预测可靠性模型公式_光模块的失效数量预测

这篇文章主要介绍了Weibull分布和Crow-AMSAA模型在产品失效预测中的应用。通过小王的故事背景，文章详细讲解了Weibull分布的累积分布函数、中位秩、删失数据处理以及实例分析，展示了如何利用Weibull分布预测产品在未来三个月、半年或一年内的失效数量。接着，文章介绍了Crow-AMSAA模型，包括Duane假说和AMSAA模型的改进，以及它们在实际数据中的应用，特别是如何利用对数坐标系中的线性关系预测累计失效数。文章最后总结了这两种方法的应用场景、关键点以及局限性，强调了累计失效数和累计工作时间在对数坐标系中的线性关系，并指出Crow-AMSAA模型在处理复杂失效模式和“脏数据”方面的优势和挑战。

1.引子

2020年圣诞夜，W市的第一场雪迟迟未能降临。停靠在NC酒吧街的一辆白色斯柯达明锐轿车缓缓驶来，将最后一片飘落的黄叶收入囊中。车内的小红捧着玫瑰花，脸上洋溢着幸福的笑容，稳稳地坐在副驾驶位置。邻座的小王正缓缓启动车辆，准备前往早已预定的某家快捷酒店，暗自盘算着今晚或许会遇到什么有趣的事情。

猛然间，小王的手机震动了一下，来电显示标识为他的领导李博士。

Alan先生，S市某机房的设备出现故障，建议您前往W市，亲自查看设备情况。尽管今天虽然是个节日，但顾客无小事，我还有其他重要的工作要做，实在抱歉占用您的时间。

小王妥善安置了女友小红，驱车前往了S市。这是一个有一定年份的DWDM设备机房，通过定位，小王确定了一个波长的光模块出现了故障。当小王取出该光模块准备更换时，突然发现仓库里恰好没有相应的备件，此时小王的心情十分沮丧，甚至可以说是崩溃。

产品在市场上出现失效的情况常见且通常会涉及维修或备件更换等问题。当对未来的市场失效数量进行预测时，这有助于更好地制定相应的计划，并准备好充足的备件数量。

销售人员也会根据订单预测进行采购准备，听起来像是行业术语的说法，叫forecast。同样的，采购团队也会提前进行需求预测，然后根据预测来采购生产物料。

产品在未来三个月、半年或一年的时间段内会有多少失效情况需要进行分析。

小王陷入了困惑的状态，恰巧，小黄人最近深入研读了一位同事的工作总结，从中发现了不少值得深思之处。

2.Weibull分布预测方法

2.1分布函数[...]

在研究领域中，涉及质量、失效、可靠性、寿命等概念时，Weibull分布始终扮演着不可或缺的角色。在可靠性分析中，Weibull分布的地位犹如麦克斯韦方程在电磁学中的重要性，一句话：包罗万象。

Weibull分布的数学表达形式多样，包括积分形式、微分形式、概率密度形式，以及传教士式等。相比之下，累积分布式因其简洁舒适而备受推崇。为什么？因为它简洁舒适。Weibull分布的累积分布函数如下：

在Weibull分布的表达式中，变量t代表"寿命"，它可以是时间、距离、循环次数或机械应力等量；F(t)则表示一个样品从0到t时刻的累积失效概率。β参数被称为形状参数，η参数则被称为尺度参数或特征寿命。为了将累积分布函数进行变换，首先取其倒数，接着对结果进行两次自然对数处理，从而完成数据的线性化处理。

可以看出，这个方程是一条y=ax+b的直线，因此在对数坐标系下，F(t)与t之间的关系可以用一条直线来描述，这被称为Weibull分布图，通常通过失效品数据进行拟合来获得这条直线。横坐标t在实际情况下很容易获得，但纵坐标F(t)需要通过秩估计来计算。其中，数学原理较为复杂，小黄人也是通过实践学习。

2.2中位秩

秩的定义：将所有失效样品的失效时间按照发生顺序排列，其位置即为秩值。中位秩常被用来评估不可靠性的度量值，即在N个单元样本第i次失效时，真实失效概率在50%置信水平下的估计值，同时也是不可靠性的最佳近似值。这种估计值是基于二项分布方程的解。在Excel中，计算中位秩的公式为：BETA.INV(置信度，秩，样本量-秩+1)。此外，还有一种简便的Benard近似法可用于中位秩的计算。

2.3删失数据、搁置数据和调整秩

在对一组样品进行寿命试验时，我们记录了每个失效样品的失效时间。当试验结束时，未失效的样品被称为删失数据。在试验中失效但与其他失效样品的失效机理不同的样品则被称为搁置数据。需要注意的是，删失/搁置数据不会直接绘制在Weibull分布图上，但它们的重要性不容忽视，因此需要对失效数据的秩进行调整，计算得到调整秩(％)=[逆序×前一个调整秩+(N+1)]/[(逆序+1)×100]。随后，再用调整后的秩重新计算中位秩，这一过程虽然繁琐，但能够更准确地反映实际情况。值得注意的是，删失/搁置数据对特征寿命η的影响较为显著，而对形状参数β的影响则微乎其微。

2.4实例

Weibull分布失效数量预测的分析流程如下：

对寿命数据进行排序，确保包括失效数据和删失/搁置数据。随后，为失效数据计算调整后的秩。采用Benard近似方法，计算调整后的中位秩值。将失效时间作为横坐标，中位秩作为纵坐标绘制Weibull概率图，并在图上拟合一条直线。通过拟合直线确定η的估计值：在直线上找到纵坐标为63.2%的点。接着，通过计算拟合直线的斜率确定β的估计值。最后，阐述Weibull分布的特性。

在某个月份，小王完成了50颗光模块的部署与上线工作。经过统计分析，其中6颗出现失效现象。通过对每个失效模块的寿命参数和失效原因进行了详细统计分析，发现第二个模块的失效模式与其余五个模块存在显著差异。为此，将其数据作为搁置数据进行处理。其余49颗模块的数据用于计算调整秩和中位秩，具体数据结果如下表所示。

基于表中提供的数据，绘制Weibull概率分布图，通过2.1节中的公式可以计算出形状参数β=1.01，特征寿命η=223月，换算为18年。

假设样品i已工作且未失效，预期时间为继续工作的额外时间u，由下式给出失效预测数量：

基于形状参数β=1.01的计算结果，可以推断该批次产品已进入随机失效区间，可以推断失效率保持恒定。在18个月的观察期内，该批次产品失效了5个模块，预计后续4个月内的失效数量将降至1个模块。小王之后按照这个预测节奏准备备件，将不再害怕领导突如其来的电话。

2.5 Weibull分布预测方法的局限

请等一下，在将这份好消息通知小王之前，让我们再重新审视一下。显而易见地，“当失效数据越真实，失效预测越准确”，这似乎成了一种显而易见的悖论。

从分解的角度来看，首先需要将搁置的数据区分开来，这在运维人员小王身上确实存在一定的挑战，因为他需要明确每个模块失效的具体原因。然而，运维人员的主要技能包括：重启设备、插拔光纤、更换光模块；这些技能在日常工作中发挥着关键作用。

其次，准确获取模块的起始使用时间和失效时间几乎是不可能的。尽管如此，有些运维人员(如小王)会及时记录光模块的失效时间，但大多数运维人员(如隔壁老王)可能每隔一到两个月才进行一次记录。对于互联网客户而言，他们通常会将失效的模块收集起来，集中处理，并在佳节时作为礼物送回给供应商。

基于上述分析，严格意义上，Weibull分布最适宜的使用场景是对单一失效模式进行寿命估计，并且要求能够获取到可靠、准确、可信的寿命数据。这种方法在完全可控的理想环境下表现最佳，例如，在实验室环境中，我们通常能够获得较为纯净的测试数据。

在实际市场收集的失效寿命数据中，常见于存在多种失效模式的混合分布，同时也会出现批次不良现象，此外分组的寿命数据还存在不准确性。如何利用这些“脏数据”来有效手段进行失效数量的预测分析呢？

3 Crow-AMSAA模型

3.1 Duane假定

1964年通用电气的一名年轻工程师James T. Duane在与女友分手后因工作职责考虑选择了"闲"下来。他开始对研发试验中产品的失效数据进行系统性观察。通过将累积失效数N(T)除以累积试验时间T，并在双对数坐标系中以T为横轴绘制散点图，他能够获得接近一条直线的图形。通过对这些散点图的分析，Duane得出了累积失效率接近于幂函数的结论。

其中，N(T)为累积失效数量，T为累计测试时间。对上式两边实施取对数操作，从而得到Duane直线。

3.2 Crow-AMSAA幂律模型

年轻工程师Duane基于数据提出了一个假定，在数学领域内与(费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想)相提并论于。只有经过了系统的验证和严格的证明后，这个假定才能被正式确认为定理。

1974年，Dr. Larry H. Crow在担任美国陆军装备系统分析中心(Army Material Systems Analysis Activity)研究员时，对Duane模型进行了显著改进，并将其命名为AMSAA模型。

整个流程较为复杂，具体实现过程中涉及大量数学符号的变化，本文不详细推导相关公式。其中关键步骤的实现尚不完全理解，主要通过概率论理论，将AMSAA模型与Weibull模型建立联系。

最初阶段，这个模型最初被称为Duane-AMSAA模型。然而，Crow的贡献非常显著，因此，随后改称为Crow-AMSAA模型。

3.3 实例

使用幂律模型预测失效数的流程如下：

将失效数据转换为累计工作时长和累计失效数量。
以累计工作时长为横轴、累计失效数量为纵轴绘制对数坐标系的图形，并拟合出直线方程。
通过计算，确定拟合直线的斜率和截距，从而得到直线方程。
预测下一个统计节点的累计工作时长，代入拟合直线方程，计算出预测累计失效数量。
用预测累计失效数量减去当前累计失效数量，即可得出下一个统计节点的失效数量。

幂律模型强大之处在于可以直接使用”脏数据“进行失效数量预测。

每月定期收集失效数据则更符合实际工作需求。假设下表为小王在过去连续6个月中每月收集的数据汇总，计算累计工作时间需要根据每个月的上线光模块数量进行，而按月汇总失效数据则显得异常简单。

将数据绘制在对数坐标系中，从而揭示了年轻工程师Duane当年发现的一个重要规律。通过计算得出，8月份的预计失效数为419减去379，结果为40个。

根据Crow-AMSAA模型，该模型要求我们通过计算一个似然方程来确定斜率值，这一计算过程较为繁琐。理论上，预测精度更高，但实际操作中可能会遇到一些挑战。此外，借助泊松分布理论，我们可以引入置信区间概念，从而为预测失效数量提供一个合理的范围。然而，小李认为这些方法都过于复杂，毕竟预测本身就是一个不确定的过程。

4 小王的困惑

行文至此，小王的困惑应该已经解决了。

本文的主要目的是向读者传达累计失效数和累计工作时间在对数坐标系中呈现出明显的线性关系这一关键规律。小黄人希望读者能够通过这一规律理解并加以应用，从而达到对研究对象的科学分析目的。

该算法在商用化软件中广泛应用于可靠性增长分析，通常被称为Crow-AMSAA模型。

在DWDM光网络领域，一种叫做波长可调谐(tunable)的光模块能够有效解决固定波长模块的备件不具有通用性的问题。然而，这种模块的售价相对较高。

小王多年后再次面对着S市机房的DWDM设备，很可能想起李博士让他排查故障的那个平安夜。

取出失效模块从设备端口中，小心地放入一个可调谐模块。哎呀，这也太划算了吧！小王不由地在心中感叹。