Python实现RSA加解密算法
目录
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- 深入了解RSA加密算法
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- 一、RSA算法概述
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- 1.1 关键步骤
- 1.2 安全性分析
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二、RSA算法的Python实现
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- 2.1 辅助函数
- 2.2 密钥生成
- 2.3 加密与解密
- 2.4 使用示例
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三、总结
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深入了解RSA加密算法
该命名法属于非对称密码体系。（Rivest-Shamir-Adleman）
一、RSA算法概述
RSA算法是一种依赖数论原理实现的非对称加密技术。其安全性源于大数分解计算复杂度的问题。不同于对称加密方案的是 RSA 利用了两组不同的密钥：采用公钥完成加密操作的同时私钥则负责解密过程。这表明即使公钥被公开化也只有持有私钥者方能解密 ciphertexts
1.1 关键步骤
RSA加密算法的核心可以分为以下几个步骤：
密钥生成 :
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首先选取两个较大的素数p和q并计算其乘积n = p \times q。该值n将被用以生成公私密钥对中的一个部分。
- 接着通过欧拉函数公式\phi(n) = (p-1) \times (q-1)确定\phi(n)的具体数值。
- 然后选取一个与\phi(n)互质且位于区间(1, \phi(n))内的整数e作为公密指数。
- 最后通过求解线性同余方程d \times e ≡ 1\ (\text{mod}\ \phi(n))确定密指数d作为私密指数。
加密 :
加密时，将明文转换为对应的整数表示 m；随后通过公钥 (e, n) 计算出密文 c：
c = m^e \ (\text{mod} \ n)
解密 :
* 解密时，使用私钥 $(d, n)$ 计算明文 $m$： m = c^d \ (\text{mod} \ n)
1.2 安全性分析
RSA的安全性取决于大数分解的难度。当密钥长度不断增大时，因数分解n的难度呈指数增长，从而使得从已知公钥计算出私钥在计算上变得不可行。
二、RSA算法的Python实现
下面我们将详细阐述如何逐步实现一个基本的RSA加密与解密程序，并且避免依赖任何第三方加密库工具或框架。首先介绍密钥生成过程，并随后详细说明加密与解密的具体步骤。
2.1 辅助函数
我们首先定义几个基本的数学辅助函数：
import random
# 计算最大公约数
def gcd(a, b):
while b != 0:
a, b = b, a % b
return a
# 扩展欧几里得算法，用于计算模逆
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
g, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
x = y1
y = x1 - (a // b) * y1
return g, x, y
# 计算模逆
def mod_inverse(e, phi):
g, x, _ = extended_gcd(e, phi)
if g != 1:
raise ValueError("模逆不存在")
return x % phi
# 快速幂算法
def power_mod(base, exponent, modulus):
result = 1
base = base % modulus
while exponent > 0:
if exponent % 2 == 1:
result = (result * base) % modulus
exponent = exponent >> 1
base = (base * base) % modulus
return result2.2 密钥生成
在后续步骤中，我们需要建立密钥生成函数，并采用一个基础性的素数生成方法来优化实现。
# 判断一个数是否为素数
def is_prime(n):
if n <= 1:
return False
if n <= 3:
return True
if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
return False
i = 5
while i * i <= n:
if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
return False
i += 6
return True
# 生成随机大素数
def generate_prime_candidate(length):
p = 4
while not is_prime(p):
p = random.getrandbits(length)
return p
# 生成RSA密钥对
def generate_keys(bit_length):
p = generate_prime_candidate(bit_length // 2)
q = generate_prime_candidate(bit_length // 2)
n = p * q
phi = (p - 1) * (q - 1)
e = random.randrange(1, phi)
g = gcd(e, phi)
while g != 1:
e = random.randrange(1, phi)
g = gcd(e, phi)
d = mod_inverse(e, phi)
return ((e, n), (d, n)) # 公钥和私钥2.3 加密与解密
一旦密钥生成，我们可以实现加密和解密功能。
# RSA加密
def rsa_encrypt(plaintext, public_key):
e, n = public_key
# 将明文转换为整数
plaintext_int = int.from_bytes(plaintext.encode('utf-8'), byteorder='big')
# 加密
ciphertext = power_mod(plaintext_int, e, n)
return ciphertext
# RSA解密
def rsa_decrypt(ciphertext, private_key):
d, n = private_key
# 解密
plaintext_int = power_mod(ciphertext, d, n)
# 将整数转换为明文
plaintext = plaintext_int.to_bytes((plaintext_int.bit_length() + 7) // 8, byteorder='big').decode('utf-8')
return plaintext2.4 使用示例
最后，我们展示如何使用上述函数生成密钥，并对消息进行加密和解密。
if __name__ == "__main__":
# 生成密钥对（1024位）
public_key, private_key = generate_keys(1024)
# 原始消息
message = "Hello, RSA!"
print("Original Message:", message)
# 加密
ciphertext = rsa_encrypt(message, public_key)
print("Encrypted Message:", ciphertext)
# 解密
decrypted_message = rsa_decrypt(ciphertext, private_key)
print("Decrypted Message:", decrypted_message)
# 检查解密结果是否与原始消息一致
assert decrypted_message == message三、总结
RSA是一种传统上被广泛认可的非对称加密算法，在其安全性上主要依赖于分解大整数的困难性。利用上述Python代码实现 RSA 加密体系后，我们不仅掌握了 RSA 核心算法的基本原理，并且理解了密钥生成、加密和解密的具体流程。
尽管本文中实现的RSA算法属于简化版本但这种基础为深入研究更为复杂的加密算法和应用提供了良好的起点如果你希望进一步提高该算法的安全性可以考虑增加密钥长度或采用更为先进的素数生成技术
为了深入理解RSA算法的核心机制及其应用价值，在学习过程中掌握其实现原理至关重要；这不仅有助于您全面掌握现代加密技术的基本运作模式，并且能够让您更清楚地认识到其在信息安全领域发挥的重要作用