了空间滤波器，从而在接收端实现了对特定方向信号的增强，同时有效抑制了其他方向的信号或噪声。

具体来说，加权矢量 \mathbf{f} 通过加权的方式对接收的信号进行处理，从而实现从特定方向接收信号的目的。这有助于增强目标信号的同时，抑制干扰信号或噪声。

3. 信号估计

通过波束赋形，服务器能够 估计 目标信号。计算 \hat{s} ：

\hat{s}被定义为\mathbf{f}^H与\mathbf{y}_m的乘积，等于\mathbf{f}^H乘以括号内的求和项和噪声项。

可以分离接收信号中的目标信号分量（\mathbf{f}^H \sum_{k=1}^K \mathbf{h}_k b_k s_k）与噪声分量（\mathbf{f}^H \mathbf{n}）。通过优化权重向量\mathbf{f}，可以增强期望信号的输出效果，从而实现更有效的信号检测和解码。

4. 信号处理优化

通过改进波束赋形权重 \mathbf{f}，可以显著提升信号质量，同时降低失真程度，并增强系统整体性能。在实际应用中，尤其是通信系统中，对信号进行最优处理至关重要，这有助于确保数据传输的可靠性和有效性。

波束赋形（Beamforming）旨在通过选择性地增强信号并抑制噪声来优化接收信号质量。在上行链路中，服务器接收的信号是多个传感器发送信号的叠加，同时包含噪声。通过设计合适的接收波束 \mathbf{f}，可以最大化目标信号的成分，同时减少噪声的影响，从而提升信号的整体质量和系统的性能。

x3-凸函数差（difference of convex functions）

wen 硕士论文 pp32

解释：

函数 f(x) 被认为是凸函数，当且仅当其二阶导数非负，即其图像上任意两点之间的弦位于该图像的上方或与其重合。

凸函数差：如果函数 g(x) 可以表示为两个凸函数的差，即 g(x) = f_1(x) - f_2(x) ，其中 f_1(x) 和 f_2(x) 均为凸函数，那么该函数 g(x) 即为凸函数差。

为什么重要？

D.C.结构的显著优势在于，特别适合采用特定的优化技术，如D.C.算法（DCA）。该算法通过线性化处理非凸部分，并逐步解决一系列凸子问题，从而有效解决D.C.结构的问题。这种方法特别适用于那些虽然本身非凸，但却可以被转化为D.C.形式的问题。

在你的句子中：

通过变量转换，问题(P2)被重新表述为一个等价的d.c.问题，从而能够采用专为d.c.函数设计的优化方法来求解。

x4-b_k为什么要除以{\mathbf{h}_k^H \mathbf{f} \mathbf{f}^H \mathbf{h}_k}

其主要目的是归一化信道增益，以便预编码器 b_k 能够在信道增益和波束形成增益的影响下，精确调整传输信号，以满足预定的接收信号强度 c_k，同时确保信号功率在给定的限制内。这一过程确保了零强制预编码器既能有效消除干扰，又能合理控制传输功率。

Y-复现

dBm 和 mW 的关系

dBm 是衡量功率的一种单位，其基准为 1 毫瓦 (mW) 的对数尺度。P_{\text{dBm}} 是基于以 10 为底的对数运算，计算公式为 10 \times \log_{10}\left(\frac{P_{\text{mW}}}{1\, \text{mW}}\right)。其中，P_{\text{dBm}} 表示以 dBm 为单位的功率值，P_{\text{mW}} 则是以毫瓦为单位的功率值。

为了实现dBm与毫瓦的转换，我们采用反函数计算：
计算式为 P_{\text{mW}} = 10^{\frac{P_{\text{dBm}}}{10}}
dB和dBm的转换关系需要注意，其中power_mdB表示的是毫分贝（mdB），即1 mdB等于0.001 dBm。

在这种情况下，从 mdB 到 mW 的转换 是这样的：
P_{\text{mW}} = 10^{\frac{P_{\text{mdB}}}{10} \times 0.001}

具体是从毫分贝毫瓦dBm 转换到毫瓦mW 的线性功率值。

Y1-数据集

基于深度学习的行人与自行车分类系统

深度学习在行人与自行车分类中的应用

3台设备，4个类别，每个类别包含1,000个样本，总样本数为12,000个。每个样本集包含800个训练样本和200个测试样本。每个设备将获得800×12=9,600个训练样本和200×12=2,400个测试样本。每个设备将拥有3,200个训练样本和800个测试样本。

Y2-AI模型

基于未经过信道处理的数据训练出一个推理模型，在测试过程中，每次测试后都会更新预编码和接收矩阵。