中国剩余定理
「物不知数」问题
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即求满足以下条件的整数：除以 3 余 2 ，除以 5 余 ，除以 7 余 。
该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
2\times 70+3\times 21+2\times 15=233=2\times 105+23 ，故答案为 23 。
算法简介及过程
中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 n_1, n_2, \cdots, n_k 两两互质）：
上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。
算法流程
-
计算所有模数的积 n ；
-
对于第 i 个方程：
1. 计算 m_i=\frac{n}{n_i} ；
2. 计算 m_i 在模 n_i 意义下的逆元m_i^{-1} ；
3. 计算 c_i=m_im_i^{-1} （ 不要对 取模 ）。 -
方程组的唯一解为： a=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n 。
伪代码
1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
n * n[i] → n
for i = 1 to k
n / n[i] → m
inv(m, n[i]) → b // b * m mod n[i] = 1
(ans + a[i] * m * b) mod n → ans
return ans算法的证明
我们需要证明上面算法计算所得的 a 对于任意 i=1,2,\cdots,k 满足 a\equiv a_i \pmod {n_i} 。
当 i\neq j 时，有 m_j\equiv 0 \pmod {n_i} ，故 c_j\equiv m_j\equiv 0 \pmod {n_i} 。又有 c_i\equiv m_i(m_i^{-1}\bmod {n_i})\equiv 1 \pmod {n_i} ，所以我们有：
即对于任意 ，上面算法得到的 总是满足 a\equiv a_i \pmod{n_i} ，即证明了解同余方程组的算法的正确性。
因为我们没有对输入的 a_i 作特殊限制，所以任何一组输入 \{a_i\} 都对应一个解 。
另外，若 x\neq y ，则总存在 使得 x 和 y 在模 下不同余。
故系数列表 与解 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。
例
下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。
- n=3\times 5\times 7=105 ；
- 三人同行 七十 希： n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}\equiv 2\pmod 3 ，故 c_1=35\times 2=70 ；
- 五树梅花 廿一 支： n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}\equiv 1\pmod 5 ，故 c_2=21\times 1=21 ；
- 七子团圆正 半月 ： n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}\equiv 1\pmod 7 ，故 c_3=15\times 1=15 ；
- 所以方程组的唯一解为 a\equiv 2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 233\equiv 23 \pmod {105} 。（除 百零五 便得知）
应用
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数： 不是质数 ！
但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。
那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。
推荐练习：BZOJ 1951
比较两 CRT 下整数
考虑 CRT, 不妨假设 n_1\leq n_2 \leq ... \leq n_k
与 PMR(Primorial Mixed Radix) 表示
x=b_1+b_2n_1+b_3n_1n_2...+b_kn_1n_2...n_{k-1} ,b_i\in [0,n_i)
将数字转化到 PMR 下，逐位比较即可
转化方法考虑依次对 PMR 取模
其中 c_{i,j} 表示 对 n_j 的逆元， c_{i,j}n_i \equiv 1 \pmod {n_j}
扩展：模数不互质的情况
两个方程
设两个方程分别是 x\equiv a_1 \pmod {m_1} 、 x\equiv a_2 \pmod {m_2} ；
将它们转化为不定方程： x=m_1p+a_1=m_2q+a_2 ，其中 p, q 是整数，则有 m_1p-m_2q=a_2-a_1 。
由裴蜀定理，当 a_2-a_1 不能被 \gcd(m_1,m_2) 整除时，无解；
其他情况下，可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 (p, q) ；
则原来的两方程组成的模方程组的解为 x\equiv b\pmod M ，其中 b=m_1p+a_1 ， M=\text{lcm}(m_1, m_2) 。
多个方程
用上面的方法两两合并就可以了……
推荐练习：POJ 2891