华南理工大学信号与系统实验报告二
实验三 利用DFT分析连续信号频谱
| 实验日期： | 2024年5月8日星期三 | 评****分： |
|---|
一、实验目的
应用离散傅里叶变换(DFT)，分析模拟信号 x(t)的频谱。深刻理解利用DFT分析模拟信号频谱的原理，分析过程中出现的现象及解决方法。
二、实验原理
连续周期信号相对于离散周期信号，连续非周期信号相对于离散非周期信号，都可以通过时域抽样定理建立相互关系。因此，在离散信号的DFT分析方法基础上，增加时域抽样的步骤，就可以实现连续信号的DFT分析。
三、实验内容
1.利用FFT分析信号 x t _=_e -2t u(t)
的频谱。
(1)确定DFT计算的各参数（抽样间隔，截短长度，频谱分辨率等）；
(2)比较理论值与计算值，分析误差原因，提出改善误差的措施。
解：（1）首先确定DFT的各项参数： f=50Hz ,抽样间隔 _T=__1/_2f =0.01s ;选取T=3s
则截断点数为N=300；采用矩形窗确定频谱抽样点数为512
（2）代码：
运行结果：
误差原因：由于采样间隔不够小故而无法对幅度谱进行更加精确的描述
改善措施：选用更小的采样间隔
2.分析周期信号的 x t = cos 10πt +2 sin (18 πt )
频谱时，如果分析长度不为整周期，利用fft函数计算并绘出其频谱，总结对周期信号进行频谱分析时，如何选取信号的分析长度。
解：代码：
运行结果：
在对周期信号进行分析时信号的分析长度应该至少要大于等于一个完整的周期。
3.假设一实际测得的一段信号的长度为0.4s，其表达式为
x t = cos 2π f 1 t +0.75 cos (2 π f 2 t)
其中 f 1 =100Hz， f 2 =110Hz。当利用FFT近似分析该信号的频谱时，需要对信号进行时域抽样。试确定一合适抽样频率 f asm ，利用DFT分析信号 x(t)的频谱。
若在信号截短时使用Hamming窗，由实验确定能够分辨最小谱峰间隔 D f 和信号长度 T p 的关系。若采用不同参数的Kaiser窗，重新确定能够分辨最小谱峰间隔 D f 和信号长度 T p 的关系。
解:抽样频率 f asm =220Hz
代码：
运行结果：
由运行结果可知：对于Hamming窗和Kaiser窗，改变 T p ， Df 仍然不变。
4.产生一个淹没在噪声中的信号 x(t)，例如由50Hz和120Hz的正弦信号以及一个零均值的随机噪声叠加而成。确定抽样间隔和信号截短长度，分析信号的频谱，指出50Hz和120Hz的正弦成分对应的谱峰位置，详细写出检测信号的步骤和原理。
解：
代码：
运行结果：
由于x(t)是混频相加的函数,可通过傅里叶变换得到各频率上的脉冲信号,即可检测出。本题多了干扰函数,但是干扰函数的幅度较小,不会对在50Hz和120Hz的脉冲信号有太大的影响,所以可以分辨出。
四、实验思考题
1.既然可直接由Fourier变换的定义计算连续信号的傅里叶变换，为何利用DFT分析连续信号的频谱？
解：直接利用Fourier变换的定义计算连续信号的傅里叶变换对于计算机来说是比较复杂的，运算效率低下；通过对信号进行取样然后使用DFT对信号进行分析比较容易实现且运算效率较高。
2.若信号持续时间无限，且无解析表达式，如何利用DFT分析其频谱？
解：可以对该信号进行截断处理之后进行取样，然后对取样后的离散时间序列进行傅里叶变换分析其频谱。
3.在利用DFT分析连续信号频谱时，会出现哪些误差？如何克服或改善这些误差？
解：会产生混叠、栅栏效应以及截断效应。
混叠效应：采样速率小于信号的最高频率时，会在 ω=π
附近发生频谱混叠现象。一般可以通过在采样前进行滤波的方式解决。
栅栏效应：采样中不可能将所有的点都取到，所以采样点之间的频谱是看不见的，就像栅栏一样。对于有限长序列可以在序列尾补零；对于无限长序列可以增大截取长度以及DFT变换区间长度。
截断效应：截断后会使频域拖尾；旁瓣会引起不同频率分量的干扰。可以通过降低分辨率为代价换取谱间干扰的减小。
4.在利用DFT分析连续信号频谱时，如何选择窗函数？
解：如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
5.讨论序列后补零对频谱分析结果的影响。
时域补零相当于频域插值，补0后，虽然FFT点数多了，但是频谱分辨率并没有增加。因为补的是0，而没有信号的信息，因此频谱分辨率并没有增加，只是在频谱中以插值的方式增加了点数。
6.窗函数对频谱分辨率有何影响？如何提高频谱分辨率？
窗函数的选择会直接影响频谱的主瓣宽度。主瓣是频谱图中最高峰的部分，窗函数决定了主瓣的宽度，不同类型的窗函数具有不同的主瓣展宽特性。一般来说，窗函数的主瓣宽度越窄，频谱分辨率越高，但是伴随着较大的频谱泄漏。
为了提高频谱分辨率可以针对信号分析的需求合理地选取窗函数从而提高频谱分辨率。