【线性系统】五、稳定性
线性系统总是可以分解为零输入和零状态响应。一般我们会分别探讨这两种响应的稳定性。
对于零状态响应（zero-state system），我们有BIBO稳定性
在零输入情况下，在此条件下包括两种类型：一种是边缘稳定（marginal stability），另一种是近似稳定（asymptotic stability）。
BIBO稳定
一个SISO LTI 因果系统可被表示为：（初始状态
下relaxed）
（1）
其中
为脉冲响应。
BIBO稳定： 对于零状态响应， 所有有界输入都会变成有界输出。
定理一：
一个SISO系统被描述为BIBO稳定，当且仅当
在
为绝对可积的，或者：
定理二：
如果系统响应
是BIBO稳定的，那么当
:
1. 输入为
产生的输出，对所有
接近
;
2.输入为
产生的输出，对所有的
接近
，
其中
是
的拉普拉斯变换，
。
定理三：
一个有有理转移函数
SISO系统是BIBO 稳定当且仅当
的每个极点 有负实部 或者 _在左半
平面_。
例一：
一个正反馈系统的脉冲响应为
，
可以为正或负。我们有：
且
推广：
- 多变量系统；
定理一：每个脉冲响应在
都绝对可积.
定理三：
的每个极点有负实部或者在左半
平面。
例二：
有状态方程：
，
转移函数：
所以它是BIBO稳定。
- 离散系统：
一个SISO系统被描述为：
定理一 ：一个离散系统当且仅当
在
绝对可加或者存在常数
使 
成立。
定理二 ：如果脉冲响应序列
是BIBO稳定的，那么当
:
1. 输入为
产生的输出，对所有
接近
;
2.输入为
产生的输出，对所有的
接近
，
这里
是
的z变换，![at g = um_{m=0}{\infty}g[m]z{-m}](https://ad.itadn.com/c/weblog/blog-img/images/2025-02-10/ne0VdBAgsJQWCMlThS74kaHPEb5m.png)
定理三 ：具有有理转系函数
的离散SISO系统，当且仅当
的每个极点的大小都小于1时BIBO稳定。
例三：
离散LTI系统，
，and
,
所以这个系统不是BIBO的。
- MIMO离散系统
**
定理一：脉冲响应序列具有绝对可加性；
定理三：脉冲响应序列的极点位于单位圆内。
【
零输入响应的稳定性
零输入系统
，初始状态为
。
等式的解为
。
定义 ：一个零输入系统或像
的等式边缘稳定 ，如果每个有限初始状态
导致一个被限制的反应。当零输入系统被施加时，在其运行过程中表现出被限制的反应。
时接近于0。
定理：
1. 等式
边缘稳定 当且仅当
的所有特征值有零或负实部，且特征值为A的最小多项式的简单根；
2. 等式
近似稳定 当且仅当
的所有特征值都有负实部，且特征值为A的最小多项式的简单根。
推广到离散系统的定理：
1. 等式
边缘稳定当且仅当
的所有特征值的幅值小于或等于1，且特征值为A的最小多项式的简单根；
2. 等式
近似稳定当且仅当
的所有特征值的幅值小于1，且特征值为A的最小多项式的简单根。
李雅普诺夫理论