傅里叶变换中的负频率的物理意义
傅里叶变换中的负频率的物理意义
在现实中，在我们通常认为只有真实的信号（即无法通过人为将一个量设为实部另一个量设为虚部来合成出来的那种物理信号）。那么频率到底是什么？其实我们可以将任何一种信号分解为多个不同频率谐波之和，在这种情况下其展开式的通项中省略了1/(2π)这一系数
s(t) = ∫S(ω)e(jwt)dt我们这里采用的是单一频率的信号e(jwt)，那么这个世界上是否存在这样的单一频率信号呢？我认为并不存在这样的单一信号。实际上e(jwt)和e(-jwt)这两个形式也都是不成立的理论模型，并不对应于任何实际存在的物理量。因此从与实际应用相对应的角度来看，在这种情况下所谓的"正频率"和"负频率"都属于一种非物理意义下的概念。但是这种复频（这里没有出错）虽然从理论层面讲是没有对应的物理意义的，在工程应用中却有着不可替代的作用。不过它的价值体现在哪里呢？我们知道上述积分运算实际上可以转化为cos(wt)和sin(wt)这两种真正具有物理意义的分量，并且它们都在同一个基频上！如果我们放弃使用sin(wt)，会遇到什么样的困难呢？某些复杂的信号将无法被准确表示出来原因在于cos(wt)与sin(wt)这两种分量虽然具有相同的基频但其相位特性存在差异！实际上sin(wt)=cos(wt - π/2)，也就是两者之间存在一个相位差或者说起始点的不同！那么如何来表征这种相位上的差异呢？答案是引入"相位差"这一概念：在同一个基频下只需要选择两个这样的分量就足够表达了其他任何不同相位特性的分量都可以通过它们的线性组合来实现！因此当我们讨论某一特定物理基频范围内的谐波成分时实际上是在研究这一区域内具有不同起始点的所有谐波分量它们都可以由其中的基本两个分量来表示
再来看一下e(jwt)与e(-jwt)这两个模型分别代表什么？
sin(wt) = (e(jwt) - e(-jwt))2j
cos(wt) = (e(jwt) + e(jwt))2不就是个线性变换嘛！换了一组基而已。所以e(jwt)和e(-jwt)实际上可以认为是一个频率，它们本质上的联系（体现在物理意义上）是相位！它们联合起来反映了w频率的信号的相位信息。（当然，从复信号的角度讲，它们不是一个频率）。所以，我们从实信号（cos(wt)，sin(wt）)的角度去说 e(-jwt)的负频率没有物理意义，我认为不是特别恰当，只能说现实中没有负频率的信号，但是e(-jwt)的负频率是有物理意义的！
而 Hilbert变换是什么呢？就是90度的相移。而0，加上90度相移，就可以表示任何的相位信息了。之所以在窄带信号进行复包络表示的时候，选择了 Hilber变换来构造解析信号，并且0度在实部，90度在虚部，就是因为这样的表示可以完整保留相位信息。在QAM（Quadrature AM)、雷达的正交双通道处理中，复信号模型的采用都是为了利用相位信息。
复数在electrical engineering的意义就在于它在表示相位时的简洁、恰当、美。从ac电路到电容电感，包括后来的电磁场与电磁波理论，信号处理的理论，复数实际上就是为了相位而引入的。而相位又是通信和信号处理热衷的地方
最后强调，关心信号就关心频率，相位（当然也有方位、极化等），而正频率+负频率 = 频率+相位。