01 - GRACE数据处理理论介绍回顾

GRACE数据处理理论介绍回顾

好像在每一篇介绍GRACE数据处理的硕博论文中，都能看到类似的理论😀

大地水准面被认为是一个重力等位面，在这种背景下研究地壳物质迁移与重新分布对局部重力场的影响具有重要意义。这种变化反过来会影响GRACE双星系统的运行机制，在此过程中会导致星间距离出现偏差从而获得了观测数据。通过分析GRACE卫星测得的月球重力场球谐系数变化量能够量化地壳水文环境的变化程度（ΔN），其数学表达式如下：

\Delta N(\theta,\lambda) = a\sum^{\infty}_{l=1}\sum^{l}_{m=0}\overline P_{lm}(cos\theta)(\Delta C_{lm}cos(m\lambda) + \Delta S_{lm}sin(m\lambda))

表示地球平均半径的具体数值为6371公里。
其中\theta和\lambda分别代表地心余维与地心经度。
l与m则分别表示球谐系数的级数与角次数。
\Delta C_{lm}和\Delta S_{lm}则分别代表经过规范化的球谐系数。
而\overline{P}_{lm}则对应于勒让德多项式。

由一定体积范围内的物质密度差异（Δρ(r,θ,λ)）造成大地水准面（重力场）的变化。其中，在上述方程的基础上，则可导出物质密度变化与其对应的球谐系数之间的关系式。

\left\{ \begin{aligned} \Delta C_{lm}\\ \Delta S_{lm}\\ \end{aligned} \right\} = \frac{3}{4\pi a\rho_{ave}(2l+1)}\int\Delta\rho(r,\theta,\lambda)\overline P_{lm}(\cos\theta)\times\left(\frac{r}{a}\right)^{l+2} \left\{ \begin{aligned} cos(m\lambda)\\ sin(m\lambda) \end{aligned} \right\}\sin\theta d\theta d\lambda dr
其中\rho_{ave}表示地球平均密度约为5517kg/m³；\Delta\rho(r,\theta,\lambda)代表物质密度的变化量；

假设物质密度的变化主要集中在地球表层，在这些圈层间的质量交换构成了导致该密度变化的主要原因。大气圈、海洋环流、冰川运动以及水体等现象都是影响这一过程的重要组成部分。研究发现，在深度约为10至15公里的范围内的物质交换最为显著；通过积分运算可以得出该深度范围内单位面积的密度变化量为：
Δσ(θ,λ)=∫Δρ(r,θ,λ)dr

因为变化区域相对于地球半径a极为微小，则有({r}/{a})^{l+2}\approx1的关系成立。因此此式即可进一步简化为：

主要影响因素有两个方面：一是地球表面薄层质量的变化情况；二是地表负荷的变化程度。这些因素长期作用于固体地球表面，在计算其变形效应时需加以考虑。具体而言，在数学表达式中我们有如下关系式：

因此总的大地水准面变化为：

\left\{\begin{aligned}\Delta\hat C_{lm},\\Δ̂S_{lm}\end{aligned}\right.\right. 等于 \left.\begin{aligned}\{\Delta C_{lm},\\Δ S_{lm}\}_{{solid}} + \\{\Delta C_{{LM}},\\Δ S_{{LM}}}_{{surf}} 。
\Delta {\hat C}_{{LM}} 和 \Delta {\hat S}_{{LM}} 分别表示地表质量异常进行球谐展开后得到的无量纲规格化的球谐系数。

通过对面密度(\Delta\sigma(\theta,\lambda))进行球谐展开，则能够得出GRACE重力场模型中计算地球表层密度变化的关键公式：
\Delta\sigma(\theta,\lambda) = \frac{a\rho_{ave}}{3} \sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=0}\overline P_{lm}(cos\theta)\frac{2l+1}{1+k_l}(\Delta C_{lm}cos(m\lambda) + \Delta S_{lm}sin(m\lambda))

再经过\Delta H = \Delta\sigma/\rho_w 就将面密度的变化转化为等效水高的变化；其中\rho_w代表水的密度，则可进一步导出最终形式：

\Delta H(\theta,\lambda) = \frac{a\rho_{ave}}{3\rho_w} \sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=0}\overline P_{lm}(cos\theta)\frac{2l+1}{1+k_l}(\Delta C_{lm}cos(m\lambda) + \Delta S_{lm}sin(m\lambda))