条件概率
前言
条件概率是概率计算中的一类比较容易出错的题目。
一、条件概率
在概率论中，在考虑两个事件A和B的情况下（其中事件A的概率大于零），我们定义条件概率P(B|A)表示，在给定事件A发生的情况下（即AB同时发生的情形下），事件B发生的概率是多少。其中AB表示事件A和B同时发生的情况。
- 条件概率的性质：
①0\leq P(B|A)\leq 1；
②若，C为两个互斥事件，则P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
二、注意事项
- P(B|A)和P(A|B)是两个不同的条件概率。
通常情况下，在处理概率问题时
对于古典概型的条件概率问题而言，在求解过程中通常会遇到两种不同的处理方式：第一种方式是通过缩减样本空间的方法来进行概率计算P(B|A) = \cfrac{n(AB)}{n(A)}；第二种方式则是直接按照条件概率的基本定义来进行推导与运算。
三、典例剖析
2017长沙二模
A.\cfrac{5}{16} B.\cfrac{9}{16} C.\cfrac{1}{5} D.\cfrac{2}{5}
法1分析：使用古典概型求解，由于甲获胜的所有情形为(2，1)，，(2，0)，，(1，0)，共有5种，
其中在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的情形为，，有2种，
令“在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1”为事件，则P(A)=\cfrac{2}{5}，故选D。
第二种方法分析：运用条件概率进行计算；设事件A表示"甲获胜"、事件B表示"乙摸出的球上的数字为1"
两人均从四个球中各选取一个，则所有可能的情况数为 4 \times 4 = 16 种情况。由此可知总共有 4 \times 4 = 16 种情况，则甲获胜的情况共有 5 种情况。因此事件 A 的概率为 \cfrac{5}{16}
而事件AB即“甲获胜且乙摸出的球上的数字为1”的情形有，，有2种，即P(AB)=\cfrac{2}{16}，
由条件概率的计算公式可得，P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{2}{16}}{\frac{5}{16}}=\cfrac{2}{5}。
解后反思：①古典概型求解改题目，其实就是压缩了样本空间；
例2一个盒子里有9张分别标有数字1到9的卡片从中连续抽取两次求在第一次取出奇数的前提下第二次也取出奇数的概率是多少。
法一：设第一张是奇数记为事件，第二张是奇数记为事件，
则P(A)=\cfrac{A_5^1A_8^1}{A_9^2}=\cfrac{5}{9}，P(AB)=\cfrac{A_5^2}{A_9^2}=\cfrac{5}{18}，
所以P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{5}{18}}{\frac{5}{9}}=\cfrac{1}{2}；
法二：设第一张是奇数记为事件，第二张是奇数记为事件，
n(A)=5\times 8=40，n(AB)=5\times 4=20，所以P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}=\cfrac{20}{40}=\cfrac{1}{2}。
例3
分析：将该事件定义为家电已运行至第三年这一情况；同时该情况也被定义为家电达到第四年的状态；由此可见B\subseteq A；即此事件发生
由题目可知P(A)=0.8，P(AB)=0.4，故P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{0.4}{0.8}=\cfrac{1}{2}。
2018济南针对性训练
2018济南针对性训练
A.\cfrac{7}{10} B.\cfrac{6}{7} C.\cfrac{4}{7} D.\cfrac{2}{5}
分析：设某一次射中为事件，随后一次射中为事件，则P(A)=0.7，，
则P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{0.4}{0.7}=\cfrac{4}{7}。
例5假设100件产品中包含70件一级品和25件二级品，并将一级品与二级品统称为合格品。从这100件中随机选取一件已知所取的产品是一级品或二级品求其为一级品的概率是多少
分析：设表示取得一等品，表示取到合格品，则
法一：由于95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，所以，
P(B|A)=\cfrac{70}{95}=\cfrac{14}{19}；
法二：P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\cfrac{70}{100}}{\cfrac{90}{100}}=\cfrac{14}{19}。
2019届高三理科数学三轮模拟试题
2019届高三理科数学三轮模拟试题
A.\cfrac{1}{5} B.\cfrac{3}{10} C.\cfrac{2}{5} D.\cfrac{1}{2}
法1：条件概率法，由题可知，，P(A)=\cfrac{A_5^1}{A_9^1}=\cfrac{5}{9}，
故P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{1}{2}，故选.
法2：古典概型法，由题可知，，，故;