信号处理算法：快速傅里叶变换(FFT)_（1）.快速傅里叶变换(FFT)的数学基础
快速傅里叶变换(FFT)的数学基础
1. 傅里叶变换的基本概念
1.1 连续时间傅里叶变换 (CTFT)
该方法可将时间域信号转换为频率域的一种数学工具。对于连续时间信号 x(t) ，其傅里叶变换定义为：
该方法可将时间域信号转换为频率域的一种数学工具。对于连续时间信号 x(t) ，其傅里叶变换定义为：
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \, dt
其中
1.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT)
对于离散时间信号 x[n]，其离散时间傅里叶变换定义为：
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}
在以下讨论中，在数学表达式旁边定义了 \omega 作为数字频率变量.DTFT被用来将离散信号分解为一系列复指数函数的线性组合.每个频率分量的信息幅度与相位情况都体现在 X(e^{j\omega})
中.
1.3 离散傅里叶变换 (DFT)
在实际应用中，在工程领域中常见到的信号往往具有有限时长，并且以离散形式存在。考虑长度为 N 的离散时间序列 x[n] ，其定义为
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi \frac{kn}{N}}
其中
2. 快速傅里叶变换(FFT)的原理
2.1 分治法 (Divide and Conquer)
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算方法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）。其核心思路基于分治策略，将一个复杂的问题分解为多个较小的子问题。该算法将长度为 N 的DFT任务划分为两个独立的子任务，每个子任务的长度均为 \frac{N}{2}。然后通过适当的数学运算将这两个子任务的结果组合在一起。
2.2 基2 FFT算法
以二进制形式表示的快速傅里叶变换（FFT）算法中，基2 FFT是最常用的一种。它特别适用于那些信号长度N是2^n的情况。例如，在实际应用中，默认情况下该方法通常涉及以下几个关键步骤：初始化数据结构、分解信号为多个频段、逐层计算频谱特性以及最后整合结果。
- Butterfly Operation：该算法将输入信号划分为两个子序列，并分别对每个子序列执行快速傅里叶变换（FFT），每次变换的长度均为原始数据点数量的一半。
- Combination Process：通过蝶形运算将两个较短的FFT结果组合成一个完整的FFT结果。
2.2.1 蝴蝶操作
该算法中将实现的基本运算单元定义为蝶形操作。对于长度为N的输入序列x[n]（假设N=2^m），可以将其划分为两个长度均为\frac{N}{2}的子序列x_0[n]和x_1[n]（其中一个是另一个频段）
x_0[n] = x[2n]
x_1[n] = x[2n+1]
对于这两个子信号，分别计算其DFT：
X_0[k] = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x_0[n] e^{-j2\pi \frac{kn}{\frac{N}{2}}}
X_1[k] = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x_1[n] e^{-j2\pi \frac{kn}{\frac{N}{2}}}
然后通过蝶形操作将这两个DFT合并：
X[k] = X_0[k] + W_N^k X_1[k]
X[k + \frac{N}{2}] = X_0[k] - W_N^k X_1[k]
其中， W_N = e^{-j2\pi \frac{1}{N}} 是旋转因子。
2.3 基2 FFT的递归实现
基2 FFT可以通过递归的方式实现。以下是一个简单的Python实现：
import numpy as np
def fft(x):
"""
基2 FFT算法的递归实现
:param x: 输入信号，长度为2的幂次
:return: 信号的DFT
"""
N = len(x)
if N <= 1:
return x
else:
# 将信号分为两部分
x_even = fft(x[::2])
x_odd = fft(x[1::2])
# 计算旋转因子
W_N = np.exp(-2j * np.pi / N)
W = np.ones((N // 2,), dtype=complex)
for k in range(N // 2):
W[k] = W_N ** k
# 合并操作
X = np.zeros((N,), dtype=complex)
for k in range(N // 2):
X[k] = x_even[k] + W[k] * x_odd[k]
X[k + N // 2] = x_even[k] - W[k] * x_odd[k]
return X
# 示例信号
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
# 计算FFT
X = fft(x)
print(X)2.4 基2 FFT的非递归实现
该算法通过非递归方法实现了基2 FFT计算过程，并采用位反转技术进行数据重新排列。以下代码展示了如何在Python中实现这一算法：
import numpy as np
def bit_reversal(x):
"""
位反转操作
:param x: 输入信号
:return: 位反转后的信号
"""
N = len(x)
rev = np.zeros(N, dtype=int)
for i in range(N):
rev[i] = int('{:0{width}b}'.format(i, width=int(np.log2(N)))[::-1], 2)
return x[rev]
def fft(x):
"""
基2 FFT算法的非递归实现
:param x: 输入信号，长度为2的幂次
:return: 信号的DFT
"""
N = len(x)
if N <= 1:
return x
# 位反转
x = bit_reversal(x)
# 蝶形操作
for s in range(1, int(np.log2(N)) + 1):
m = 2 ** s
W_m = np.exp(-2j * np.pi / m)
for k in range(0, N, m):
W = 1
for j in range(m // 2):
t = W * x[k + j + m // 2]
u = x[k + j]
x[k + j] = u + t
x[k + j + m // 2] = u - t
W = W * W_m
return x
# 示例信号
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
# 计算FFT
X = fft(x)
print(X)3. FFT的应用
3.1 信号的频谱分析
FFT作为一种核心算法，在信号处理领域具有广泛的应用前景，在频谱分析方面展现出显著的优势；该算法能够高效地完成离散傅里叶变换过程；下面将提供一个Python代码示例来说明如何利用FFT实现对信号频谱特性的分析
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
# 绘制频谱图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('时域信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.tight_layout()
plt.show()3.2 信号的滤波
FFT可用于实现信号滤除过程。当对信号进行频域分析时,能够有效去除噪声干扰并提取出目标频率成分。以下是一个基于Python的实例,展示了如何利用FFT执行低通滤波操作：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t) + 0.5 * np.random.randn(len(t))
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
# 设计低通滤波器
cutoff_freq = 60 # 截止频率
X_filtered = X.copy()
X_filtered[(freq > cutoff_freq) & (freq < fs - cutoff_freq)] = 0
# 计算逆FFT
x_filtered = np.fft.ifft(X_filtered)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('原始时域信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('原始频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(freq, np.abs(X_filtered))
plt.title('滤波后的频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(t, x_filtered)
plt.title('滤波后的时域信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.tight_layout()
plt.show()3.3 信号的卷积
Fast Fourier Transform (FFT) is a powerful technique for efficiently computing the convolution of signals. By multiplying the Discrete Fourier Transform (DFT) of two signals and then applying the inverse DFT, one can obtain the convolution result. The following example demonstrates how to use FFT for signal convolution in Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成两个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x1 = np.sin(2 * np.pi * f1 * t)
x2 = np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 计算FFT
X1 = np.fft.fft(x1)
X2 = np.fft.fft(x2)
# 计算卷积
X_conv = X1 * X2
x_conv = np.fft.ifft(X_conv)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, x1)
plt.title('信号1')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(t, x2)
plt.title('信号2')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(freq, np.abs(X_conv))
plt.title('卷积后的频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(t, np.real(x_conv))
plt.title('卷积后的时域信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.tight_layout()
plt.show()4. FFT的优化
4.1 并行计算
并行计算能够明显提升FFT的计算效率。现代处理器通常配置为多核架构，并且能够充分利用这一点来加速FFT的计算。以下是一个使用Python的multiprocessing模块进行并行计算的例子：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import multiprocessing as mp
def fft_chunk(chunk):
"""
计算单个信号块的FFT
:param chunk: 信号块
:return: 信号块的DFT
"""
return np.fft.fft(chunk)
def parallel_fft(x, num_chunks=4):
"""
并行计算FFT
:param x: 输入信号
:param num_chunks: 分块数量
:return: 信号的DFT
"""
N = len(x)
chunk_size = N // num_chunks
chunks = [x[i * chunk_size:(i + 1) * chunk_size] for i in range(num_chunks)]
with mp.Pool(processes=num_chunks) as pool:
results = pool.map(fft_chunk, chunks)
# 合并结果
X = np.concatenate(results)
return X
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 计算并行FFT
X = parallel_fft(x)
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
# 绘制频谱图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.show()4.2 硬件加速
通过硬件加速手段可以有效提升FFT算法的运算效率。采用现代GPU及专用信号处理器（例如FPGA）能够实现高效的并行计算能力，特别适用于大规模的数据处理与分析场景。以下是一个使用CUDA进行FFT计算的Python示例：
import numpy as np
import cupy as cp
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 将信号传输到GPU
x_gpu = cp.array(x)
# 计算FFT
X_gpu = cp.fft.fft(x_gpu)
# 将结果传输回CPU
X = X_gpu.get()
# 绘制频谱图
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.show()5. FFT的误差分析
5.1 量化误差
在实际应用中，在信号通常由ADC（模数转换器）进行采样的过程中会伴随有量化误差的存在。这些误差会对Fast Fourier Transform（FFT）计算出的结果产生影响，在低幅度值与高频分量处尤为明显。以下是一个使用Python语言编写的示例代码片段来说明这种现象：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 量化信号
x_quantized = np.round(x * 10) / 10
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
X_quantized = np.fft.fft(x_quantized)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('原始信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(t, x_quantized)
plt.title('量化后的信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('原始信号的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(freq, np.abs(X_quantized))
plt.title('量化后信号的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.tight_layout()
plt.show()5.2 截断误差
截断产生的误差源于信号采样过程的时间限制。在实际应用中，信号常被截断为有限长度的操作会带来频谱泄漏的现象。这种泄漏现象会导致信号频率分量在频谱空间分布不均的现象称为泄漏现象。这不仅降低了频谱的分辨能力和准确性还会显著影响数据处理的效果。例如以下所示一个Python代码片段可演示截断误差对其傅里叶变换结果的具体影响：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 截断信号
x_truncated = x[:500]
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
X_truncated = np.fft.fft(x_truncated)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('原始信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(t[:500], x_truncated)
plt.title('截断后的信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
N_truncated = len(X_truncated)
n_truncated = np.arange(N_truncated)
T_truncated = N_truncated/fs
freq_truncated = n_truncated/T_truncated
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('原始信号的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(freq_truncated, np.abs(X_truncated))
plt.title('截断后信号的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.tight_layout()
plt.show()5.3 窗函数
为了降低截断误差所导致的频谱泄露, 可以通过施加窗函数对信号进行加权处理。其中, 常见采用的窗函数包括矩形窗口、汉宁窗口以及海明窗口等基本类型, 这些不同的 window 函数在实际应用中展现出各自的特性与优势, 并广泛应用于 signal processing 领域以改善分析效果与减少误差干扰。以下提供一个 Python 示例, 展示如何利用汉宁 window 对 signal 进行处理：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 应用汉宁窗
window = np.hanning(len(x))
x_windowed = x * window
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
X_windowed = np.fft.fft(x_windowed)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('原始信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(t, x_windowed)
plt.title('应用汉宁窗后的信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('原始信号的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(freq, np.abs(X_windowed))
plt.title('应用汉宁窗后的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.tight_layout()
plt.show()5.4 零填充
零填充是一种常用的技术，在信号末尾注入一定数量的零值点以提高FFT的有效长度。这种方法虽然不会增加信号的信息量但它可以使频谱呈现更加平滑的状态从而便于观察频谱特征。以下是一个Python编程实现的示例展示该方法的具体效果：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 零填充
x_padded = np.pad(x, (0, 500), 'constant')
# 计算FFT
X = np.fft.fft(x)
X_padded = np.fft.fft(x_padded)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('原始信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(np.arange(len(x_padded)) / fs, x_padded)
plt.title('零填充后的信号')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
N_padded = len(X_padded)
n_padded = np.arange(N_padded)
T_padded = N_padded/fs
freq_padded = n_padded/T_padded
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('原始信号的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(freq_padded, np.abs(X_padded))
plt.title('零填充后的频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.tight_layout()
plt.show()6. FFT的实现与优化
6.1 FFT的实现
FFT的方法多样，在信号处理领域得到了广泛应用。主要采用的是基于快速傅里叶变换（FFT）的不同算法设计思路。其中一种常用的设计方案是基于分治策略的算法架构；另一种则是通过减少计算量来提升效率的技术框架。前者的优势在于其逻辑清晰易于理解；然而其开销较大；而后者在效率上更为突出；其实施相对复杂。以下是一个具体的非基于快速傅里叶变换算法的具体程序设计思路：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def bit_reversal(x):
"""
位反转操作
:param x: 输入信号
:return: 位反转后的信号
"""
N = len(x)
rev = np.zeros(N, dtype=int)
for i in range(N):
rev[i] = int('{:0{width}b}'.format(i, width=int(np.log2(N)))[::-1], 2)
return x[rev]
def fft(x):
"""
基2 FFT算法的非递归实现
:param x: 输入信号，长度为2的幂次
:return: 信号的DFT
"""
N = len(x)
if N <= 1:
return x
# 位反转
x = bit_reversal(x)
# 蝶形操作
for s in range(1, int(np.log2(N)) + 1):
m = 2 ** s
W_m = np.exp(-2j * np.pi / m)
for k in range(0, N, m):
W = 1
for j in range(m // 2):
t = W * x[k + j + m // 2]
u = x[k + j]
x[k + j] = u + t
x[k + j + m // 2] = u - t
W = W * W_m
return x
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 计算FFT
X = fft(x)
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
# 绘制频谱图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.show()6.2 FFT的优化
为了提高FFT的计算效率，可以采取以下几种优化方法：
- 多线程计算：多核处理器支持的多线程计算能够显著提升FFT处理速度。前文已经介绍了基于
multiprocessing模块的多线程实现。 - 硬件加速：专用硬件（如GPU/FPGA）能够明显加快FFT运算速度。前文已经展示了基于CUDA和
cupy框架的硬件加速应用。 - 算法改进：采用诸如混合基和分裂基等改进型算法，在特定场景下可以获得更好的性能表现。
- 库函数：高性能库函数如NumPy的
fft模块以及FFTW工具能够简化实现并显著提高运算效率。
6.3 混合基FFT算法
该混合基Fast Fourier Transform（FFT）算法可应用于处理信号长度并非2的幂的情况。它通过将信号长度分解为若干因子，并依次完成相应的Fast Fourier Transform计算步骤来实现最终的结果整合。以下是一个简单的混合基FFT算法的Python实现：
该混合基Fast Fourier Transform（FFT）算法可应用于处理信号长度并非2的幂的情况。它通过将信号长度分解为若干因子，并依次完成相应的Fast Fourier Transform计算步骤来实现最终的结果整合。以下是一个简单的混合基FFT算法的Python实现：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def mixed_radix_fft(x, factors):
"""
混合基FFT算法
:param x: 输入信号
:param factors: 信号长度的因子分解
:return: 信号的DFT
"""
N = len(x)
if N <= 1:
return x
# 位反转
x = bit_reversal(x)
# 蝶形操作
for s in factors:
W_s = np.exp(-2j * np.pi / s)
for k in range(0, N, s):
for j in range(s // 2):
t = W_s ** j * x[k + j + s // 2]
u = x[k + j]
x[k + j] = u + t
x[k + j + s // 2] = u - t
return x
# 生成一个示例信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间向量
f1 = 50 # 信号的频率分量1
f2 = 120 # 信号的频率分量2
x = 0.7 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
# 信号长度的因子分解
factors = [2, 4, 8]
# 计算混合基FFT
X = mixed_radix_fft(x, factors)
N = len(X)
n = np.arange(N)
T = N/fs
freq = n/T
# 绘制频谱图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title('频域信号')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.xlim(0, 200)
plt.show()7. 总结
快速傅里叶变换（FFT）作为高效算法的核心技术，在工程领域发挥着重要作用。该算法的主要目标在于实现时间域信号至频率域的转换过程。其应用涵盖信号处理、频谱分析、滤波技术和卷积运算等多个关键领域。为了提升性能，在实际应用中主要依赖分治策略结合并行计算与硬件加速协同作用来大幅提升了算法运行效率，并通过合理配置降低了数据传输开销与存储需求。同时，在实际应用中还需综合考虑量化误差与截断误差等潜在影响因素，并采取一系列优化手段如使用窗函数和零填充来提高准确性与可靠性
本文旨在帮助您深入理解FFT在数学理论及其实际应用中的核心概念。如您有任何问题或需要进一步解释，请随时与我联系。