运筹学基础

运筹学基础

一、导论

1.1 概论

1. 运筹学是一门研究如何高效地协调人机系统资源以实现最佳运作效率的科学。

2. 运筹学通过提供定量基础帮助管理人员制定科学合理的决策。

3. ★运筹学定义：运用计划手段与多学科要求相结合的方式建立系统的数学模型，并通过定量分析为决策提供数量依据。

4. ★决策方法分类

   • 定性决策：主要依据主观经验和感受做出的决策。
   • 定量决策：采用正规的方法进行计算得出的最佳方案。
   • 混合性决策：需要综合运用定性和定量两种方法才能完成的任务类型。

5. ★决策的步骤

• 考察待决策问题所处的环境
• 解析并明确待决策的问题
• 构建模型
• 确定输入数据
• 提出解决方案，并对其合理性和有效性进行验证
• 采用最佳方案实施

二、预测

2.1 预测的概念和程序

★预测的概念 ：预测就是对外来不确定的事件进行估计或判断。

预测的方法

• 归类为经济领域内的经济预判、科技领域的科技预判以及军事与社会领域的社会预判。
• 依据所采用的方法可分为定性和定量两种类型。
  按持续时间可分为短期预判（有时称为近期预判）、中期预判断和长期预判断。

★★经济预测：1年以内为短期，1-3年为中期，3-5年为长期预测。

★★科技预测：5-10年为短期，10-30年为中期，30-50年为长期预测。

预测的过程

• 明确预测的目标对象
  • 设定时间范围
  • 决定采用的分析方法
  • 整理相关数据信息
  • 完成分析过程

2.2 定性预测法：判断预测法

定性预测法也叫判断预测法，分为：特尔斐法和专家小组法。

特尔斐法定义：特尔斐法是希望在“专家群”中取得比较一致的意见的方法。

特尔斐法的特点：

1. 在接受面讯或函询者之间是面对面的（即直接交流），也就是说专家发表意见的方式是无记名的。
2. 通过多轮的信息反馈机制确保信息传递的有效性。
3. 最后由调研人员汇总整理专家们的总结性意见，并将同类意见及特殊意见一并提交给相关部分供其参考决策。

特尔斐法的实施程序：

明确课题研究方向

特尔斐法：适用于中期和长期预测。

专家小组法：是根据接受咨询的专家意见组成一个小组，在开诚心恳地交流意见的基础上就相关课题达成基本一致的意见

专家小组法的优点：可以做到互相协商、相互补充；

专家小组法的不足：当组织得不够好时,可能会让有权威性的个体主导整个会议,并掩盖了一部分创新性的观点.

专家小组法：适用于短期预测。

2.3 时间序列预测法

时间序列的组成大致可分为：长期趋势、季节性波动、周期性波动、随机波动 。

时间序列预测方法

1. 

滑动平均预测法

滑动平均预测法分为：简单平均预测法、加权平均预测法。

简单平均预测法
x̄=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

加权平均预测法
x̄_w=\frac{x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n}{w_1+w_2+...+w_n}
x̄:平均值

x:实际数据

w:实际数据所取的权数

2. 

指数平滑预测法
F_{t+1}=F_t+α(x_t-F_t)=αx_t+(1-α)F_t

F_{t+1}:t+1期的预测值

F_t:t期预测值

α：平滑系数

x_t:t期实际值

当α逐渐接近1时，在t+1期的预测结果会更加贴近当前的实际数据；而当α逐渐趋向于0时，在t+1期的预测结果则会更加贴近之前的预测结果

α一般取值范围：0≤α≤1 ；特殊情况下，α也可取大于1的数值。

2.4 回归模型预测法

回归分析法基于变量之间相互影响的因果联系而推断事物未来演变方向的方法称为回归模型预测法或因果关系分析法。它是一种通过变量间相互作用机制进行定量分析以预测事件发展路径的技术，在经济领域及科技领域的趋势分析与预判中具有广泛应用。

回归分析法的分类

1. 

线性回归方程

一元线性回归
y=a+bx

y:因变量

x:自变量

a、b:回归模型参数
R=\sqrt{\frac{\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2}{\sum(y_i-\bar{y})^2}}

★相关系数R，R取值范围：-1≤R≤1

当 R 为正值时, 说明 y 随 x 增长而增长；当 R 为负值时, 说明 y 随 x 减少而增加；当 R 等于零时, y 和 x 没有线性关系。 *

多元线性回归
y=a+b_1x_1+b_2x_2
y:因变量

x_1、x_2:两个自变量

a、b_1、b_2:回归模型参数

2. 

非线性回归方程

★最小二乘法 ：寻求使误差平方总和为最小的配合趋势线的方法 。

三、决策

3.1 决策的概念和程序

1. 决策类型划分

• 根据不同的方法进行划分：★常规性决策、特殊性决策 * 根据计划与控制的关系进行划分：计划性决策、控制性决策

2. 决策的步骤
3. 设定明确的目标
4. 制定可实施的方案
5. 分析可能出现的状态
6. 编制决策收益表
7. 基于决策标准作出决定。

3.2 在不同环境下的决策

1. 在确定条件下的决策中仅有一种自然状态
2. 在不确定条件下做出的决策涉及多个可能的状态，并且相关方无法识别除这些之外的其他潜在情况
3. 在风险条件下做出的决策涉及多个可能的状态，并且相关方能够提供将概率值分配到每个可能的状态的信息

3.3 不确定条件下的决策

最大最大决策标准：也称为乐观主义者的决策标准。（大中取大）

最大最小决策标准：也可视为稳健型决策者所采用的标准，并被视为风险厌恶型决策者所采取的方法。（小中取大）

最小最大遗憾值决策标准

计算每种状态下的最大收益值与其它方案的差额，并确定每个方案的最大遗憾值。随后挑选出最小的一个作为备选方案。

该方法也被简称为折中主义决策方法。
其计算公式为 Max = Maximum\ a + Minimum\ (1 - a)。
综合评价指标 CV_i = a \times Maximum\ a_{ij} + (1 - a) \times Minimum\ a_{ij}。
其中 CV_i 代表第 i 个方案的综合评价指标。

a：概率值或称折中系数，0

i：方案数，i=1，2，…，n

j：自然状态数，j=1，2，…，m

a_{ij}：为方案A_i在遇到自然状态θ_j的情况下，所能获得的收益值

3.4 风险条件下的决策

基于风险条件的决策通常被称为统计型决策或随机型决策，并且其核心在于根据不同自然状态及其发生的概率进行评估和选择的过程中。

最大期望收益值决策
CP_{ij}=P*Q_{i,j}-C*L_{i,j}+S*L_{i,j}

CP_{ij}：购进方案i遇到销售状态j时的条件利润（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

P：单位利润

Q_{i,j}：购进方案i遇到销售状态j时，所能销售的数量

C：单位成本

L_{i,j}：购进方案i遇到的销售状态j时，不能售出的数量

S：单位折余值
EP_i=\sum_{j=1}^{m}CP_{i,j}(B_j)

EP_i：购进方案i的期望利润

CP_{ij}：购进方案i遇到销售状态j时的利润条件

B_j：销售状态j的出现概率

最小期望损失值标准
min\sum_{j=1}^{m}CP'_{ij}*(B_j)

B_j：第j列的概率值

CP’_{ij}：第i方案的损失值

3.5 决策树

该决策树结构较为简单。该树由方块和圆圈构成节点，并通过直线连接形成一种树状架构。其中方块节点代表决策点。从决策节点延伸出来的分支即为方案分支,每个方案对应一条分支路径。圆圈节点代表状态节点,由其延伸出来的分支称为状态分支,表示不同的状态情况。

决策树方法的优点

1. 

它构成决策过程，使决策者能够以一种顺序的、有条理的方式接近决策。

2. 

它要求决策者检验所有的可能得结果，合意的和不合意的一样要检验。

3. 

它通过一种非常直接的方式传递给其他人阐述对未来的每一种假设。

4. 

为了详细分析每一个财政数字、概率以及优先的假设——逐一探讨——便于分组讨论各种方案

5. 

该系统旨在与计算机协同工作，在分析可能的变化情况的同时,探讨其潜在的影响.

四、库存管理

4.1 库存管理的作用和意义

1. 库存管理的核心作用

2. 应对外部原材料供应周期性变化

3. 应对外部产品销售周期性变化

4. 应对外部运输资源利用效率和经济性的要求

5. 应对外部生产组织和安排的合理性要求

6. 应对外部批发规模与存储空间需求匹配的要求

7. 库存管理的意义

8. 确保企业按照系统化的安排实现均衡生产，并避免因原材料或物资短缺而导致停工停产。

9. 通过优化库存管理来降低总运营成本。

10. 库存管理的核心内容涉及以下几个关键环节：

11. 计算最经济的采购批量或生产批量（EOQ/EPQ）；

12. 制定合理的订货提前期策略（ROP）；

13. 建立适当的安全库存水平；

14. 评估最低库存成本（KPI）；

15. 实施切实可行的库存管理和控制措施以提升运营效率。

4.2 库存管理的存货台套法与ABC分类管理

库存台套法：将存货台套设为存货管理的基本单位，在特定的存货台套中则会涵盖与该物品相关的各种单项存货。

ABC分类法：根据不同种类的存货台套及其年度消耗价值,划分为A类、B类和C类三种。

A类存货品种：约占总占比的十分之一，在整个企业存货年度需求总额中占据约七成的价值份额

A类存货应该细致地加强管理，其原因：

• 台套数量有限且种类不多，在管理和使用上相对较为简便。
  • A类存货因其重要性而对库存管理带来了明显的经济效益。
  • 由于其特殊的重要性，在存储方面需要采取特别措施（例如配备防火设备、储存易燃物质时使用防爆容器或其他安全防护装备）。

B类存货单元：构成全部存货台套数的30%，其价值仅占全部存货年度消耗价值的20%

C类存货单元：构成全部存货数量的60%，仅占全部存货年度所需用价值总量的10%

考虑到B类、C类存货单元其价值占比偏低这一特点，并非因为其数量稀少而是因为数量众多的缘故，在管理上不宜过于精细化处理。

4.3 库存费用分析和平均库存的概念

企业的仓库一般可以分为原材料库和半成品、成品库两类。

原材料存储成本：存储成本由订货成本与仓储维护成本组成；半成品及成品存储成本：存储成本由设备调整成本与仓储维护成本构成；TC=P+C；TC=S+C

库存费用

订货费用
订货费=\frac{年需求量}{订货量}*一次订货费

P=\frac{D}{N}*P_0

工装调整费
工装调整费=\frac{年计划产量}{生产批量}*一次工装调整量

S=\frac{R}{N}*P_s

保管费用
保管费=平均库存量*单位物资保管费

C=\frac{1}{2}N*C_0

\frac{1}{2}N为平均库存量

保管费比率 C_i = \frac{\text{企业的年度总保管支出}}{\text{各存货类别的平均库存水平}}

保管费=平均库存量*库存物资单价*保管费率

即：C=\frac{1}{2}N*R*C_i

平均库存水平（即平均存货情况）

即：M=\frac{1}{2}N*R

4.4 经济订货量（EOQ）的计算方法

经济订货量（EOQ）：旨在最小化总存货成本，并为特定类型或存货单元确定的最佳订货批量。

订货费用=保管费用（费用是最低）

最佳订货量
N_μ=\sqrt\frac{2AP_0}{R^2C_i}
N_μ：最佳订货量

A：全年所需用的存货的总值

R：单价

P_0：一次订货费用

C_i：保管费率

4.5 经济订货量（EOQ）公式的典型应用示例

最佳订货金额
P_μ=\sqrt\frac{2AP_0}{C_i}
P_μ：每次订货的最佳总金额

A：全年所需用的存货的总值

P_0：一次订货费用

C_i：保管费率

最佳订货次数
Z_μ=\sqrt\frac{AC_i}{2P_0}
Z_μ：最佳订货次数

A：全年所需用的存货的总值

P_0：一次订货费用

C_i：保管费率

4.6 订货时间的确定

再订货点是一种方式，在具体到某项存货而言的时间节点上进行再订货。
还有一种情况是达到特定存量水平时就应触发再订货。

2. 前置时间

   • 提前时间，也可称为订货提前期。

3. 前置时间内的需求量

   • 也可称为订货提前期内的需求量。

4. 缺货

   • 指仓库中已没有某项存货可以满足生成需要或销售需要时的状况。

5. 安全 stock level

• 也可称为 safety stock quantity. 安全 stock level 是指企业为了预防可能出现的缺货现象而维持的额外库存量。

4.7 正确估价供应商所提供的数量折扣

1. 大批量采购的优点与缺点
   • 优点
     1. 能够以较低的价格单位进行采购
     2. 通过大批量采购的方式可减少订单次数并降低订单成本
     3. 大规模采购即可实现成批运输并获得折扣优惠
     4. 在进行大批量进货时缺货风险较低

• 缺点

  1. 大规模采购会导致仓储成本上升。

  2. 这种做法需要投入更多的资金资源。

  3. 库存中的商品可能会逐渐变旧或过时化。

  4. 库存货物的周转率相对较低。

  5. 对于服装、化妆品等商品而言，
     时尚元素的应用范围和适应性较差，
     灵活性较弱。

  6. 随着库存数量的增长，
     货物的损耗程度会显著增加，
     同时货物价值下降的风险也会随之提高。

  7. 正确评估供应者所提供的数量折扣

五、线性规划

5.1 概述

1. 线性规划：是一种科学配置资源、优化配置资源的应用数学工具。
2. 线性规划定义为：线性规划是指在受到一系列限制条件的情况下,找到一个目标函数的最大或最小值,以最优化的方式实现决策目标。

5.2 线性规划的模型结构

线性规划的模型结构

1. 

变数：变数是指影响系统运行的关键未知要素，并同样代表着能够调节或控制的因素；通常情况下, 这些要素对其结果产生关键影响, 并被称为决策变數

2. 

目标函数的定义：它指的是决策主体对决策问题目标的具体表述，在这种情况下涉及求解最大或最小值的问题。

3. 

约束条件：约束条件是指实现目标的限制因素。

4. 

线性规划的变量应为正值。

线性规划建模步骤

1. 

明确问题，确定目标，列出约束因素。

2. 

收集资料，确立模型。

3. 

模型求解与检验。

4. 

优化后分析。

在机器学习中实现一个功能相对复杂

注：改写说明：

1. 将"较为"改为"主要"
2. 将"建立模型"改为"构建模型"
3. 将"而"改为"其中"
4. 调整了句子结构使其更加简洁流畅
5. 增加了对复杂性的描述
6. 使用了更为专业的表述方式

5.3 线性规划的图解法

线性规划的基本解法：图解法和单纯形法 。图解法又称为几何法。

图解法步骤

• 首先, 确定满足所有约束条件的所有可能解构成的区域（称为可行域）。

• 其次, 根据目标函数在该区域内进行计算和分析来找出最佳解。

求最大值

约束条件：
\begin{cases} \begin{aligned} &2x_1 + 3x_2 ≤ 10 \\ &4x_1 + 2x_2 ≤ 12 \\ &x_1,x_2 ≥ 0 \\ \end{aligned} \end{cases}
目标函数： F=6x_1 + 4x_x

直线斜率： m=-\frac{3}{2}

求最小解

约束条件：

\begin{cases} \begin{aligned} &X ≤ 400 \\ &Y ≥ 200 \\ &X+Y=500 \\ &X,Y≥ 0 \\ \end{aligned} \end{cases}
目标函数： S=5X+8Y

直线斜率： m=-\frac{5}{8}

5.4 线性规划问题的单纯形法

单纯形法阶梯步骤

1. 首要任务就是寻求一个基础可行解（称为可行基）；

2. 从现有基础可行解出发运用换基法逐步优化...最终获得最优解。

单纯形法求最大值

目标函数： S=100X_1 + 80X_2

约束条件为以下线性不等式组：

\begin{cases} \begin{aligned} &2X_1 + 4X_2 \leq 80 \\ &3X_1 + X_2 \leq 60 \\ &X_1, X_2 \geq 0 \end{aligned} \end{cases}

增添辅助变量（也被称作松弛变量） ，以便将模型中约束条件中的不等式转换为等式。

目标函数变为： S=100X_1+80X_2+(0)*K_1+(0)*K_2

约束条件调整为以下形式：

\begin{cases} \begin{aligned} &2X_1 + 4X_2 + K_1 = 80 \\ &3X_1 + X_2 + K_2 = 60 \\ &X_1, X_2, K_1, K_2 \geq 0 \end{aligned} \end{cases}

对应的单纯形表形式为：

\begin{array}{c|cccc|c} & X_{1} & X_{2} & S_{1} & S_{2} & \text{右端} \\ \hline S_{1} & 2 & 4 & 1 & 0 & 80 \\ S_{2} & 3 & 1 & 0 & 1 & 60 \\ \hline Z & -5 & -4.5 & 0.5 & -7.5 & -975 \end{array}

第1行列出目标函数的系数

第2行列出全部变量

第3行、第4行列出两个约束方程的系数

第1列 C_j 表示目标函数中基变量 K_1、K_2 的系数

第2列为基变量

第3列至第6列为对应于变量的系数（除第2行）

第7列为常数列，等号右侧部分常数

Z_j ：它是所在列的系数与目标列系数 C_j 乘积之和

Z_1=2 _0+3_ 0=0

Z_2=4 _0+1_ 0=0

Z_1=2 _0+3_ 0=0

Z_1=2 _0+3_ 0=0

由于 C_j-Z_j 的最大值是100， X_1 进入基变量组，由于60/3=20（最小）, K_2 退出基变量组

转换后的单纯形表为：

因为 C_j-Z_j 的最大值达到了 \frac{140}{3} , 所以 X_2 成为基变量之一。经过计算得出结果为12（最小）, 因此在此基础上进行分析后, 我们确定 K_1 退出基变量组。

转换后的单纯形表为：

由于 K_1,K_2 不能是负数， S=100X_1+80X_2+K_1+K_2=100 _16+80_ 12=2560

基变量、非基变量、通解、特解、基解、可行基解

基变量：引入到变量使不等式变为等式的变量（ K_1,K_2 )。

非基变量：等式中非引入的变量（ X_1,X_2 ）。

通解：获取基变量组的约束方程，称为通解。对应的解有无穷多个。

K_1 = 80-2X_1-4X_2

K_2=60-3X_1-X_2

特解：给非基变量一个具体的值，得出的解成为特解。

基解：所有的非基变量都等于0的解。

有效基点是指那些满足非负条件的基点，在线性规划中通常被称为可行点或有效点。当某个变量不满足非负条件时，则不属于有效基点

最佳解：满足某线性规划的所有约束条件并使目标函数取得极值（最大值或最小值）的每一个可行点都被定义为此线性规划的最佳解。

每个基变量组仅有一个通解及一个对应的基解；这些基解可能为非负数或负数；对应的特解有无穷多个情况。

每个基变量组的基解，不一定是可行的。

六、运输问题

6.1 运输问题及其特殊结构

1. 平衡运输问题：所有产地的总产量于所有销地的总需求量相等。

6.2 需要量等于供应量的运算问题

西北角法：求最初的运输方案时采用的一种方法。

阶石法：将数字格内的各个数据单元格中的数值用圆圈标记出来，并在表格中以虚线的方式连接这些标记点；这些标记点与连接线共同构成的图案看起来就像是一个台阶；这种方法通常被称为阶石法（也称登石法）。

闭合回路法是一种用于优化运输计划的方法，在寻找优化运输计划的过程中，请绘制在运输图上从WB单元格出发的改善路径。为了维持行列上的平衡状态，在WB单元格出发时，在同行或同列的位置必然一个增一个减地配对调整，并最终又会返回到起始点WB单元格。因此这种改善路径形成了一条闭合回路路径

寻求各空格的改进路线及改进指数（使用运费计算）：
\begin{aligned} & WB改进路线：L_{WB}=+WB-XB+XA-WA \\ & WB改进指数：I_{WB}=+80-240+160-40=-40 \\ \\ & WC改进路线：L_{WC}=+WC-YC+YB-XB+XA-WA \\ & WC改进指数：I_{WC}=+80-240+160-240+160-40=-120 \\ \\ & XC改进路线：L_{XC}=+XC-YC+YB-XB \\ & XC改进指数：I_{XC}=+160-240+160-240=-160 \\ \\ & YA改进路线：L_{YA}=+YA-XA+XB-YB \\ & YA改进指数：I_{YA}=+80-160+240-160=0 \\ \end{aligned}
改进方案：（节减费用最大的进行改进：XC，并选择最小运量为调整量：YC）

XC=XC+YC=0+41=41

XB=XB-YC=66-41=25

YB=YB+YC=36+41=77

YC=YC-YC=41-41=0

再重新计算各空格的改进指数：
\begin{aligned} & WB改进路线：L_{WB}=+WB-XB+XA-WA \\ & WB改进指数：I_{WB}=+80-240+160-40=-40 \\ \\ & WC改进路线：L_{WC}=+WC-XC+XA-WA \\ & WC改进指数：I_{WC}=+80-160+160-40=40 \\ \\ & YA改进路线：L_{YA}=+YA-XA+XB-YB \\ & YA改进指数：I_{YA}=+80-160+240-160=0 \\ \\ & YC改进路线：L_{YC}=+YC-YB+XB-XC \\ & YC改进指数：I_{YC}=+240-160+240-160=160 \\ \end{aligned}
改进方案：（节减费用最大的进行改进：WB，并选择最小运量为调整量：XB）

WB=WB+XB=0+25=25

WA=WA-XB=56-25=31

XA=XA+XB=16+25=41

XB=XB-XB=25-25=0

再重新计算各空格的改进指数：
\begin{aligned} & WC改进路线：L_{WC}=+WC-XC+XB-WB \\ & WC改进指数：I_{WC}=+80-160+160-40=40 \\ \\ & XB改进路线：L_{XB}=+XB-WB+WA-XA \\ & XB改进指数：I_{XB}=+240-80+40-160=40 \\ \\ & YA改进路线：L_{YA}=+YA-WA+WB-YB \\ & YA改进指数：I_{YA}=+80-40+80-160=-40 \\ \\ & YC改进路线：L_{YC}=+YC-XC+XA-WA-WB+YB \\ & YC改进指数：I_{YC}=+240-160+160-40+80-160=120 \\ \end{aligned}
改进方案：（节减费用最大的进行改进：YA，并选择最小运量为调整量：WA）

YA=YA+WA=0+31=31

WA=WA-WA=31-31=0

WB=WB+WA=25+31=56

YB=YB-WA=77-31=46

再次核算各空格的改进行数时发现

修正分配法：也叫位势法。

修正分配法与闭合回路法的关系

1. 该方法支撑修正分配法的基础架构。
2. 当评估一个方案是否为最优时，在寻找其改进方向之前需先确定一个封闭路径作为基础结构。

6.3需要量不等于供应量的运算问题

对于需求量小于供应量的运输问题，最优解的方法是：

1. 虚设一个虚拟设置

2. 假设某个特定的需求点其需求量等于其所在区域内的总供应量减去该特定区域的总消耗量

3. 每个供应点向每个需求点运送货物时的单个运距单位运费均为零

对于需求量大于供应量的运输问题，最优解的方法是：

设立一个虚拟源节点

运输问题符合的条件
数字格的数目=行数+列数-1

退化现象： 数字格数目<行数+列数-1 这种现象称为退化现象。

七、网络计划技术

7.1 网络图

网络图又称箭头图或统筹图，并且也是用来描述计划项目各组成部分之间内在逻辑关系的一种工具；它反映了计划项目各组成部分之间的内在逻辑关系并为规划和计算提供了依据；而网络计划技术则以网络图为基本工具并以此为基础展开各项计算和安排。

网络图分为箭线式 网络图和结点式 网络图。

箭线式网络图以箭线代表活动（作业） ，以节点代表活动的开始和完成 。

结点式网络图以节点代表活动 ，以箭线表示各活动之间的先后承接关系。

箭线式网络图由活动 、节点 和线路 三部分组成。

1. 

作业或工序：指的是执行的具体任务。有时需要引入虚设的活动，在某些情况下需要引入虚设的活动，在某些情况下需要引入虚设的任务以满足特定需求。这些虚设的任务：指的是不消耗资源也不占用时间的任务，在项目管理中常常用箭线形式表示并标记为'→'符号来区分不同的作业或工序之间的关系

虚活动引进的两种情况：

一种情况下是前后两个节点之间的工作流程只能表示一项活动；而当两种或以上不同的活动拥有相同的起始点和终点时，则有必要引入虚拟作业以进行区分

改写说明

2. 

结点：节点。它没有占用时间和资源消耗。
一项规划通常只有一个总的开始节点和一个总的结束节点。

• 结点编号遵循以下规则：所有箭尾节点 i 均小于其指向的箭头节点 j；通常采用不连续的编码方式。即允许留空几个号码，并且跳跃式地进行编排。如奇数序列。

通道：沿着网络中的节点延伸，在途中经过相互连接的节点以及连接它们的箭线，在到达网络终点之前通向其一的道路。

• 关键路径：持续时间最长的关键路径即为主导矛盾路线。

  • 路长是指该路径上各工作所需的时间之和。

箭线式网路图的编绘

任务的划分
* 核心在于分工明确
* 既要避免过于细化
* 结构复杂
* 又要避免职责不清
* 避免相互推诿的情况

2. 画网络图

7.2 网络时间的计算

网络时间的三种主要计算方式包括：图形法、表列式运算以及矩阵运算方法。其中，表列式运算和矩阵运算方法特别适用于通过电子计算机来进行时间数据的处理和分析。

作业时间是指在特定的技术条件下完成某项活动或工序所需的时间

节点时间：节点（事项）的早先启动时间和早先完成时间。即代表紧随前一活动结束、引出后续任务启动的时间参数。

1. 

节点（事项）的最迟起始时间和完成时间。

• $ ES_j代表箭头结点j所需完成的时间；

• $ ES_i代表箭头结点i所需完成的时间；

• $ T_{i,j}表示从活动i到j所需的作业时间；

• 计算节点j的所有前驱活动的最大完成时间。
  这是什么意思呢？它表明只有在其所有前驱活动均完成后（即它们各自对应的 ES_i值加上相应作业时间 T_{i,j}），节点j$之后的任务才可能被安排执行。

结点的最迟完成时间
LF_i=\min_{i

• LF_i：该箭尾端节点i的最迟完成时间；

• LF_j：该箭头端节点j的最迟完成时间；

• T_{i,j}：该活动从i到j的时间；

• min表示该节点有多个后续活动时，则取LF_i减去T_{i,j}后的最小值。

活动时间（工作的作业时间）

涉及四个不同的活动时间段：包括项目的启动时刻、项目结束的最前截止日期、项目启动的最后截止日期以及项目的最终截止时刻。

1. 

活动的最早开始时间
ES_{i,j}=ES_i
ES_{i,j}：活动i \to j的最早开始时间

2. 

活动的最早完成时间
EF_{i,j}=ES_{i,j}+T_{i,j}=ES_i+T_{i,j}

3. 

活动的最迟完成时间
LF_{i,j}=LF_j\\ LF_{i,j}=LS_{i,j}+T_{i,j}

• LF_{i,j}代表活动i\rightarrow j的最迟完成时刻；

  • LF_j表示箭头a_j所连接节点j的最早到达时刻；
  • T_{e,i}表示执行过程i\rightarrow j所需的时间长度；
  • LS_i^{(k)}\rightarrow LS_j^{(k)}\rightarrow t_{ij}代表从节点i^{(k)}_e=0出发到节点j^{(k)}_e=0所需的时间总和。

活动的最迟开始时间
LS_{i,j}=LF_j-T_{i,j}=LF_{i,j}-T_{i,j}

网络时间的表格计算法

7.3 时差和关键线路

结点时差的计算公式为：
S_i=LF_i-ES_i

S_i：结点i的时差；

结点时差等于0的结点，叫关键结点。

活动时差：总时差、专用时差、局部时差、局部时差2。

1. 

总时差
S_{i,j}^总=LF_j-T_{i,j}-ES_i

2. 

专用时差
S_{i,j}^专=ES_j-T_{i,j}-LF_i

3. 

局部时差1
S_{i,j}^{局1}=ES_j-T_{i,j}-ES_i

4. 

局部时差2
S_{i,j}^{局2}=LF_j-T_{i,j}-LF_i

该指标为线段时差的最大值，在该线段各作业之间的最大总时差值即为此指标的数值。

线路时差：等于各个线段时差之和。

7.4 最优方案的选择

最佳方案的选择：通过制定最佳计划方案来实现 shortest cycle 和 lowest cost的目标。

网络计划优化的内容：（1）时间优化 ；（2）时间与资源优化 ；（3）时间与成本优化 。

1. 

时间优化工作就是在满足人力、材料、设备、资金等资源保证的基础上,实现工程项目的最短周期目标

• 缩短工程周期的方法

  1. 最为积极的措施是大力实施技术革新,旨在缩短作业时间,尤其是在关键路径任务上取得显著成效。

  2. 加强管理工作的安排,充分利用非关键作业的时间余地,合理调配人力、物力和资源,支持关键任务进度。

  3. 尽可能采用标准件、通用件和预制件等产品,以减少设计周期和制造周期所需的时间投入。

  4. 组织流水施工模式以缩短工期,例如隧道两端同时开挖,堤防分段施工等并行操作方法。

  5. 实施间断式交叉施工,即待前工序加工一批零件完成后立即开始后续工序的加工处理,实现两道工序间的平行衔接。

  6. 当人力保障到位时,将单一班次变为多班制安排,从而有效缩短整体工程周期。

时间与资源优化：就是在合理利用资源的条件下，需求最短的工程周期。

该平衡工作的核心任务是对那些短缺的关键资源实施重点保障措施。具体而言，在设备配备、专业人员配备以及高科技材料储备等方面都实施了相应的保障机制。

资源平衡的原则：

在资源分配过程中，首要考虑的是那些关键任务以及时间跨度不大（即时差较小）的任务的需求，并旨在缩短整体项目周期。科学合理地配置人力与设备等资源，并尽量减少由于骤增或骤减所带来的人员调动上的困难。

3. 

时间与成本优化

7.5 网络计划技术的推广和应用

网络计划技术是一种高效先进的计划管理手段。
推广和应用时需要注意以下几点：
首先应得到领导的高度重视，并给予积极支持。
应在原有工作安排中设立专门的网络计划推广小组。
需要与相关专业团队紧密合作，在全面分析的基础上分解工程任务，并制定详细的活动清单。
应收集各项定额数据资料作为基础依据。
在绘制项目流程图时，请各部门保持密切联系，并在方案确定前进行充分讨论以明确职责分工。
各项工作之间相互依存、相互制约，在实施过程中必须强化调度与控制措施以确保项目顺利推进。

八、图论方法

8.1 图的基本概念

1. 图的基本要素：点以及点与点之间的一些连线。

8.2 树和树的逐步生成法

1. Tree: First, it is connected; second, it contains no cycles.
2. For any tree, the number of edges is equal to the number of vertices minus one.

8.3 最小枝杈树问题

1. 最小枝杈树：从起始节点延伸至所有目标点，在这些连接路径中确定若干连接路径（即分枝线路），使得其所有分枝线路的总长度最小化（即达到最低总费用）。
2. 确定最小枝杈树的方法包括普赖姆算法和克鲁斯卡尔算法。

8.4 最短路线问题

8.5 最大流量问题

九、马尔柯夫分析

9.1 马尔柯夫分析的数学原理

马尔柯夫过程：此一种状态转移至另一状态的过程，在满足以下两个条件的情况下被称为马尔柯夫过程：第一，在任何时刻t的状态仅由其前一时刻的状态决定；第二，在任何时刻t的状态转移到另一个特定状态的概率仅依赖于当前的状态。

马尔柯夫锁链：一连串的此种转换过程的整体称为马尔柯夫锁链。

马尔柯夫分析：对可能影响并会随时间推移而变化的马尔可夫过程或马尔可夫链进行研究，并以此来考察和预测该过程或链条未来变动的趋势，则称这种研究为马尔可夫分析。

概率向量：任何一个向量 u=(u_1,u_2,…,u_n) ，若其各分量均为非负实数，并且其和等于1，则该向量被称为概率向量。

概率矩阵（square matrix）：其中考虑一个 P=(P_{ij}) 的square matrix，在其每一行均为probability vectors的情况下，则称该matrix为probability matrix或者stochastic matrix.

命题1：当A和B均为概率矩阵时，则其乘积同样为概率矩阵；类似地， A^n 同样为概率矩阵。

定理二指出，在概率矩阵中

定理3：设任给概率向量T=(t_1,t_2,\cdots,t_n)以及任一概率矩阵
P= \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} & \cdots & P_{1n} \\ P_{21} & P_{22} & \cdots & P_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ P_{n1} & P_{n2} & \cdots & P_{nn} \end{bmatrix}. 则当n趋于无穷大时，则有：矩阵乘法运算TP^n = (z_1,z_2,\cdots,z_n)成立；其中向量组(z_1,z_2,\cdots,z_n)代表了概率矩阵P^n的任意一行

9.2 马尔柯夫分析问题的要求

马尔柯夫分析的定义：基于研究几种变量当前运动的情况来预测这些量未来运动情况的一种方法 。或：研究某变量当前状况并预测其未来状况的一种方法。

概论矩阵转换计算：
(x\_ ¹,x\_ ²,x\_ ³)⋅\begin{bmatrix} p\_ ¹¹ & p\_ ¹² & p\_ ¹³ \\ p\_ ²¹ & p\_ ²² & p\_ ²³ \\ p\_ ³¹ & p\_³² & p\_\{³³} \end{bmatrix}；其中，
x\_\{\text{新}}^i = \sum\limits_j {x_j^\text{{原}} \times p\_\{ij}}（i=¹,²,³）。

马尔柯夫分析步骤

1. 深入了解用户需求，并能精准把握品牌或牌号转换商情的关键信息。
2. 科学构建转换概率矩阵模型，并进行详细分析。
3. 通过系统分析与推演，精确预测未来市场占有率变化趋势。
4. 准确判定市场平衡条件下的最优策略方案。

9.3 马尔柯夫分析在管理工作中的应用

1. 该方法主要用于设备维修活动
2. 决定设备维护场所应当特别关注
3. 关于更换零部件的方式应当重点考虑
4. 预测人口发展变化趋势将作为一项重要工作
5. 对市场占有率进行动态评估也是关键任务

十、盈亏分析模型

10.1 盈亏平衡问题概述

1. 企业的纯收益等于经营收入减去固定成本与变动成本之和
2. 盈亏平衡分析基于所有费用都可以划分为固定成本与变动成本两种类型这一假设

10.2 盈亏分析模型的基本结构

盈亏分析模型的基本结构是由成本结构 和销售结构 组成。

工业产品成本费用可分为直接材料成本、生产能源消耗、人工成本及其附带支出、废料回收损失、车间运营支出以及管理支出。从另一个角度来看，则可分为固定成本和变动成本。

• 固定费用：生产工厂发生的车间经费以及企业管理支出

• 可变费用：直接材料成本包括原材料投入；人工成本及附加支出涉及员工工资和社会保障；能源消耗费用涵盖燃料动力使用；生产过程中造成的损失计入废品损失费

固定成本可再分为：预付成本、计划成本 。

成本公式
C=F+V=(F_c+F_p)+V
C为总成本，或称为总生产费用

V为可变成本

F为固定成本，或称固定费用

F_c为预付成本，它在全部销售量上保持不变

F_p为计划成本，它随销售量而变动

产品销售公式： 总销售收入（I）=产品价格（M）*销售量（Q），即：I=MQ 。

10.3 线性盈亏分析模型及其应用示例

盈亏分析模型的基本公式： 企业销售收入（I）=总成本（C）+利润（S），即：I=C+S 。

可变费用公式： 总可变费用（V）=单件产品可变费用（V’）*总销售量（Q），即：V=V’*Q。

由成本公式、产品销售公式、盈亏分析基本公式、可变费用公式可得：

 * $ MQ=F+V’Q+S $
 * $ MQ-V’Q=F+S $
 * $ Q=\frac{F+S}{M-V’} $

盈亏平衡计算，当企业产品盈亏平衡时，利润为零，S=0，则盈亏平衡点的产量 Q_0 应为：
Q_0=\frac{F}{M-V'}
由I=MQ_0或I=C ，则：
I=\frac{F}{1-\frac{V'}{M}}

边际收益也被称作边际贡献,即产品价格减去可变成本所形成的范围。

边际收益率被称为一种衡量单位产品贡献能力的经济指标，在计算时采用的是边际收益值除以销售价格的方式

生产能力指标是指盈亏平衡点销售量 Q_0 占总生产业能的比例，并表示为以下计算式：

10.4 非线性盈亏分析模型

非线性盈亏分析模型特点：基于特定生产条件，在总生产成本曲线（记作C）与销售收入曲线（记作I）之间形成了两个明确的交点位置1和位置2，在此区域内属于盈利状态并存在着最大利润规模对应的最优产量值Q_max以及最低单位产品成本对应的最优产量值Q_min。对应存在两个盈亏平衡产量值Q₁和Q₂，在位置1至位置2之间的区间内属于盈利区域

假设销售收入 I=f_1（Q）、生成费用 C=f_2（Q）分别为生成量 Q为函数的非线性方程。

盈亏平衡点计算：
S=I-C
盈亏平衡，即 S=0：
I-C=0 \\ f_1(Q)-f_2(Q)=0

利润最大的产量 Q_{max}的运算：
总利润线表现为一凸形曲线，在确定其顶峰位置时只需使上式的一阶导数等于零即可：
运算中dS/dQ等于d(I - C)相对于dQ的变化率等于零：

单件成本最小产量值 Q_{min}的确定：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 9: 单位平均成本：&̲ W = \frac C Q = …
对上述表达式求一阶导数并令其等于零：
\begin{\split} \mathrm dW/\mathrm dQ & = \mathrm d(V' + F/Q)/\mathrm dQ = 0 \\ \Rightarrow \mathrm dV'/\mathrm dQ & = F / Q^2 \end{split}

10.5 盈亏平衡分析在企业管理中的应用

1. 产品规划方案
2. 工厂（企业）选址方案优化
3. 设备选型及更新方案
4. 混合销售策略
5. 生产与采购管理方案

十一、模拟的基本概念

11.1 概述

1. 模拟的概念：模拟又称仿真，它的基本思想是构造一个实验的模型，这个模型与我们研究的系统的主要性能十分近似的。

2. 蒙特卡洛方法 是应用随机数进行模拟实验的方法，它对要研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本的观察统计，得到系统的参数值。用一系列随机数创造分布函数 。

3. 使用模拟的原因：
   1. 由于难以观察到实际环境，模拟可能是唯一可以利用的方法（在空间飞行或绘制卫星轨迹中，这种方法是被广泛使用的）。
   2. 不可能求出一个数学解。
   3. 实际观察一个系统可能太费钱（用大型计算机中心来解若干不同类型的选择方案可能太昂贵，因而是不可取的）。
   4. 不可能有足够的时间来广泛地操作该系统。
   5. 对一个系统的实际运用和观察可能破坏性太大。

4. 系统模拟过程：

5. 明确需要模拟的具体问题以及所涉及的系统结构。

6. 将所需使用的模型转化为数学或逻辑公式表达。

7. 通过与实际问题情境的对比验证模型的有效性。

8. 收集相关数据以验证模型是否准确反映实际问题。

9. 通过执行模拟模型来观察其运行结果。

10. 对模拟结果进行分析，并根据分析结果调整初始假设或估算值。

11. 针对调整后的估算值重新运行模拟以验证其准确性。

12. 最终确保整个模拟过程能够准确反映所研究的问题并得出合理的结论

13. 模拟的效果不尽如人意：

14. 模拟结果不够精确；它既不是严格的最优化过程也无法得出明确的答案；而是仅仅呈现一系列反应数据。

15. 建立一个高质量的模拟模型可能成本很高。

16. 并非所有情况下都适合用模拟方法进行评估；只有那些包含不确定因素的环境才可能适用；而且如果缺少随机元素参与，则会导致所有模拟实验结果相同。

17. 通过模拟可以估计可能的答案；但无法直接得出最终结论；决策者还需自行探索并提出可供选择的解决方案。

11.2 概率分布及其在模拟中应用

随机变量的概率分布主要分为离散型和连续型 的两种类型。其中，离散型概率仅能取有限数量的值。

2. 随机变量：是具有各种不同数值的一个变量，这些不同数值是在一次随机试验中，作为各种结果之一而出现的。随机变量可能是离散型的，也可能是连续型的。
3. 均匀随机数是均匀分布随机变量的抽烟序列数，是随机数中最基本的一种。

11.3 模拟的应用示例

医院手术室病人安排和手术问题

制造业中维修力量规模的确定

使企业库存系统的总库存费用最小

排队系统的模拟

排队系统有单渠道模型和多渠道模型。

单一通道的随机排队模型描述了一个拥有单一服务台、不确定的到达间隔和不确定的服务时长的情况。

10.5 盈亏平衡分析在企业管理中的应用

1. 产品规划方案
   2. 最佳工厂布局
   3. 设备选择与更换
   4. 复合销售策略
   5. 生产与采购整合

十一、模拟的基本概念

11.1 概述

1. 模拟的概念：模拟又称仿真，它的基本思想是构造一个实验的模型，这个模型与我们研究的系统的主要性能十分近似的。

2. 蒙特卡洛方法 是应用随机数进行模拟实验的方法，它对要研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本的观察统计，得到系统的参数值。用一系列随机数创造分布函数 。

3. 使用模拟的原因：
   1. 由于难以观察到实际环境，模拟可能是唯一可以利用的方法（在空间飞行或绘制卫星轨迹中，这种方法是被广泛使用的）。
   2. 不可能求出一个数学解。
   3. 实际观察一个系统可能太费钱（用大型计算机中心来解若干不同类型的选择方案可能太昂贵，因而是不可取的）。
   4. 不可能有足够的时间来广泛地操作该系统。
   5. 对一个系统的实际运用和观察可能破坏性太大。

4. 系统模拟过程：

5. 明确需要进行模拟的问题及其系统结构。

6. 将所需采用的模型转化为数学表达式或公式形式。

7. 通过比较模拟模型的行为模式与实际问题环境的行为特征来验证其准确性。

8. 识别并收集用于验证模型的数据信息。

9. 运行该模拟模型程序或进行计算分析。

10. 评估模拟结果，并根据需要对初始假设或估算进行必要的修正。

11. 针对新的估算结果或假设条件重新运行模拟程序。

12. 最终确保整个模拟过程得到实现或成功完成。

13. 模拟的不足：

14. 模拟过程不够精准，并非单纯的最优化过程也无法得出明确的答案；它仅仅提供不同条件下系统的系列反应。

15. 建立一个高质量的模拟模型可能会非常昂贵。

16. 并非所有方法都适合使用模拟方法进行评估；只有在存在不确定因素的情况下才能适用。

17. 模仿技术能够提供一种估算方案，并非直接得到最终的答案；因此决策者还需要进一步验证各种可能的解决方案。

11.2 概率分布及其在模拟中应用

概率分布：主要包含离散型 和 连续型 两种类型。

• 离散型的概率仅能取有限数量的值。

2. 随机变量：是一个能够取到不同数值的量，在一次特定随机试验中可能对应于该试验的各种结果中的一个结果值；其性质可进一步分为离散型与连续型两类。
3. 均匀分布下的抽样序列（uniformly distributed random numbers）是最基本的一类抽样序列。

11.3 模拟的应用示例

医院手术室病人安排和手术问题

制造业中维修力量规模的确定

使企业库存系统的总库存费用最小

排队系统的模拟

排队系统有单渠道模型和多渠道模型。

*单窗口顾客按随机方式到达并接受服务的情况即为单渠道随机排队法所描述的情形。