离散时间傅里叶变换
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回顾离散时间周期信号傅里叶级数
x[n]由其频域系数a_k构成，在频率k处表现为复指数e^{jk\frac{2\pi}{N}n}的线性组合；同时这些系数满足周期延拓关系a_k = a_{k±mN}并遵循逆变换公式a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}
离散时间非周期信号傅里叶变换
考虑一个有限时长的序列x[n]（满足-N_1 \leq n \leq N_2），其余部分均为零值。
例子
- 考虑信号x[n] = a^nu[n], |a|<1的傅里叶变换
X(e^{jw}) = \sum_0^{\infty} (ae^{-jw})^n=\frac 1{1-ae^{-jw}}
- 分析以下方波信号x[n] = \left\{ \begin{aligned}\ 1 && |n| \leq N_1\\ 0 && other\\ \end{aligned} \right.的傅里叶变换
其傅里叶变换为：X(e^{jw}) = \sum_{n=-N_1}^{N_1}e^{-jwn} = \frac{\sin w(N_1+1/2)}{w/2}
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