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多体动力学仿真软件：MATLAB_Simulink_（3）.多体系统建模方法

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多体系统建模方法

在多体动力学仿真中，多体系统建模是至关重要的一步。合理的建模方法不仅能够准确描述系统的运动特性，还能提高仿真的效率和精度。本节将详细介绍多体系统建模的基本方法，并通过具体例子展示如何在MATLAB/Simulink中实现这些方法。

1. 多体系统的定义

多体系统是由多个刚体和/或柔体通过约束和连接组成的一个复杂系统。每个刚体或柔体都有自己的运动学和动力学特性，系统整体的运动可以通过求解这些特性的方程来描述。多体系统广泛应用于机械、航空航天、汽车和生物力学等领域。
在这里插入图片描述

1.1 刚体与柔体

刚体 ：刚体是理想化的物体，其内部各点之间的相对位置保持不变，即不发生变形。刚体的运动可以通过平移和旋转来描述。

柔体 ：柔体是可以发生变形的物体，其运动不仅包括平移和旋转，还包括内部的变形。柔体的建模通常更加复杂，需要考虑材料特性和内部结构。

1.2 约束与连接

约束 ：约束是指限制刚体或柔体运动的条件。常见的约束包括固定约束、转动约束和滑动约束等。

连接 ：连接是指刚体或柔体之间的相互作用。常见的连接包括关节、弹簧和阻尼器等。

2. 建模方法

2.1 拉格朗日方程

拉格朗日方程是多体系统建模中常用的数学工具，它通过系统的广义坐标和广义速度来描述系统的运动。拉格朗日方程的表达式为：

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i

其中：

L 是系统的拉格朗日函数，定义为系统的动能 T 减去势能 V：L = T - V

q_i 是广义坐标

\dot{q}_i 是广义速度

Q_i 是广义力

2.1.1 拉格朗日方程的应用

假设我们有一个简单的双摆系统，其中两个摆杆通过关节连接。我们可以使用拉格朗日方程来建模这个系统。

复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m1 = 1; % 摆杆1的质量
    
    m2 = 1; % 摆杆2的质量
    
    l1 = 1; % 摆杆1的长度
    
    l2 = 1; % 摆杆2的长度
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 定义广义坐标和广义速度
    
    syms theta1(t) theta2(t) dtheta1(t) dtheta2(t)
    
    
    
    % 计算动能
    
    T1 = 0.5 * m1 * (l1 * dtheta1)^2;
    
    T2 = 0.5 * m2 * (l1 * dtheta1 + l2 * (dtheta1 + dtheta2))^2;
    
    T = T1 + T2;
    
    
    
    % 计算势能
    
    V1 = -m1 * g * l1 * cos(theta1);
    
    V2 = -m2 * g * (l1 * cos(theta1) + l2 * cos(theta2));
    
    V = V1 + V2;
    
    
    
    % 计算拉格朗日函数
    
    L = T - V;
    
    
    
    % 计算拉格朗日方程
    
    eq1 = diff(diff(L, dtheta1), t) - diff(L, theta1);
    
    eq2 = diff(diff(L, dtheta2), t) - diff(L, theta2);
    
    
    
    % 将方程转换为标准形式
    
    eq1 = simplify(eq1);
    
    eq2 = simplify(eq2);
    
    
    
    % 显示方程
    
    disp('拉格朗日方程1:');
    
    disp(eq1);
    
    disp('拉格朗日方程2:');
    
    disp(eq2);

2.2 牛顿-欧拉方程

牛顿-欧拉方程是另一种常用的多体系统建模方法，它直接从牛顿第二定律出发，通过力和力矩的平衡来描述系统的运动。牛顿-欧拉方程的表达式为：

\sum F = m \cdot a

\sum M = I \cdot \alpha + \omega \times I \cdot \omega

其中：

F 是作用在刚体上的力

m 是刚体的质量

a 是刚体的加速度

M 是作用在刚体上的力矩

I 是刚体的转动惯量

\alpha 是刚体的角加速度

\omega 是刚体的角速度

2.2.1 牛顿-欧拉方程的应用

假设我们有一个简单的两轮小车系统，其中车轮和车身通过关节连接。我们可以使用牛顿-欧拉方程来建模这个系统。

复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m = 10; % 车身质量
    
    r = 0.5; % 车轮半径
    
    Iw = 1; % 车轮转动惯量
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 定义广义坐标和广义速度
    
    syms x(t) y(t) theta(t) omega(t) v(t) a(t)
    
    
    
    % 计算车身的平动加速度
    
    F = m * a;
    
    
    
    % 计算车轮的转动加速度
    
    M = Iw * diff(omega, t);
    
    
    
    % 定义外部力和力矩
    
    F_ext = 10; % 外部水平力
    
    M_ext = 5; % 外部力矩
    
    
    
    % 建立方程
    
    eq1 = F - F_ext == 0;
    
    eq2 = M - M_ext == 0;
    
    
    
    % 将方程转换为标准形式
    
    eq1 = simplify(eq1);
    
    eq2 = simplify(eq2);
    
    
    
    % 显示方程
    
    disp('牛顿-欧拉方程1:');
    
    disp(eq1);
    
    disp('牛顿-欧拉方程2:');
    
    disp(eq2);

2.3 基于Simulink的多体系统建模

Simulink提供了丰富的多体系统建模工具，如Simscape Multibody，使得多体系统的建模更加直观和高效。以下是一个基于Simulink的多体系统建模示例。

2.3.1 建立简单的双摆系统

打开Simulink并创建一个新的模型。

从Simscape Multibody库中添加所需的块，如Rigid Body、Joint、Force等。

连接这些块以构建双摆系统。

复制代码 
    % 打开Simulink模型
    
    model = 'DoublePendulum';
    
    open_system(model);
    
    
    
    % 添加刚体
    
    rigidBody1 = add_block('simscape/Multibody/Rigid Body', [model '/RigidBody1']);
    
    rigidBody2 = add_block('simscape/Multibody/Rigid Body', [model '/RigidBody2']);
    
    
    
    % 添加关节
    
    joint1 = add_block('simscape/Multibody/Joint/Revolute Joint', [model '/Joint1']);
    
    joint2 = add_block('simscape/Multibody/Joint/Revolute Joint', [model '/Joint2']);
    
    
    
    % 添加力
    
    force1 = add_block('simscape/Multibody/Forces/Motion-Dependent Force', [model '/Force1']);
    
    
    
    % 连接刚体和关节
    
    connect([rigidBody1, joint1, rigidBody2, joint2]);
    
    
    
    % 设置刚体参数
    
    set_param([model '/RigidBody1'], 'Mass', '1');
    
    set_param([model '/RigidBody1'], 'Inertia', '[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]');
    
    set_param([model '/RigidBody2'], 'Mass', '1');
    
    set_param([model '/RigidBody2'], 'Inertia', '[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]');
    
    
    
    % 设置关节参数
    
    set_param([model '/Joint1'], 'State Target for Start of Simulation', 'Specify Position Target');
    
    set_param([model '/Joint1'], 'Position Target', '0');
    
    set_param([model '/Joint2'], 'State Target for Start of Simulation', 'Specify Position Target');
    
    set_param([model '/Joint2'], 'Position Target', '0');
    
    
    
    % 设置力参数
    
    set_param([model '/Force1'], 'Force', '10');
    
    
    
    % 运行仿真
    
    sim(model);

2.4 基于MATLAB的多体系统建模

MATLAB提供了强大的数值计算和符号计算功能，可以用于多体系统的建模和分析。以下是一个基于MATLAB的多体系统建模示例。

2.4.1 建立简单的双摆系统

定义系统的参数。

使用符号计算工具箱求解系统的运动方程。

使用数值计算工具箱进行仿真。

复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m1 = 1; % 摆杆1的质量
    
    m2 = 1; % 摆杆2的质量
    
    l1 = 1; % 摆杆1的长度
    
    l2 = 1; % 摆杆2的长度
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 定义广义坐标和广义速度
    
    syms theta1(t) theta2(t) dtheta1(t) dtheta2(t)
    
    
    
    % 计算动能
    
    T1 = 0.5 * m1 * (l1 * dtheta1)^2;
    
    T2 = 0.5 * m2 * (l1 * dtheta1 + l2 * (dtheta1 + dtheta2))^2;
    
    T = T1 + T2;
    
    
    
    % 计算势能
    
    V1 = -m1 * g * l1 * cos(theta1);
    
    V2 = -m2 * g * (l1 * cos(theta1) + l2 * cos(theta2));
    
    V = V1 + V2;
    
    
    
    % 计算拉格朗日函数
    
    L = T - V;
    
    
    
    % 计算拉格朗日方程
    
    eq1 = diff(diff(L, dtheta1), t) - diff(L, theta1);
    
    eq2 = diff(diff(L, dtheta2), t) - diff(L, theta2);
    
    
    
    % 将方程转换为标准形式
    
    eq1 = simplify(eq1);
    
    eq2 = simplify(eq2);
    
    
    
    % 显示方程
    
    disp('拉格朗日方程1:');
    
    disp(eq1);
    
    disp('拉格朗日方程2:');
    
    disp(eq2);
    
    
    
    % 转换为数值方程
    
    sys_eq = [eq1; eq2];
    
    sys_eq = [sys_eq; dtheta1 - diff(theta1, t); dtheta2 - diff(theta2, t)];
    
    
    
    % 定义初始条件
    
    theta1_0 = 0.1; % 初始角度1
    
    theta2_0 = 0.2; % 初始角度2
    
    dtheta1_0 = 0; % 初始角速度1
    
    dtheta2_0 = 0; % 初始角速度2
    
    
    
    % 转换为ODE形式
    
    ode_eq = odeToVectorField(sys_eq);
    
    ode_func = matlabFunction(ode_eq, 'Vars', {'t', 'Y'});
    
    
    
    % 定义时间范围
    
    tspan = [0 10];
    
    
    
    % 定义初始条件
    
    y0 = [theta1_0; theta2_0; dtheta1_0; dtheta2_0];
    
    
    
    % 求解ODE
    
    [t, y] = ode45(ode_func, tspan, y0);
    
    
    
    % 绘制结果
    
    figure;
    
    plot(t, y(:, 1), 'r', t, y(:, 2), 'b');
    
    xlabel('时间 (s)');
    
    ylabel('角度 (rad)');
    
    legend('theta1', 'theta2');
    
    grid on;

2.5 多体系统的约束处理

在多体系统中，约束的处理是非常重要的。约束可以确保系统各部分之间的相对位置和运动关系，避免系统出现不切实际的运动。以下是一个处理约束的示例。

2.5.1 处理固定约束

假设我们有一个简单的固定约束系统，其中刚体1固定在原点，刚体2通过关节连接到刚体1。

复制代码 
    % 建立模型
    
    model = 'FixedConstraint';
    
    open_system(model);
    
    
    
    % 添加刚体
    
    rigidBody1 = add_block('simscape/Multibody/Rigid Body', [model '/RigidBody1']);
    
    rigidBody2 = add_block('simscape/Multibody/Rigid Body', [model '/RigidBody2']);
    
    
    
    % 添加关节
    
    joint1 = add_block('simscape/Multibody/Joint/Revolute Joint', [model '/Joint1']);
    
    
    
    % 添加固定约束
    
    fixedConstraint = add_block('simscape/Multibody/Constraints/Fixed Constraint', [model '/FixedConstraint']);
    
    
    
    % 连接刚体和关节
    
    connect([rigidBody1, fixedConstraint, joint1, rigidBody2]);
    
    
    
    % 设置刚体参数
    
    set_param([model '/RigidBody1'], 'Mass', '1');
    
    set_param([model '/RigidBody1'], 'Inertia', '[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]');
    
    set_param([model '/RigidBody2'], 'Mass', '1');
    
    set_param([model '/RigidBody2'], 'Inertia', '[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]');
    
    
    
    % 设置关节参数
    
    set_param([model '/Joint1'], 'State Target for Start of Simulation', 'Specify Position Target');
    
    set_param([model '/Joint1'], 'Position Target', '0');
    
    
    
    % 设置固定约束参数
    
    set_param([model '/FixedConstraint'], 'Connect to World Frame', 'on');
    
    
    
    % 运行仿真
    
    sim(model);

2.6 多体系统的动力学分析

多体系统的动力学分析是仿真中的一个重要环节，通过分析系统的动力学特性，可以深入了解系统的运动行为。以下是一个动力学分析的示例。

2.6.1 分析双摆系统的动力学特性

定义系统的参数。

使用符号计算工具箱求解系统的运动方程。

进行动力学分析，如计算系统的动能和势能。

复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m1 = 1; % 摆杆1的质量
    
    m2 = 1; % 摆杆2的质量
    
    l1 = 1; % 摆杆1的长度
    
    l2 = 1; % 摆杆2的长度
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 定义广义坐标和广义速度
    
    syms theta1(t) theta2(t) dtheta1(t) dtheta2(t)
    
    
    
    % 计算动能
    
    T1 = 0.5 * m1 * (l1 * dtheta1)^2;
    
    T2 = 0.5 * m2 * (l1 * dtheta1 + l2 * (dtheta1 + dtheta2))^2;
    
    T = T1 + T2;
    
    
    
    % 计算势能
    
    V1 = -m1 * g * l1 * cos(theta1);
    
    V2 = -m2 * g * (l1 * cos(theta1) + l2 * cos(theta2));
    
    V = V1 + V2;
    
    
    
    % 计算拉格朗日函数
    
    L = T - V;
    
    
    
    % 计算拉格朗日方程
    
    eq1 = diff(diff(L, dtheta1), t) - diff(L, theta1);
    
    eq2 = diff(diff(L, dtheta2), t) - diff(L, theta2);
    
    
    
    % 将方程转换为标准形式
    
    eq1 = simplify(eq1);
    
    eq2 = simplify(eq2);
    
    
    
    % 显示方程
    
    disp('拉格朗日方程1:');
    
    disp(eq1);
    
    disp('拉格朗日方程2:');
    
    disp(eq2);
    
    
    
    % 转换为数值方程
    
    sys_eq = [eq1; eq2];
    
    sys_eq = [sys_eq; dtheta1 - diff(theta1, t); dtheta2 - diff(theta2, t)];
    
    
    
    % 定义初始条件
    
    theta1_0 = 0.1; % 初始角度1
    
    theta2_0 = 0.2; % 初始角度2
    
    dtheta1_0 = 0; % 初始角速度1
    
    dtheta2_0 = 0; % 初始角速度2
    
    
    
    % 转换为ODE形式
    
    ode_eq = odeToVectorField(sys_eq);
    
    ode_func = matlabFunction(ode_eq, 'Vars', {'t', 'Y'});
    
    
    
    % 定义时间范围
    
    tspan = [0 10];
    
    
    
    % 定义初始条件
    
    y0 = [theta1_0; theta2_0; dtheta1_0; dtheta2_0];
    
    
    
    % 求解ODE
    
    [t, y] = ode45(ode_func, tspan, y0);
    
    
    
    % 计算动能和势能
    
    T_values = arrayfun(@(t, y) 0.5 * m1 * (l1 * y(3))^2 + 0.5 * m2 * (l1 * y(3) + l2 * (y(3) + y(4)))^2, t, y);
    
    V_values = arrayfun(@(t, y) -m1 * g * l1 * cos(y(1)) - m2 * g * (l1 * cos(y(1)) + l2 * cos(y(2))), t, y);
    
    
    
    % 绘制动能和势能
    
    figure;
    
    plot(t, T_values, 'r', t, V_values, 'b');
    
    xlabel('时间 (s)');
    
    ylabel('能量 (J)');
    
    legend('动能', '势能');
    
    grid on;

2.7 多体系统的控制

在多体系统中，控制是非常重要的环节。通过控制系统的运动，可以实现特定的目标，如稳定、跟踪等。以下是一个控制系统的示例。

2.7.1 基于PID控制的双摆系统

假设我们有一个简单的双摆系统，希望通过PID控制器来稳定摆杆的垂直位置。我们可以使用MATLAB/Simulink来实现这一控制目标。

定义系统的参数 ：

摆杆1的质量 m1

摆杆2的质量 m2

摆杆1的长度 l1

摆杆2的长度 l2

重力加速度 g

建立系统模型 ：

使用Simscape Multibody库中的块来构建双摆系统。

添加PID控制器来控制摆杆的运动。

仿真和分析 ：

运行仿真，观察摆杆的运动行为。

分析控制效果，调整PID参数以优化控制性能。

复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m1 = 1; % 摆杆1的质量
    
    m2 = 1; % 摆杆2的质量
    
    l1 = 1; % 摆杆1的长度
    
    l2 = 1; % 摆杆2的长度
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 打开Simulink模型
    
    model = 'PIDControlledDoublePendulum';
    
    open_system(model);
    
    
    
    % 添加刚体
    
    rigidBody1 = add_block('simscape/Multibody/Rigid Body', [model '/RigidBody1']);
    
    rigidBody2 = add_block('simscape/Multibody/Rigid Body', [model '/RigidBody2']);
    
    
    
    % 添加关节
    
    joint1 = add_block('simscape/Multibody/Joint/Revolute Joint', [model '/Joint1']);
    
    joint2 = add_block('simscape/Multibody/Joint/Revolute Joint', [model '/Joint2']);
    
    
    
    % 添加PID控制器
    
    pidController = add_block('simulink/Control Systems/PID Controller', [model '/PIDController']);
    
    
    
    % 添加力
    
    force1 = add_block('simscope/Multibody/Forces/Motion-Dependent Force', [model '/Force1']);
    
    
    
    % 连接刚体和关节
    
    connect([rigidBody1, joint1, rigidBody2, joint2]);
    
    
    
    % 连接PID控制器和力
    
    connect([pidController, force1]);
    
    
    
    % 设置刚体参数
    
    set_param([model '/RigidBody1'], 'Mass', '1');
    
    set_param([model '/RigidBody1'], 'Inertia', '[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]');
    
    set_param([model '/RigidBody2'], 'Mass', '1');
    
    set_param([model '/RigidBody2'], 'Inertia', '[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]');
    
    
    
    % 设置关节参数
    
    set_param([model '/Joint1'], 'State Target for Start of Simulation', 'Specify Position Target');
    
    set_param([model '/Joint1'], 'Position Target', '0');
    
    set_param([model '/Joint2'], 'State Target for Start of Simulation', 'Specify Position Target');
    
    set_param([model '/Joint2'], 'Position Target', '0');
    
    
    
    % 设置PID控制器参数
    
    set_param([model '/PIDController'], 'P', '100');
    
    set_param([model '/PIDController'], 'I', '10');
    
    set_param([model '/PIDController'], 'D', '1');
    
    
    
    % 设置力参数
    
    set_param([model '/Force1'], 'Force', '10');
    
    
    
    % 运行仿真
    
    sim(model);
    
    
    
    % 获取仿真结果
    
    theta1 = get_param([model '/Joint1'], 'Position');
    
    theta2 = get_param([model '/Joint2'], 'Position');
    
    
    
    % 绘制结果
    
    figure;
    
    plot(theta1.Time, theta1.Data, 'r', theta2.Time, theta2.Data, 'b');
    
    xlabel('时间 (s)');
    
    ylabel('角度 (rad)');
    
    legend('theta1', 'theta2');
    
    grid on;

2.8 多体系统的优化

多体系统的优化是仿真中的另一个重要环节。通过优化系统参数或控制策略，可以提高系统的性能，如减少能量消耗、提高稳定性等。以下是一个优化系统的示例。

2.8.1 优化双摆系统的控制参数

假设我们有一个基于PID控制的双摆系统，希望通过优化PID控制器的参数来提高系统的稳定性。我们可以使用MATLAB的优化工具箱来实现这一目标。

定义系统参数和PID控制器 ：

摆杆1的质量 m1

摆杆2的质量 m2

摆杆1的长度 l1

摆杆2的长度 l2

重力加速度 g

PID控制器的参数 K_p, K_i, K_d

建立目标函数 ：

定义一个目标函数，用于评估PID控制器的性能。

通过最小化目标函数来优化PID参数。

优化PID参数 ：

复制代码 
 * 使用优化工具箱中的函数进行参数优化。
复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m1 = 1; % 摆杆1的质量
    
    m2 = 1; % 摆杆2的质量
    
    l1 = 1; % 摆杆1的长度
    
    l2 = 1; % 摆杆2的长度
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 定义PID控制器的初始参数
    
    Kp = 100;
    
    Ki = 10;
    
    Kd = 1;
    
    
    
    % 定义目标函数
    
    function error = objectiveFunction(params)
    
    % 解包参数
    
    Kp = params(1);
    
    Ki = params(2);
    
    Kd = params(3);
    
    
    
    % 打开Simulink模型
    
    model = 'PIDControlledDoublePendulum';
    
    open_system(model);
    
    
    
    % 设置PID控制器参数
    
    set_param([model '/PIDController'], 'P', num2str(Kp));
    
    set_param([model '/PIDController'], 'I', num2str(Ki));
    
    set_param([model '/PIDController'], 'D', num2str(Kd));
    
    
    
    % 运行仿真
    
    sim(model);
    
    
    
    % 获取仿真结果
    
    theta1 = get_param([model '/Joint1'], 'Position');
    
    theta2 = get_param([model '/Joint2'], 'Position');
    
    
    
    % 计算误差
    
    error = norm(theta1.Data - 0) + norm(theta2.Data - 0);
    
    end
    
    
    
    % 使用优化工具箱进行参数优化
    
    options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter', 'Algorithm', 'sqp');
    
    initialParams = [Kp, Ki, Kd];
    
    lb = [0, 0, 0]; % 下限
    
    ub = [500, 100, 10]; % 上限
    
    [optimizedParams, optimizedError] = fmincon(@objectiveFunction, initialParams, [], [], [], [], lb, ub, [], options);
    
    
    
    % 显示优化结果
    
    disp('优化后的PID参数:');
    
    disp(['Kp: ', num2str(optimizedParams(1))]);
    
    disp(['Ki: ', num2str(optimizedParams(2))]);
    
    disp(['Kd: ', num2str(optimizedParams(3))]);

2.9 多体系统的验证与测试

在多体系统建模完成后，验证和测试是非常关键的步骤。通过验证和测试，可以确保系统的模型和仿真结果的准确性。以下是一些常用的验证和测试方法。

2.9.1 基于能量守恒的验证

能量守恒是多体系统的一个基本特性。通过检查系统的总能量是否守恒，可以验证模型的正确性。

定义系统的参数 ：

摆杆1的质量 m1

摆杆2的质量 m2

摆杆1的长度 l1

摆杆2的长度 l2

重力加速度 g

计算系统的总能量 ：

动能 T

势能 V

总能量 E = T + V

验证能量守恒 ：

运行仿真，记录系统的总能量。

检查总能量的变化是否在合理范围内。

复制代码 
    % 定义系统参数
    
    m1 = 1; % 摆杆1的质量
    
    m2 = 1; % 摆杆2的质量
    
    l1 = 1; % 摆杆1的长度
    
    l2 = 1; % 摆杆2的长度
    
    g = 9.81; % 重力加速度
    
    
    
    % 定义广义坐标和广义速度
    
    syms theta1(t) theta2(t) dtheta1(t) dtheta2(t)
    
    
    
    % 计算动能
    
    T1 = 0.5 * m1 * (l1 * dtheta1)^2;
    
    T2 = 0.5 * m2 * (l1 * dtheta1 + l2 * (dtheta1 + dtheta2))^2;
    
    T = T1 + T2;
    
    
    
    % 计算势能
    
    V1 = -m1 * g * l1 * cos(theta1);
    
    V2 = -m2 * g * (l1 * cos(theta1) + l2 * cos(theta2));
    
    V = V1 + V2;
    
    
    
    % 计算拉格朗日函数
    
    L = T - V;
    
    
    
    % 计算拉格朗日方程
    
    eq1 = diff(diff(L, dtheta1), t) - diff(L, theta1);
    
    eq2 = diff(diff(L, dtheta2), t) - diff(L, theta2);
    
    
    
    % 将方程转换为标准形式
    
    eq1 = simplify(eq1);
    
    eq2 = simplify(eq2);
    
    
    
    % 转换为数值方程
    
    sys_eq = [eq1; eq2];
    
    sys_eq = [sys_eq; dtheta1 - diff(theta1, t); dtheta2 - diff(theta2, t)];
    
    
    
    % 定义初始条件
    
    theta1_0 = 0.1; % 初始角度1
    
    theta2_0 = 0.2; % 初始角度2
    
    dtheta1_0 = 0; % 初始角速度1
    
    dtheta2_0 = 0; % 初始角速度2
    
    
    
    % 转换为ODE形式
    
    ode_eq = odeToVectorField(sys_eq);
    
    ode_func = matlabFunction(ode_eq, 'Vars', {'t', 'Y'});
    
    
    
    % 定义时间范围
    
    tspan = [0 10];
    
    
    
    % 定义初始条件
    
    y0 = [theta1_0; theta2_0; dtheta1_0; dtheta2_0];
    
    
    
    % 求解ODE
    
    [t, y] = ode45(ode_func, tspan, y0);
    
    
    
    % 计算动能和势能
    
    T_values = arrayfun(@(t, y) 0.5 * m1 * (l1 * y(3))^2 + 0.5 * m2 * (l1 * y(3) + l2 * (y(3) + y(4)))^2, t, y);
    
    V_values = arrayfun(@(t, y) -m1 * g * l1 * cos(y(1)) - m2 * g * (l1 * cos(y(1)) + l2 * cos(y(2))), t, y);
    
    
    
    % 计算总能量
    
    E_values = T_values + V_values;
    
    
    
    % 绘制总能量
    
    figure;
    
    plot(t, E_values);
    
    xlabel('时间 (s)');
    
    ylabel('总能量 (J)');
    
    title('系统总能量守恒验证');
    
    grid on;

2.10 总结

多体系统建模是多体动力学仿真中的关键步骤。通过合理选择建模方法，可以准确描述系统的运动特性，并提高仿真的效率和精度。本文介绍了拉格朗日方程、牛顿-欧拉方程、基于Simulink和MATLAB的建模方法，以及系统的约束处理、动力学分析、控制和验证测试。这些方法和工具的结合使用，可以帮助工程师和研究人员更有效地进行多体系统的设计和分析。

希望本文对你在多体系统建模方面有所帮助。如果你有任何问题或需要进一步的帮助，请随时联系。

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