【论文阅读】The Simple Economics of Optimal Auctions
前言
这篇文章讨论了价格歧视垄断的模型，并为该模型找到了解决方案。之后说明了该模型与 Myerson 的论文 Optimal Auction Design 里的最优拍卖模型是等价的。这个模型的转换从另一个角度描述了拍卖模型中的最优策略，将其与一些经济学中的概念联系了起来，从而能够有更直观的理解，也为之后对 Myerson 拍卖的分析找到了更简单的模型。
解决最优拍卖问题的方法
首先介绍一下拍卖模型，以及在证明了该模型与价格歧视垄断模型的等价性后，最优拍卖问题的解决方法。
假设有 n 个买家和一件物品。物品对每个买家的价值 v_i 独立地从概率函数为 F_i 的分布中抽取，其中 F_i(\underline{v}_i)=0,F_i(\overline{v}_i)=1。概率函数是公有信息，但具体的价值是私有信息。物品对卖家而言价值为 0。
使得卖家能够最大化收益的最优的拍卖方案如下：
对于每个买家，令 1-F_i(v)\equiv q 为价值至少为 v 的概率。若把 v 看成价格，q 看成需求，那么 q-v 的函数图像就可以看成是买家的“需求曲线”，即需求随价值的变化函数。
对每条需求曲线，计算其边际收益曲线。其中边际收益指增加一单位产量后增加的收益，计算方法为价格与需求量的乘积对需求量求导。代入需求量为 q，价格 v=F_i^{-1}(1-q)，有
\frac{dqF_i^{-1}(1-q)}{dq}=F_i^{-1}(1-q)-\frac{q}{f_i(F_i^{-1}(1-q))}
把边际收益曲线表示成 v 的函数：
MR_i(v)=v-\frac{1-F_i(v)}{f_i(v)}
采用第二边际收益拍卖：每个买家报价后，卖家计算出每个买家的边际收益（这里假设 MR 单调递增），把物品卖给边际收益最高的买家。向该买家收取最低的价格 p，使得该买家报价为 p 时仍能胜出。具体来说，若所有买家的边际收益均非正，则不出售物品。不妨设买家 1 的边际收益最高。若其他买家的边际收益均非正，则向其收取 MR^{-1}_1(0) 的价格。否则不妨设第二高的边际收益为 M_2，那么向其收取 MR_1^{-1}(M_2) 的价格。
注意到在上述拍卖机制下，价值最高的人未必边际收益最高。同时每个买家的最优策略必然是诚实报价。以及 MR_i^{-1}(0) 可以看作是买家 i 的“保留价值”，即价值超过该值才可能获得物品。
注意到在对称情形下，即所有 F_i 相同，上述拍卖等价于二价拍卖。但在非对称情形下，就可能会出现市场中的所谓“价格歧视”现象，即同一物品向不同的买家收取不同的价格。
拓展到有 k 个相同的物品且每个买家最多获得一件物品的情形：把物品分配给边际收益前 k 大且大于 0 的买家，对买家 i 收取价格为 \max\{MR_i^{-1}(0),MR_i^{-1}(M_{k+1})\}，其中 M_{k+1} 为第 k+1 大的边际收益。
扩展到买家需要付出递增的边际成本来生产物品的情形，即生产第 k 件物品的成本大于成产第 k-1 件物品的成本：将 k 件物品分别卖给边际收益前 k 大的买家，满足第 k 件物品的边际成本小于第 k 大的边际收益，且第 k+1 件物品的边际成本大于第 k+1 大的边际收益。向每个买家收取的价格为第 k 件物品的边际成本和第 k+1 大的边际收益分别对应的边际收益曲线中的值的较大值，即最小的能够使该买家得到物品的报价。
价格歧视垄断和最优拍卖的关系
价格歧视垄断问题
下面首先对第三价格歧视的问题进行建模并分析，之后说明该问题与最优拍卖问题在数学形式上是等价的，即可以相互转换。
考虑一个垄断者在 n 个市场中出售相同的物品，需要为每个市场设置一个价格。每个市场中有若干个买家，每个买家最多买一件物品。设市场 i 中的买家价值在 \underline{v}_i 和 \overline{v}_i 之间，且价值不超过 v 的买家有 F_i(v) 个。归一化使得 F_i(\overline{v}_i)=1。设所有市场的边际收益曲线都是递减的，且垄断者能够以 0 的边际成本生产最多 Q 个物品。其中 Q 是 [\underline{Q},\overline{Q}] 之间的随机变量，概率密度函数为 h(Q)。设垄断者根据真实的 Q 来为每个市场设定价值来最大化其收益。
令 p_i(v,Q) 表示当容量为 Q 时，市场 i 中价值为 v 的买家能够获得一件物品的概率，即垄断者在市场 i 中设置的价格不超过 v。令
\overline{p}_i(v)\equiv \int_{\underline{Q}}^{\overline{Q}}p_i(v,Q)h(Q)dQ
表示该买家获得一件物品的概率。
考虑卖家的收益，将其表示成社会价值（所有获得物品的买家的价值之和）减去消费者剩余（买家的价值与其付的钱之差的和）。注意到社会价值等于
\int_{\underline{Q}}^{\overline{Q}}h(Q)\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}vf_i(v)p_i(v,Q)dvdQ=\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}vf_i(v)\overline{p}_i(v)dv\tag{2}
其中 f_i(v)=F'_i(v) 表示市场 i 中价值为 v 的买家数量。而消费者剩余等于
\int_{\underline{Q}}^{\overline{Q}}h(Q)\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}f_i(v)\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}p_i(x,Q)dxdvdQ=\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}f_i(v)\int_{\underline{v}_i}^v\overline{p}_i(v)dxdv\tag{3}
这样理解：价值为 v 的买家获得物品的概率 \overline{p}_i(v)。如果价值增加 dv，期望增加的消费者剩余就是 \overline{p}_i(v)dv。因此垄断者的期望收益就是
\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}vf_i(v)\overline{p}_i(v)dv-\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}f_i(v)\int_{\underline{v}_i}^v\overline{p}_i(v)dxdv\tag{4}
问题变成最大化 (4) 且满足容量限制：
\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}f_i(v)p_i(v,Q)dv\le Q\quad \forall Q\tag{5}
若在市场 i 设置价格 w，那么对于 v
注意到只需要对每个 Q 分别找到最优解，等价于找下面式子的最大值：
\pi(Q)=\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}vf_i(v)p_i(v,Q)dv-\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}f_i(v)\int_{\underline{v}_i}^vp_i(x,Q)dxdv\tag{4'}
对 (4') 的第二项进行化简：
\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}f_i(v)\int_{\underline{v}_i}^vp_i(x,Q)dxdv=\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}p_i(x,Q)\int_v^{\overline{v}_i}f_i(x)dxdv=\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}[1-F_i(v)]p_i(v,Q)dv
代入 (4') 后得到期望收益等于
ER=\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}\left[v-\frac{1-F_i(v)}{f_i(v)}\right]f_i(v)p_i(v,Q)dv=\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_i}^{\overline{v}_i}MR_i(v)f_i(v)p_i(v,Q)dv\tag{7}
容易看出垄断者的最优策略就是在满足限制的前提下，把物品卖给那些边际收益非负且尽量高的人买家。
最优拍卖问题
下面证明在 Myerson 的论文中讨论的拍卖形式与上述垄断者模型的等价性。首先 F_i(v) 的含义变成了买家 i 的价值不超过 v 的概率，p_i 由 v,Q 的函数变成了 v_1,\cdots,v_n 的函数。注意到 \overline{p}_i(v)=E(p_i(v_1,\cdots,v_{i-1},v,v_{i+1},\cdots,v_n)) 仍然表示买家 i 价值为 v 时获得物品的概率。
令 S_i(v) 表示在某个均衡下，当买家 i 的价值为 v 时其消费者剩余的期望。注意到当 i 的价值是 v+dv 时，通过模仿价值为 v 时的策略，获得的消费者剩余 S_i(v+dv) 至少是 S_i(v)+\overline{p}_i(v)dv。因此
\frac{\partial S_i(v)}{\partial v}=\overline{p}_i(v)\ge 0\tag{8}
表明买家的消费者剩余是随着其价值 v 单调不降的。又因为卖家的收益等于社会价值减去消费者剩余，为了最大化自己的收益，卖家会使 S_i(\underline{v}_i)=0。因此
S_i(v)=0+\int_{\underline{v}_i}^{v}\left[\frac{\partial S_i(x)}{\partial x}\right]dx=\int_{\underline{v}_i}^v\overline{p}_i(x)dx
因此最优拍卖模型和垄断者模型的目标函数是类似的。两个模型的不同之处在于最优拍卖模型中的限制是
\sum_{i=1}^np_i(v_1,\cdots,v_n)\le 1\tag{9}
以及 0\le p_i\le 1 和 \partial p_i/\partial v_i\ge 0。目标函数 (7) 此时变为
\sum_{i=1}^n\int_{\underline{v}_1}^{\overline{v}_1}\cdots\int_{\underline{v}_n}^{\overline{v}_n}MR_i(v_i)f_1(v_1)\cdots f_n(v_n)p_i(v_1,\cdots,v_n)dv_1\cdots dv_n\tag{10}
注意到当 v_1,\cdots,v_n 固定后 f_1(v_1),\cdots,f_n(v_n) 也都固定，那么卖家的最优策略必然是把物品分配给边际收益最大的买家。