[转]谈谈工科学生如何学习数学
许多工科学生尤其是攻读硕士学位的研究生普遍感到自己在数学基础方面存在不足。确实，没有坚实的数学基础会使得学生的科研活动在思路与方法上显得力不从心。具体而言，在研究过程中缺乏对问题本质的敏锐洞察力、深入分析问题本质的能力以及解决复杂问题所需的技巧与方法都会受到严重影响。我们很多硕士研究生和博士研究生在研究论文中往往难以实现创新突破，并且以数学基础为支撑的部分往往显得平淡无奇。因此我们期待通过这场讲座能够帮助大家更好地理解如何提升自己的数学素养并取得科研上的突破。作为电子信息领域的一名研究者我并非专业的数学家但希望通过这次讲座分享一些个人见解以便于让广大工科研究人员能够更好地理解现代科学发展中所必需的基本数学素养。
（一）让兴趣引导我们接近数学
有愿望学习数学，而数学内容常常不那么有趣。确实没有多少人能坚持做那些令人发困的劳作。然而，有人谈到过这样的经验：对数学的兴趣需要发掘、引导和培养。我对此很为认同。有多种方法可能增加你对数学的兴趣，当然没有一种办法可以减轻你需要付出的努力。
多做数学题是提高数学能力和兴趣的有效方法。不少成功的研究者都介绍过这个经验。如果你正在学习数学，如果你发现一道道看似困难的问题能逐渐被你解答，就表明你已经进入了良好状态。这是一个好的开端，会有克服者的喜悦，会不断发现你自己的数学才能，有继续进展的兴趣和劲头。如果你已经进入了研究工作，如果你不时抽出一点时间做一点数学趣题，对保持和提高你的数学思维活力一定有所帮助。
不少学生提出过这样的问题：是不是必须先准备了深入宽广的数学基础才适合于进入研究工作？确实，我不知道有哪个非数学专业的研究者是那样做的。而且认为那不是一个切合实际的方法。不过，准备在工科专业领域内做深入研究的学生们应当花一点时间读一点最基础的数学。除了工科大学已经教过的高等数学等课程外，可以读一点实分析和近世代数的入门知识。
掌握一些集合、测度、连续统、Lebesgue积分等基本概念的同时
为了结合专业研究的需求来深入学习数学理论的方法已经被许多研究者所认可。研究表明，在深入思考专业研究题目时可能会激发对数学的高度兴趣甚至产生创新性成果。爱因斯坦的研究经历广为人所知晓，在他早期试图研究广义相对论阶段并没有深厚的数学基础。他的同学格罗斯曼帮助他了解了黎曼几何和张量分析工具。爱因斯坦在深入研究中发现这种数学工具似乎是专为开发广义相对论而设计的。他的工作不仅使广义相对论发展到成熟阶段而且促进了黎曼几何的巨大进步
不仅在物理等基础研究领域能够提出挑战性问题和发现数学的应用，在应用科学领域内也有着无处不在的挑战性问题。当你面对实际问题时往往会感到现有数学工具不够用。尽管现代数学已有大量成果但物理世界的复杂性和多样性使得当今数学能够描述和处理的问题仍仅占很小一部分而工科领域的研究者所掌握的数学工具可能更加有限。
从自己投身于工程学科的研究中提炼出数学问题是我对工科专业的学生群体提出的一个建设性建议。除了一味地追逐那些媒体炒作的‘璀璨明珠’外，请注意除非你具备足够的准备条件并表现出浓厚的兴趣，在现有的知识储备上进行深入探索才是更为理智的选择。只有在扎实掌握现有知识体系的前提下才能更好地提炼出具有理论价值与应用前景的数学问题。而发现这类问题的方法除了灵感之外最靠谱的方式则是专注于专业领域的工作态度、保持勤奋并采取开放式的思维模式同时又不失对于数学原理的基本理解与运用能力
工科学生可以发挥自己在形象思维方面的长处去理解数学。如果这样，你或许会发现数学中的若干知识不仅有趣，而且有用。这里说一说几个常见的例子。
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正交性。这是布满了数学和物理书籍的基本知识。为什么正交函数会如此广泛地受到重视？从数学的角度看到的是基，用它来描述函数空间中任何一个元具有唯一性和可逆性；可以联系映射的定义域和值域，从而研究解乃至求得解。从应用的角度看到的是一种基本工具或方法，可以使得例如函数变换、函数逼近、数据压缩、数学物理问题的求解等问题变得容易处理和易于理解。与正交性相联系的自然是非正交性。非正交性也很有用。例如用非正交基（标架）表示信号可以灵活地具有某些特别的性质。这种表示带有一定冗余，但有一定抗损能力。
描述空间正交性最基本的数学原理是什么？合理的回答应该是Cauchy－Riemann方程。由此才有保角变换、Laplace方程、调和函数、Poisson方程等等。空间正交性对数学物理问题的研究者太有用了。有了这个直观概念，就容易理解和猜测例如流体力学、引力场、电磁场等等领域中边值问题的解的形式。例如波导中特别是在不规则波导中电磁波存在的模式、模式变化这些问题可以根据正交性来猜测和解释，因为电场分量必定垂直于波导壁，而磁场分量必须平行于波导壁。
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无源性。讨论无源性的数学家不多，但对于物理和工程，无源性非常重要。空间无源性隐含在解析函数的Cauchy积分定理中。事实上，例如用有限元方法处理大型力学计算问题时人们观察到，求解方程的矩阵一般是主对角优势的，这和求解一个无源电阻网络时观察到的现象相一致。其内因就是无源性，它保证了解的数值稳定性和迭代求解方法的快速收敛。在电路理论中证实，一类特别的解析函数称为正实函数作为驱动阻抗，是无源网络可综合的充分必要条件。进而，无源而且无损的网络在电子工程设计上非常有用。因为例如无源无损滤波器的特性随元件参数变化的敏感度底，适合于工业生产。现代数字滤波器包括通信滤波器组的理论和设计都要应用和发展这些概念。
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最大熵和最小熵。熵是热物理学中最先引入的概念，用它表示能量在系统中分布的均匀程度，同时也表示热和温度的关系。一个系统达到了热平衡，或达到了能量的均匀分布，则系统的熵达到最大。在通信领域中熵被用来作为信息的度量，表示平均信息量。如果熵最大，表明信源的不确定性最大，被传送的信号寄载的信息自然就最多。在信息处理、信号估计，包括图像处理应用中，熵的概念被借用来表示对解的先验限制：最大熵限制表示解在数值分布上应该有一定的均匀性或平滑性；而最小熵限制表示解应该很不平滑，如同若干孤立点那样。这两种情况在应用中都可能出现。例如在若干反演问题中（如信号重建、复原、去噪、估计等），为了抑制噪声，可以将最大熵作为对解的附加限制。在另外的情况下，例如希望的解是点状的星云，或者是如同若干孤立噪声那样的岩层反射序列，或者是只含一个非零元的理想信道，对这些情况就可以附加最小熵限制。注意我们这里使用的“概念被借用”说法。其实这是研究中的常用方法。如果你的视野广些，积累多些，就有可借用的机会。
如果你能认真对待每一个问题，在学习过程中常常会遇到一些看似复杂但实际上非常有趣的问题。这些题目不仅存在于纯数学领域，在物理和工程领域也能找到应用背景。这些学科都涉及丰富的高等数学内容。然而，在工科教育中，并非所有人都会对复杂的符号运算感到兴趣盎然——有些人可能会觉得枯燥乏味甚至厌烦。这种学习心态往往会阻碍知识的获取与积累。
如果你愿意花费一些时间去深入理解一些关键的数学概念, 你会发现不仅在知识深度上会有较大的差别, 而且这将带来乐趣甚至新的创新性认识. 不妨举一个大家都熟悉的例子. 卷积运算可以用公式表示为 y(t)=\int_{a}^{b} x(t-\tau)h(\tau)d\tau. 教科书中的解释通常是这样的: 在每一个时间点t上, 先将x(\tau)反转成x(-\tau), 再平移至x(t-\tau)的位置, 然后与h(\tau)相乘并求积分, 就得到卷积的结果. 这个解释是正确的, 并且由于x(\tau)必须被反转这一事实, 所以卷积过程被称为"卷积". 但是问题来了: 这种解释是否符合物理现实呢? 或者说在一个物理意义上的卷积过程中, 是否要求某个物理量必须在时域或空域内反转? 显然这并不是事实! 现在的问题出在哪里呢? 问题就出在上述教科书式的解释中. 另一种更传统的解释就没有这样的困扰: 在t时刻将x(\tau)平移至t-\tau的位置得到x(t-\tau), 然后乘以\tau处的函数值h(\tau), 最后遍历所有可能的\tau并累加起来就得到了卷积的结果. 后者其实就是叠加原理的核心思想. 按照这种原理进行解释的话, 我们就可以构造出能够用硬件实现卷积运算的硬件装置——即所谓的卷积器. "翻转"这一概念实际上带来了负面影响. 比如说考虑两个形状不同的多边形图形（不妨纸上画出任意三角形和四边形），它们进行卷积运算后的结果会是什么样的形状？你可以通过上述两种不同的角度来从理论上推导结果是什么样的形状. 你会发现基于"翻转"的概念会导致思考变得复杂而痛苦; 而采用第二种方法则可以让问题变得直观易懂. 别小看这个问题它却与许多深刻的基础数学理论密切相关——代数几何、多项式代数以及分布函数理论等
在各个应用场景中，对同一数学概念或表达式的理解可能会有所差异，在这种情况下它们可能被赋予不同的意义或应用方式。这种差异性恰恰展现了数学的独特魅力——这种现象并非偶然而是其本质特征之一。深入理解这些抽象概念需要持之以恒的努力——为了真正掌握这些知识，在学习过程中不妨多花些心思去深入研究每一个细节
（二）努力寻求数学概念的浅近解释
工科学生具有形象思维的优势，在抽象思维方面往往表现较弱。事实上，在这一特性上表现出差异的学生普遍较多。好的教育工作者会注意到这一点，并采取相应措施加以引导和发展这一特点。例如前苏联著名数学家柯尔莫哥罗夫就强调指出：在讲解数学概念时应尽量运用其他科学领域的实例来激发学生的兴趣并提高其理解力，并主张通过清晰明了的解释和广博的知识储备来引导学生的思维活动。而他的另一位学生、著名数学家Arnold则进一步强调指出：在教学中运用物理及工程实例将抽象的数学概念具象化是十分有效的策略，并反对将数学教育 purely abstract without physical intuition. 实际上，在教学中利用物理及工程实例将抽象的数学概念具象化是十分有效的策略.
诸多学者普遍认可的事实是：高深理论的基本概念本质上并不复杂。然而，在众多专著中往往直接从高深理论入手，在缺乏基础背景介绍的情况下，则导致读者难以理解这一知识点。因此，在学习过程中工科学生若要深入掌握数学理论，则必须寻求一种具体化或形象化的理解途径，并且最好能结合物理或工程学的具体案例进行说明。如果缺乏老师的指导帮助，则可能需要付出更多努力以完成学习目标。对于这部分内容的研究与探索可参考百科全书类资源（如Wikipedia），这类工具通常可以帮助你尽可能浅近地理解基本知识体系；此外还可以查阅多种教材和相关文章来获取不同角度的理解与解释，在寻找完全匹配的内容时可能会遇到困难，则不妨暂时放下这个问题不必过于纠结。在工程学科领域中积累研究经验通常会激发新的思考与灵感，并且这种积累也会为你提供一些启发性的问题思考方向
工科学生必须增强自信。
某些数学概念的本质神秘性只是我们感知的结果。
然而抽象与严格的特性构成了数学科学的核心特质。
尽管如此，
我们可以将数学概念与物理或几何直观联系起来进行阐述。
如有不当之处，请各位专家给予批评指正。
在广泛应用于信息处理领域中, 我们可将概率分布模型p(y|x;θ)的整体视为参数空间θ中的一个Riemann流形. 当参数θ发生微小变化至θ+Δθ时, 模型的概率分布密度函数p(y|x;θ)与p(y|x;θ+Δθ)之间的Kullback-Leibler散度即为(ΔθTGΔθ), 其中G代表Fisher信息矩阵. 由此可知, G正是这种Riemann流形上的Riemann度量张量. 利用这些概念, 可以建立一种新型的概率模型参数估计方法, 其应用包括但不限于盲源分离技术、盲信号识别问题以及神经网络的学习算法等. 基于流形具有的直观几何意义, 这类数学理论与方法亦被称为信息几何学
这几个数学概念仅作为引子被提及。对于这类讲座而言，过于基础的知识显然不适合在此展开。我们希望工程类学生能够摆脱对数学的高度神秘化认知。柯尔摩戈洛夫曾指出：泛函分析方法应当被当作解决各类问题的日常工具来应用。
由于目前我们难以完全做到这一点, 只要记得利用它, 你将会发现, 你的学术水平会有明显提升. 这些评价可能会有不同看法. 同样地, 掌握物理与工程需求对数学研究者是有益处的. 其实, 将复杂的数学概念用简单明了的语言表达出来, 这就需要深入掌握物理与工程的知识背景. 这一点对于扩展你的专业知识一定有所帮助.
（三）应用需求是数学产生的源泉和发展的源动力
我们应着重激发工科学生学习数学的兴趣，并增强他们深入研究的信心。我国媒体对"数学明珠"的过度宣传对其影响是多方面的：一方面确实促进了部分学生的兴趣提升；另一方面也导致了一些学生误以为工程工作仅限于技术应用层面而无法从事理论研究；一些研究生在面对科研选题时往往感到迷茫困难，这种情况在我国科研机构和高校并不鲜见。造成这种现象的原因是多层次多维度的：从文化观念层面来看"重理轻工"的传统思想影响了一部分工科人才的成长；特别是在当前社会环境下过分强调理论研究忽视了工程实践的重要性这一问题较为突出
在工程学科领域是否难以提出具有创新性的研究课题呢？近现代科技发展史已明确指出：许多重大突破都是理论与实践相结合的结果。例如断层扫描技术的发展基于前期理论基础的完善；晶体管器件的发明既依赖于物理原理又涉及精密工艺实现；当今科技创新的主要支撑点在于技术创新即方法、工艺、条件及工具上的创新突破。对于工科研究人员而言无需过分自责因为所处的应用环境恰恰是最具价值的研究资源只要注意加强理论功底积累（包括理论知识与实践经验）你必定能够不断提升发现问题敏锐度以及透过现象抓住本质的能力最终有望发现值得深入探索的研究方向
数学是从应用需求产生的。这句话讲的不只是历史，还是现实。
一个例子是泛函分析，它的出现得益于运动变分问题（J.阿达马）和力学积分方程（阿贝尔、Fredholm）的研究。推动这门数学全面进步的有J.von Neumann的工作，是他首先将Hilbert谱理论和量子力学完美结合起来。Sobolev将泛函分析方法用于数学物理方程的研究和求解。在Sobolev空间中引入弱导数和广义解这些概念，为大型求解计算问题的分段近似处理提供了理论基础。与此密切关联的有限元方法可以说是数学和工程结合的典范。其应用领域包括结构力学、流体力学、空气动力学、计算电磁学、气象科学等各个学科。多领域的应用需求又反过来推动了计算数学理论和方法的完善和发展，这不仅仅限于有限元方法。
近20～30年间在信息技术领域中出现了几次重要的研究热潮。这些热潮活跃于信息技术领域，但吸引了大量的数学研究者共同参与。典型的有：关于人工神经网络的研究；关于小波理论的研究；关于高阶统计的研究；关于Markov随机场的研究；关于偏微分方程法用于图像处理的研究等等。当这些热潮出现的时候，不仅仅是信息技术类刊物，还包括数学刊物都大量报道研究进展。人们可以从美国应用数学协会（Society for Industrial and Applied Mathematics，SIAM）出版的十几种刊物了解到相关的动态。数学家们需要应用背景的支持，需要从应用需求中寻找灵感。而大量研究结果表明，他们这样作是成功的。从事应用包括工程的研究者应该意识到自己所处的有利环境，问题是你需要提高对科学问题的敏感度。
为了帮助工科学生掌握提出与解决工程问题的方法，在此不妨列举几个相关案例作为引子。这些内容虽未达到重大的创新成果，但可能对解决一些实际问题具有参考价值。学生们或许可以从中获得一些启发性的思路。
例子1。 多项式集合的最大公因式问题。
这是一个长期以来备受关注的经典课题, 但长期未能有效解决. 数学家们提出了多种解决方案, 如Euclid辗转除法和结式法等, 然而这些方法均未达到理想效果.
如在MATLAB中存在用于计算最大公约数（GCD）的脚本文件（m－文件），但通常不具备实际应用价值。一个显著的问题在于：数学家所提出的方案中规定了多项式的系数不允许有任何微小的误差。然而，在工程实践中我们面临这样的需求：若两个多项式具有精确数值意义上的最大公约数，则应能精确地求出其最大公约数；若两个多项式的系数存在数值上的误差，则应提供一个合理的近似解的最大公约数估计值。为了满足一维信号反卷积的需求而产生的一个问题促使我们深入研究这一经典问题。由于多项式相乘的结果等同于其系数数组之间的卷积运算，而离散卷积运算通常表现为矩阵与向量之间的乘法过程。基于这些工程领域熟悉的技术手段将代数运算转化为矩阵代数操作将立即导出最大公约数的阶次与其相关联矩阵秩之间的关系从而能够推断出该多项式的阶数。随后通过求解确定性代数方程或采用最小二乘法原理即可确定最大公约多項式这一新方案不仅能够有效地处理高达500阶及以上的多項式问题而且对于多項式係數的小波動也不具高度敏感性因此可被应用于工程实践
以上是我们从工程技术研究中获得的一部分结果。认识到物理与工程学科中的研究有助于我们从多个角度与思路来思考问题，并拓展了数学问题求解与应用的方法。
（四）几句忠告
现代科技发展已经将科技、经济、国力联系在一起。任何一个专业门类都有成千上万的人参与。重大科技创新的背后都有许多前人的基础性工作。有志的青年科技工作者和研究生需要不断积累知识，拓宽知识领域，树立团队工作观念和合作精神，同时勤于独立思考。在科学研究中特别忌讳盲从，包括盲从“权威”、盲从大流。积累知识和勤于思考应该说是科技工作者的基本功，这需要坚持。特别是刚毕业的硕士生、博士生，能够在2、3年后成为世界知名科学家当然再好不过，只是这样的成功者太少。对每个研究者，只要坚持了积累知识和勤于思考的基本功，总会有回报的。
如何选择科研方向和研究题目是青年科技工作者常常感到困惑的问题。从手头的项目作深作精开始，或许你会发现，你现在正处于手头项目的优势环境中，而你获得的任何实际进步可能都包含着很有意义的创新。当然另一方面，聪明的研究者决不会在小问题上钻牛角尖，而会时时关注科技发展的全景，时时发现自己能够开拓的新路子。同时需注意，基础理论研究是重要的，而基础方法、条件和工具的研究同样重要。
如果你刚刚进入研究，不妨拟定一个自己的五年计划和目标，包括数学、理论的扩充和实际技能的学习两个方面。
本次讲座仅涉及数学学习的方式。希望能够避免产生误导。充分利用实践机会来掌握并提升实际技能。
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