【数字信号处理】带通采样定理及其MATLAB仿真
目录
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一、带通采样定理
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- 1.1 内容
- 1.2 公式推导
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二、MATLAB信号仿真
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- 2.1 信号仿真实验
- 2.2 MATLAB代码
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三、总结
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参考
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一、带通采样定理
基于奈奎斯特采样理论，为了确保无失真重建原信号，采样速率 f_{s} 必须至少是信号最高频率 f_{max} 的两倍。然而，当信号的频谱集中在有限带宽 B 内，且 f_{max} 远大于 B （带通信号）时，若仍采用低通采样定理进行处理，将需要极其高昂的采样速率。这不仅会导致信号处理计算量剧增，严重制约实时性；而且，ADC器件的性能限制，使得无法满足相应的采样频率要求。因此，亟需一种适用于带通信号的采样方法，以满足上述采样条件。
1.1 内容
带通采样定理：考虑一个连续的模拟信号 x(t)，其频带限制在频率区间 (f_{L}, f_{H}) 内。根据带通采样定理，当信号的采样频率满足以下条件时：
f_{s} = \frac{2(f_{L} + f_{H})}{2m - 1} = \frac{4f_{0}}{2m - 1} \quad \text{(1-1)}
f_{s} \geq 2(f_{H} - f_{L}) = 2B \quad \text{(1-2)}
其中，f_{0} = \frac{f_{L} + f_{H}}{2} 为带通信号的中心频率，B = f_{H} - f_{L} 为信号的带宽，m = 1, 2, \dots 为满足上述两个条件的正整数。
此时，以采样频率 f_{s} 进行等间隔采样所得的采样值，可以通过不失真地恢复为原始模拟信号。
1.2 公式推导
如上图所示，信号的频谱具有轴对称性，通过采样将信号的频谱搬移至所需频段，为了避免频谱混叠，需满足的条件为：
-f_{L}+(k-1)*f_{s}≤f_{L}
-f_{H}+k*f_{s}≥f_{H}
联合式（1），可得采样频率 f_{s} 的取值范围为：
\frac{2f_{H}}{k}≤f_{s}≤\frac{2f_{L}}{k-1}
其中，k 为正整数，表示频移的次数。
因此，采样频率 f_{s} 存在的条件为 \frac{2f_{H}}{k}≤\frac{2f_{L}}{k-1}，即 k 的最大整数值满足 k≤\left\lfloor \frac{f_{H}}{f_{H}-f_{L}} \right\rfloor，其中 \left\lfloor \cdot \right\rfloor 表示向下取整。
推导最小采样频率
最小采样频率要求达到：f_{s}=\frac{2f_{H}}{k}，其中k取最大值k_{max}，即k=fix(\frac{f_{H}}{f_{H}-f_{L}})=fix(\frac{f_{H}}{B})，这里B表示信号带宽。
二、MATLAB信号仿真
2.1 信号仿真实验
按照64千赫兹的采样率完成对3千赫兹和67千赫兹信号的采样过程，采样后所得信号的频率特征如何？
通过分析，我们发现对67KHz信号进行采样时，采用64KHz的采样频率。在对67KHz信号进行采样时，采用64KHz的采样频率。采样后的信号波形与3KHz的信号波形完全一致。采样后信号的频谱确实发生了搬移，具体计算为67-64=3。
2.2 MATLAB代码
clc;
clear;
close all;
fs = 64000; % 采样频率
f1 = 3000;
f2 = 67000;
N = 100; % 数据长度
t = (0:N-1)/fs;
x1 = sin(2*pi*f1*t);
x2 = sin(2*pi*f2*t);
figure;
subplot(2,1,1);plot(t,x1);title('f1 = 3KHz');
subplot(2,1,2);plot(t,x2);title('f2 = 67KHz');
AI助手三、总结
（1）采样的本质是对信号的频谱进行搬动，其核心要求是采样后信号的频谱不会产生混叠现象。
（2）低通采样定理规定，采样频率 f_{s} 不得低于信号中最高频率 f_{max} 的2倍，而带通采样定理的采样频率则与信号的最高频率无关，而是由信号的带宽决定。
（3）带通采样中采样频率的取值是不连续的分段区间，与低通采样信号的最小采样频率不同。
（4）带通采样中，采样频率的最低可达到信号带宽的2倍，工程实践中通常取信号带宽的4倍或更高。
参考
[1] 王坡. PD雷达信号处理关键算法研究与实现[D].南京信息工程大学,2019.DOI:10.27248/d.cnki.gnjqc.2019.000075.
[2] 工程中的带通采样定理 [学以致用系列课程之数字信号处理教学实践导向课程]
[3] 陈伯孝, 等. 现代雷达系统分析与设计[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2012.9.
[4] 带通采样定理及其公式推导