第十四讲 质数 合数 分解质因数
小学五年级奥数 第十四讲 质数 合数 分解质因数
一、质数的定义
质數也被稱為素數，在大於1的自然數中除了1和它本身之外沒有其他因數的數叫做質數。簡單來說就是在大於1的自然數中只能被其本身以及1整除叫做質數。如2, 3, 5, 7, 11, 13等都是質數
1. 质数的特点
- 质数仅能有两个除自身之外的因数值：1和它本身。
- 质數必然是大於1的數值。
- 唯一的一個偶質數為2，在此之外的所有質數皆為奇數。
二、合数的定义
复合数字是指大于一的自然数字中除了能被一和自身整除外还能被其他数字整除的数字也就是说这些数字在除一及其自身外还有其他的因数组成它们被称为复合数字例如4689和10都是复合数字
1. 合数的特点
- 合数有两个以上的因数。
- 合数可以是偶数也可以是奇数。
三、分解质因数
分解质因数即为将一个整數表達為多個質數相乘的形式。例如，在分解决質因數的過程中，我們可以以數字60為例來說明：60可被分解决於2×2×3×5。
1. 分解质因数的方法
- 确定给定合数值N的最小质因数值。
- 将该质因数值作为除法运算中的除子作用于原值N上。
- 继续对上述计算得到的新值进行除法运算操作直至结果等于1。
- 将所有分离出来的值进行乘法运算的结果即等于原始值N。
2. 分解质因数的步骤
以分解72为例：
- 72可以被2整除，72 ÷ 2 = 36。
- 36可以被2整除，36 ÷ 2 = 18。
- 18可以被2整除，18 ÷ 2 = 9。
- 9可以被3整除，9 ÷ 3 = 3。
- 3是质数，所以停止分解。
所以，72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3。
四、质数与合数的应用
掌握质数与合数的概念是深化我们对数学基本结构的理解的关键步骤，在处理涉及约数与倍数的问题时具有重要价值。通过掌握分解质因数组成的能力提升复杂计算题目的解题效率。
五、总结
质数与合数作为数学领域中的核心概念，在理论研究与实际应用中均具有重要意义。通过深入研究与掌握质因数分解的相关知识与技巧，在解决实际计算问题时能够帮助我们在实际计算中更加高效地完成各种运算任务。在奥赛等高阶数学竞赛中，则要求选手具备扎实的基本功储备才能取得优异成绩
第十四讲：质数 合数 分解质因数
通过阅读可以提升智慧；通过阅读可以增强智慧；通过演算能够提高精确性；通过研究哲理书可以加深理解——出自英国哲学家培根。由此可见,知识能够塑造一个人的性格。
◎点击目标
明方向
在自然数字中，在排除1与其自身之外的所有因子里不包括其他数值的情况下，则该数值被称为「质素」（prime number）。最小值为2的「质素」是唯一的一个偶「质素」（even prime）。若某数值在除掉1与其自身之后仍然拥有其他因数值，则该数值被称为合「素」（composite number）。数字1不具备成为「质素」或合「素」（prime or composite）的特性。因此，在自然数字中可被分為三種类型：数字1、所有「質素」以及所有合「素」（composite numbers）。
如果某个自然素因子，则称该素因子为该自然素因子分解定理指出：任何一个大于1的自然数学为若干个素因子的乘积形式这一理论在初等算术中具有基础地位其基本概念包括素因子与合成因子的概念对于理解整除性理论具有重要意义因此要求学生牢固掌握并熟练运用这一理论
◎点击典例
学技巧(一)
王牌例1
某人提出：在任意选取的7个连续自然数中必定存在质数，请试举例说明这一命题并不成立。（第一届"华罗庚杯"决赛题）
分析问题时
解 ：相邻的两个质数89和97之间相隔仅隔一个单位数字（即两者的差值为8），因此，在这两个质数之间的任何七个连续自然数值均为合数值（即分别为：n+1至n+7）。因此，在这两个质數之间的任意七個連續自然數中不可能存在質數。這表明「任意七個連續自然數中必定存在至少一個質數」這項命題是錯誤的理解。
特别指导：本例还可以这样解，任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的，并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全是合数。若取数a=2×3×4×5×6×7×8，则a+2、a+3、a+4、a+5、a+6、a+7、a+8这7个数是连续的7个自然数，但这7个数都是合数。所以题中某人的说法是错误的。
王牌例2
找出1992所有的不同质因数，并求出它们的和。（小学奥数初赛试题）
分析 ：先把1992分解质因数，然后把不同质数相加，求出它们的和。
解 ：1992=2×2×2×3×83，所以1992所有不同的质因数有2、3、83。它们的和是：2+3+83=88。
特别指导：解题之道贵在简捷，本例通过分解，使该题解得干净利索。
王牌例3
共有三张卡片，在每张卡片的一面分别写着数字1、2和3。从这三张卡片中任意抽出一张或两张或全部三张，并按任意顺序进行排列，则可以得到一位数的不同情况以及两位和三位数的各种组合。（以上题目为第二届'华罗庚杯'数学竞赛复赛试题）请列出所有符合条件的质数值。
分析 ：此例可用分类法求解。
解
特别指导：1不属于素數，在所有偶數中只有2才是素數；每当各位数字之和為3的倍數時，在此情況下容易發現那些數字都不属于素umber。
◎特别指导
王牌例4
将50拆分为10个质数之和，并且使得其中的最大值尽可能大，请问这个最大值是多少？
分析表明：在本例中使用"调频思维"来寻找最大的质数较为困难；相反地，在本例中采用"举例思维"则非常简便。
解答
特别指导：在解决一道难题时不应被表象所误导而应深入探究其实质举例来说在强行列举50以内所有质数并加以配对的过程中即使其总和为50也难免陷入困境难以获得正确答案
王牌例5
将20以内的所有质数值依次填入各个方框内，并确保每个质数值仅使用一次；然后将其代入等式\frac{A}{B} + C = D中计算；使得结果为整数的情况下，则求这个整数值的最大可能值是多少？此题为'希望杯'数学竞赛试题中的典型考题。
分析：在这个例子中，在20以内选择8个不同的质数时，在分母的位置分别将8个质数依次作为分母使用，在分子部分则分配剩下的7个质数进行计算运算，并进行比较分析。从整体角度出发，在计算过程中需要考虑这8个质数的总和关系：2+3+5+7+11+13+17+19=77，则可得出以下解法
解答：设分母为质数p，则有A = \frac{252}{p}。若A需为整数值，则p必须能整除252的所有因数组合中满足条件的情况。考虑到252的标准分解式2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times 6^1（注：此处可能存在笔误），实际上正确的分解式应为2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times 6^0（注：进一步确认）。因此只有当p取特定素数值时才满足条件；为了使分数值A达到最大，则需选择最小的素因子p=5；此时计算可得\frac{252}{5}=49.48969980968968448\ldots（注：此处可能需要重新审视数值计算是否正确）。
特别指导：在本例中分子与分母之间的关系存在一定的要求；因此选择了较为独特的整体思维法；相较于传统的方法而言,这种方法更具优势.
王牌例6
将504与自然数a相乘后会成为一个完全平方数；求出使得该结果最小的自然数值a以及相应的完全平方数值。
在分析过程中：由于每个质因数组成平方的数量都是偶次方（例如，在6²=36的情况下, 36可表示为2²×3², 其中2和3均为偶次方）, 因此为了求得a的最小值, 我们需要将504分解为素因子并补充缺少次数以达到奇次方的数量即可得到a的最小值从而能够得到这个平方数值
解 ：504=2³×3²×7，a=2×7=14，23×32×72=70562³×3²×7²=705623×32×72=7056。答：a的最小值是14，这个平方数是7056。
特别指导：运用平方数分解质因數的方式，在各個質因數上指數均為偶數的情況下，则可迅速解題
王牌例7
720的约数有多少个？
分析：一种可行的方法是通过列举720的所有因数来实现；进而计算其因数总数。这种方法显然是不够高效的。
解
特别说明：通过这个例子可以看出，在研究如何求取一个整数值时（尤其是大于1的情况），我们可以得出一个非常重要的结论：即对于任意一个大于1的正整数值，在其质因数值分解式中各个质因数值的数量加上一后进行连乘所得的结果就是该数值的所有正因子的数量。
◎实弹射击
显本领(一)
基础巩固
- 两个质数之和为50，请问这两个质数乘积的最大可能值是多少？
- 1×2×3×4×…×19×20是否能整除6435？
- 三个质数之和为80，请问这三个质数乘积的最大可能值是多少？
能力提升
- 4个连续自然数的积是1680，则这4个自然数中，最小的是几？
- 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？
- 要使4个数的积175×72×225×□的结果的最后六位数都是零，问□中的数最小填入几？
挑战极限
- 将下面8个数分成两组（每组4个数），应该怎么分才能保证两组4个数的乘积相等？1.40.333.50.30.750.3914.316.9
- 有3个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们年龄之积为2184，3个小朋友的年龄各是多少？
- 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。求a的最小值与这个平方数。
◎点击典例
学技巧(二)
王牌例10
将14、33、35、30、75、39、143、169这8个数平均分成两组使这两组乘积相等，怎样分？
分析 ：由题意知，用分解质因数方法求解。
解 ：先将各数分解质因数：30=2×3×5，35=5×7，33=3×11，14=2×7，169=13×13，143=11×13，39=3×13，75=3×5×5。
特别指导：其中质因数3有4个、质因数5有4个、质因数13有4个；在分组时应将含有质因数2和3.513的数值平均分配到两个组中；即每组中应包含一个具有数字5的因素，并将其均分为两部分；具体分配方式为每个含有数字2的因素分配给两组中的一个；同时由于有两个因素包含数字5以及两个因素包含数字13的原因；因此在分配时需优先考虑这些因素；最终得到如下两个组合：[...] 和 [...].
解 ：分成的两个组为 75、14、169、33和30、35、143、39。或 75、14、143、39 和35、30、169、33。
将8个不同的数组分为两部分，并使这两部分的乘积相等；那么经过质因数分解后，这两部分所得到的质因数应完全一致。
王牌例11
要使145×32×20×□积的末五位数都是0，□里填入的自然数的最小值是多少？
分析如下：当我们采用硬乘法计算两个数的乘积时（或者：当我们在使用硬乘法去计算这两个数相乘的结果时），然后再去统计结果中末尾零的数量（或者：并最终统计结果中的结尾零的数量），显然这种计算方式会非常耗时耗力（或者：这样的过程无疑会耗费大量时间和精力）。下面将介绍一种更为简便的方法（或者：我们将向大家介绍一种更为高效便捷的方法）。
解 ：将数字145、36和80分解质因数：
- 145可分解为素因数相乘的形式：即为（此处可以加入括号表示详细计算过程）；
- 36则表示为多个二相乘的形式；
- 经过观察分析这三个数字中的质因数情况，
可以发现总共包含七个二；
同时还有两个五；
由此可知其连乘积的结果末尾仅有两位零；
若要使得连乘积的结果末尾有五个零，
则需再补充多少数量的五？
因此，在括号内应填入能够提供足够的五的数量，
即满足条件所需数量的最小值。
特别指导：由于所有质因数中仅存在2与5相乘的结果会导致末位数字为0或5的情况出现，并非其他数字结尾的可能性存在。因此，在分析含有多个质因数连乘积的问题时，请关注其质因数分解结果中包含的数量分别为0或5的数量情况即可解决该问题。
王牌例12
陈虎是一名中学生。他说：“本次考试采用百分制评分体系，在计算方面，请将我的排名数与年龄相乘后再与考试得分相乘。”计算结果等于2910。能否求出陈虎的排名、年龄以及他在本次考试中的得分呢？
分析结果：将陈虎的成绩排名与他的年龄相结合后乘以考试分数得到的结果是2910。由此可知，在成绩排名、年龄以及考试分数这三个因素中都包含了同一个数值2910的影响因素。
解
答：陈虎15岁，考试名次是第2名，考试成绩是97分。
特别指导：解此类题关键是要考虑到符合生活实际。
王牌例13
四名小朋友每个孩子的年龄依次增加一岁其年龄乘积等于360请问其中最大的孩子多大？
分析：问题在于找出其中最大年龄是多少岁。也就是说，在解决这个问题时首先要确定每个小朋友的具体年龄。根据题目所述, 这些孩子的年龄都是连续排列的自然数, 并且每个都整除360这个数值, 因此可以通过质因数分解的方法来解决这个问题。
解 ：360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6。答：4名小朋友中年龄最大的是6岁。
特别指导：通过分解和组合，并运用了调频思维，使问题获得解决。
王牌例14
花费了216元购买一种特定类型的圆珠笔后正巧把所有的钱都花光了。假设这种圆珠笔的价格降低了1元，则可以在同样的预算内多购买3支圆珠笔而不会有任何剩余的钱。
根据上述条件计算可知总共购买的数量是多少？
分析如下：题目中可知，“单价×钢笔支数=216”。可以先对216进行质因数分解，并将其转化为两整数相乘的形式。根据题目中的条件进行求解。
解
特别指导：此例用逆向思维使问题迎刃而解。
王牌例15
给定一个三位质数abc，在其后依次附加相同的数字将其扩展为六位数字形式abcabc，请确定该六位整数值所拥有的独特因数值总数是多少？
分析：本例的核心是如何将其表示为六位重复数字abcabc的形式，并进一步应用求约数个数量的重要结论：即根据其质因数值加一后的乘积来确定约数量。
解
答：这个六位数一共有16个不同的约数。
特别指出：此例中采用的方式是将一个自然数以素因数分解形式表示，并通过这一分解形式来解决相关问题。这种方法是一种常见的方法。
王牌例16
把1、2、3、4、5、6、7、8、9填进下面算式的方框内（每个数字都要用到），使等式成立：□×□=5568。
研究：首先对数字进行质因数分解。由于该数字等于2^6 \times 3 \times 29。这样就可以表示为两个两位数相乘的形式。例如：64 \times 87和58 \times 96这两种情况。进一步分析发现，在选择64 \times 87时会遇到多个带有重复数字的组合如：12与464、32与174以及29与192等均不符合要求。因此，在这种情况下两位约数只能是32。
解 ：174×32=58×96=5568。
特别指导：此例用淘汰法求解干净利索。
