Entropy（熵）、Cross_Entropy（交叉熵）、KL散度

1. 信息熵 （Entropy）

获得1 bit 的信息可以将不确定性减少一半（也可以说不确定性降低了2倍）

例子：

假设天气情况完全随机，有晴天、雨天两种情况，则是晴天或雨天的概率各为0.5。那么只需要1 bit () 的信息就可以消除这个不确定性（用0代表晴天，1代表雨天，或者反过来也行），此时，获取1bit信息，不确定性降低2倍也就是概率乘2，0.5*2=1，变成了确定事件，消除了不确定性。

假设天气情况完全随机，有4种情况，则是每种情况的概率各为0.25。那么需要2 bit () 的信息来消除这个不确定性（用00，01，10，11代表四种天气情况），此时，获取2bit信息，不确定性降低2倍再降低2倍也就是概率乘2再乘2，0.2522=1，变成了确定事件，消除了不确定性。

假设天气情况完全随机，有8种情况，则是每种情况的概率各为0.125。那么需要3 bit () 的信息来消除这个不确定性（用000，001，010，011，100，101，110，111代表八种天气情况），此时，获取3bit信息，不确定性降低8倍也就是概率乘8，0.125*8=1，变成了确定事件，消除了不确定性。

以上的情况为各种基本事件出现的概率相等，对于概率不等 的情况，如下：

例子：

假设在某一地区，有晴天和雨天两种情况，晴天的概率为0.75，雨天的概率为0.25；那么这个时候，我们知道不同的天气所获得的信息量就不同了，先给出 知道是晴天所获得的信息量 和 知道是雨天所获得的信息量；

晴天： = 0.41 bit

雨天： = 2 bit

在这个例子中，我们本身就知道明天大概率会是晴天，这时气象站告诉我们，明天是晴天，那么我们的不确定性并不会下降太多；但是我们知道明天是雨天的概率是0.25，这时气象站报道明天是雨天，那么我们获取到的信息将会是2 bit。

在这种情况下，衡量不确定性的是事件概率的倒数 。思考如下，如果一个事件发生的概率越小，那么这个事件的不确定性就越大，消除这个不确定性所需要获取的信息就越多。类比，概率越小，概率的倒数越大，概率的倒数的以2为底的对数就越大。

平均 而言，一天从气象台获取的信息量 为：
= 0.81 bit

也就是说，我们平均每天需要从气象台获取0.81bit的信息来消除我们对于天气的不确定性。刚刚我们计算的，就是熵，可以看出，熵很好的衡量了事件的不确定性 。Entropy（熵）的计算公式如下（就是刚才计算公式的化简）：

其中， i 代表事件 i ，代表该事件发生的概率。

2. 交叉熵（Cross-Entropy）

交叉熵计算公式如下：

其中， p 代表事件真实的概率分布， q 代表我们预测的概率分布。如果我们预测的概率分布与真实的概率分布相同，那么 H(p,q)=H(p) ，如果不相等，那么交叉熵的量就会超过熵的量，超出的这部分就被称为相对熵 ，更常见的称呼为KL散度（KL Divergence） 。

附：二分类交叉熵公式:

其中，p为真实是正例的概率，q是预测是正例的概率。

3. KL散度

公式： 交叉熵 = 熵 + KL散度

在实际训练分类模型时，我们通常使用以e为底的对数，而不是以2为底的对数，这对训练模型并没有什么影响，因为这两者之间就是一个倍数的关系。

举个栗子：

五分类问题，对于其中一个样本（ball）：

真实概率分布	0%	0%	100%	0%	0%
类别	apple	banana	ball	car	peach
预测概率分布	10%	0%	60%	0%	30%

一般直接写为：