奈奎斯特采样定理_神奇的采样定理

抽样调查在日常生活中是一个常见的统计方法。
车间里的抽样检查有助于估计产品的质量状况。
通过开展职业规划调研项目等信息收集活动
可以获取部分同学的职业选择倾向数据
从而了解学生的职业发展情况等等。
样本具有一定的代表性作用。

电影在完成拍摄后会存储每帧画面片段。当我们将这些片段以较慢的速度依次播放时，则能辨识出它们是由一个个画面片段构成的。

例如拍摄的照片显示为整体连续画面；然而当将其放大至足够大尺寸时，则可观察到每一个独立的像素单元仍保持非连续状态。

假如有人声称仅凭几个简单的样本就能彻底恢复整体，并指出只有在满足特定条件时样本才是整体的必要且充分条件的话, 你可能会对此表示怀疑.

然而，在通信系统中，还真存在这样的神奇的定理。

一个连续的时间信号，在按照等间距对原始信号进行采样后所得的一些样本点上仅利用这些采样点的值即可精确重构出原始信号的波形特征。

它的牛逼之处在于，完全恢复几个字上。

因为在这个问题中仅提取一些离散点以这些点来重构原始波形的话能够接近到如此程度已经是不容易了

历史悠久的最小二乘法也可称为一种巧妙且高效的拟合方法。然而所得的数据与实际数据之间仍然存在一定的偏差。

那么，定理的具体内容是什么呢？

如果一个带限（即其Fourier变换在超出某一有限频段后均为零）并且其采样密度足够高（相对于该信号中的最高频率而言），那么这些采样值就能精确地表示该 signal 并可从中完全重建该 signal。

这就是采样定理。

那么我们弄懂了,采样定理虽然很有名望但必须满足特定条件才能应用.信号被限制在某个截止频率以下,并且采样的点间距必须小于等于某个临界值以避免混叠现象

尽管最小二乘法无法完全消除与实际数据之间的误差项（error term），但该方法无需预先设定任何条件。

因此，在数学上来说, 我认为采样定理属于最小二乘法的其真子类. 不过, 在满足采样定理条件的前提下.

既然采样定理如此的惊艳，就有必要细细考究它的条件了。

其一，信号要带限。

在通信领域中，在研究信号传输与处理的过程中，“时域分析法”和“频域分析法”犹如车轮般不可或缺，“双翼”的支撑使它们成为不可或缺的技术手段。看似复杂多样的时域信号在其频域特征往往表现为零星的线条甚至单一的一条线的情况下，则可能呈现出简单的特性；反过来也一样。

为了使信号带限，在频域中它仅占据了一个有限的频段，并且在此之外均为零。有人可能会疑问：如果在整个频域范围内都存在信号的话, 会是什么样的结果？很遗憾的是, 并不可能恢复。

从这一点看，隐约能够理解一二了。

用一个不太恰当的例子来说明。频域可被视为一个有限的空间区域。如果这个空间区域内充满着无处不在的空气，则想要将所有的空气都收集起来并搬运到其他地方是不可能实现的。假设有某个占据有限区域物体存在其中，则我们完全可以将其移动到另一个位置而不发生任何变化的情形与带限信号采样与恢复的过程具有相似之处

其二，样本取得足够密。

其中两字就足够了，并且同样具有主观性。如同体积一般而言，则完全是相对的，并且完全取决于比较的对象。相较于病毒而言的人来说，则已经是庞然大物了；然而相较于地球而言则显得微不足道；而相比之下地球上的人类相对于宇宙来说更是微乎其微。

其备注点明了比较的对象，即信号中的最高频率，这样便颇为严谨。

无论其如何复杂的信号，在满足Fourier变换条件且为带限的情况下，在从该信号中抽取足够的样本后，则能够实现对它的完全恢复。

抽取样本的频率，必须是信号频率的两倍以上。

两倍最高频率点，就是奈奎斯特率。

常见提及的奈奎斯特模数转换器即为此处定理的经典实践应用。采用采样保持器对信号进行采样其取样的频率超过最高信号频率的两倍。

那么，根据以上定理，奈奎斯特ADC能够完全恢复信号了？

理想情况下是的，实际则不然。

在采样过程中会出现非线性现象以及热噪声等因素的影响，并由此导致测量结果出现偏差。随后进行数字转换时会产生量化噪声等，在这种情况下无法完美还原原始信号。即使能够获得较高的精度数据，在实际应用中也面临诸多挑战。

这也是为什么自通信兴起后，此领域发展不衰的原因。

从带有雪花斑点的荧幕到数字高清显示，进步是实实在在看得见的。

采样定理，一个神奇的完全恢复信号的方式。