闵科夫斯基(minkovski)距离

闵科夫斯基(minkovski)距离

闵科夫斯基距离不是一种距离，是一类距离。

假设点a的具体坐标由(x_{11}, x_{12}, x_{13}, \dots, x_{1n})给出，并且点b的具体坐标由(x_{21}, x_{22}, x_{23}, \dots, x_{2n})给出，则根据闵科夫斯基空间中的几何度量原则可知：

d_{12}=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}\left | x_{1k}- x_{2k}\right |^p}

其中，在参数p中：
当选择不同的p值时，
分别代表不同的空间度量：
当p=1时，
度量被称为曼哈顿距离；
当p=2时，
度量即为欧几里得距离；
而当$p→∞时，
度量则等于切比雪夫无穷远处的距离。

1、曼哈顿距离

曼哈顿距离亦称出租车距离或城市区块距离，在不同的文献中可能采用不同的术语来指代这一概念。其计算公式为d_{12}=\sum_{k=1}^{n}\left | x_{1k}-x_{2k} \right |。其意义在于，在标准坐标系下各点沿坐标轴方向的距离之和即为此空间中两点之间的曼哈顿度量值。

在图中使用红色线条代表曼哈顿距离，在绿色线条上标示欧式距离，在蓝色与黄色线条上展示等价形式下的曼哈顿距离。

曼哈顿距离最初应用于计算机领域，在该领域中图像由像素构成且每个像素对应一个整数值。相比之下，在使用欧氏距离时会引入浮点运算操作从而增加计算负担而曼哈顿距离则避免了这一问题例如：当计算两个点之间的间距时若选择欧氏方法将得到一个浮点数结果而通过将该间距分解为两个部分（如AC段与CB段）并分别计算后再相加则最终的结果仍为整数值

2、欧式距离

欧几里得距离是一种广泛应用于空间中的测量工具；其计算方式基于两点间的直线段长度；数学表达式为d_{12}=\sqrt[2]{\sum_{k=1}^{n}\left | x_{1k}-x_{2k}\right |^2}；该公式用于度量两个点之间的实际直线距离。

3、切比雪夫距离

切比雪夫距离即公式为d_{12}=max\left | x_{ik} -x_{jk}\right |（其中i,j表示两点的坐标轴号），它代表空间中两点坐标差的绝对值的最大值。该概念的意义在于，在国际象棋中王从一点走到另一点所需的最短步数等于这两点之间的切比雪夫距离（如图所示）。

曼哈顿距离和切比雪夫距离在高维空间中不成立。

所有与某一点切比雪夫距离相同的点所形成的几何图形是一个立方体；所有与某一点曼哈顿距离相同的点形成的几何图形是一个正八面体；这些位于空间坐标系中与各坐标轴等距的点都位于平面x+y+z=a上。