自相关互相关卷积的_什么是卷积(convolution)

年轻人，在数学中你从不真正懂得什么知识，你只是习惯了它们。—冯

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诺伊曼**

A young man, when approaching mathematics, doesn't grasp things easily. He merely becomes accustomed to it.—John von Neumann

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1 卷积通俗理解与推导

什么是卷积？你过去不同时间点惹女朋友生气的行为叠加作用对女朋友现在的坏心情产生了影响。

为什么呢？设现在时刻为t，惹女朋友生气用输入函数

描述，女朋友心情用输出函数（响应）

描述：女朋友现在的这种情绪其实是她之前所有情绪的积累最终导致的结果

注 ：Dirac函数

常用作研究起点的任意选取的源可以通过叠加多个Dirac函数来获得，并且这一方法在多个领域均有应用，则进而，在

时刻，惹女朋友生气为

，此时女朋友的心情为

，用数学符号表示为：

.

同理，在不同时刻

惹女朋友生气为

，与之对应的响应为

,女朋友现在的坏心情应是这些响应的叠加，则：

.

当

连续变化时，即连续地惹女朋友生气（哈哈），则这个输入可以表示为：

,

因此，输入函数s与输出函数（响应）h的卷积定义为：

.

注：上面用到了Dirac函数的如下性质：

，其中

是趋于0的一个数。

2 卷积的定义

卷积的概念通常在数字信号处理领域被引入。它的主要目的是计算给定输入信号经过线性时不变系统（Linear time-invariant systems, LTI systems）处理后得到的输出信号。如图所示，在此过程中，我们关注的是输入信号如何经由系统的响应而产生对应的输出结果。

经线性系统作用后的输出信号为

，其值就等于输入信号

与系统响应

的卷积。

为什么是线性时不变系统？线性系统具备叠加特性（任何一个输入信号都可以表示为一系列脉冲信号的组合），这一性质非常优雅；而时不变系统的特征是当前的行为与未来的相同行为在时间上的效果一致（实质上体现了时间平移的不变性），这也反映了能量守恒的基本原理。

卷积的离散形式定义为：

，

积分形式（即连续的情况）定义为：

.

3 卷积基本性质

代表对函数

进行傅里叶变化。

Hsuty with Fourier series and Fourier transform - zhihu.com/zhanlan/...

第8个性质常用于卷积计算，即时间域的卷积等于频率域的乘积 。

4 卷积与相关(correlation)

卷积表征了两个信号之间的相互作用关系，在数学框架中被定义为对两信号之间相似性的度量过程。这一关系不仅涉及自相关和互相关的特性，在公式上可表示为：

其特点为：两个函数没有反转，都是正的

；而卷积的话需要反转系统响应函数(将

变为

)。

注意相关不具有交换性 ，即

.

卷积与相关的转换 ：

.

5 二维卷积定义

此二维卷积常用于图像处理，图像（即输入信号）为

，滤波器为

。