【量子计算】量子门

量子门

单量子比特门

非门（NOT gate）

量子比特的非门作用是将｜0>,|1>的状态进行颠倒
\alpha|0>+\beta|1> \Rightarrow \beta|1>+\alpha|0>

量子计算中的非门是线性，这个问题结论并不是非常明显，但是非先行的作用会导致许多的佯谬比如时间旅行、超光速通信、违反热力学第二定律。
由于量子门现行的作用，那么可以用矩阵X 来表示
X= \begin{bmatrix} 0&&1\\ 1&&0 \end{bmatrix}
而量子比特的状态可以写作\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix}.
为了满足量子比特归一化的特点，量子计算门具有酉性，即量子门对应的矩阵U 应该满足U +U=I,其中U +称之为 U的共轭转置（就是对于这个举着的每一个数字先取共轭再转置）
eg.\quad\begin{bmatrix}3+4i&&5\\ 5+i&&7i\end{bmatrix}^+=\begin{bmatrix}3-4i&&5-i\\ 5&&-7i\end{bmatrix}

Z门和Hadamard门

Z 门

Z门矩阵表示为\begin{bmatrix}1&&0\\ 0&&-1\end{bmatrix},在集合上的意义为将量子比特以x轴为对称轴进行翻转，在三维的视角看这件事情，其实不难发现，非门的作用实际上就是绕着y轴旋转180度将量子比特状态为\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix}转化为\begin{bmatrix}\alpha\\ -\beta\end{bmatrix}.

Hadamard门

Hadamrd门是量子计算当中最重要的门之一
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&&1\\ 1&&-1\end{bmatrix}.
由于我门将两个Hadamard门的矩阵进行计算可以发现
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&&1\\ 1&&-1\end{bmatrix}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&&1\\ 1&&-1\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2&&0\\ 0&&-2\end{bmatrix}=\begin {bmatrix}1&&0\\ 0&&-1\end{bmatrix}
刚好可以得到非门对应的矩阵，因此Hadamard门可以视为非门的平方根
Hadamard门在三维的作用下同样可以看成一个旋转作用，其旋转为先绕着y轴旋转90度，然后绕着x轴旋转180度

多量子比特门

类似于在经典计算机中所有的多比特逻辑门都可以采用一组全功能门进行表示（比如与非门、与或门），在量子计算当中所有的多量子门同样有这样一个原型门称之为受控非门（CNOT门）。

CNOT门有两个输入，分别称之为受控量子比特 和目标量子比特 ，真值表如下

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在Nielsen的书上对于CNOT的门的作用给出了==“若控制量子比特为0牛米目标量子比特将保持不变，若控制量子比特为1将目标量子比特反转”的解释，和经典时序电路中的D触发器、组合数字电路中的三态门的作用非常类似。在PKU陈剑豪教授的讲义上我也找到了一段非常有意思的解释“CNOT门是一个mod2门”==，工作位的状态敲好是（控制位+工作位）mod2。者同样也是异或的表达，因此CNOT门的作用可以写成|A,B>\rightarrow|A,A\oplus B>.