图像处理-Ch4-频率域处理

Ch4 频率域处理(Image Enhancement in Frequency Domain)

FT ：将信号表示成各种频率的正弦信号的线性组合。

频谱 ：∣F(u,v)∣=[R2(u,v)+I2(u,v)]12|F(u, v)| = \left[ R^2(u, v) + I^2(u, v) \right]^{\frac{1}{2}}

相位角 ： \phi(u, v) = \tan^{-1}\left[\frac{I(u, v)}{R(u, v)}\right]

功率谱 ：P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)+I2(u,v)P(u, v) = |F(u, v)|^2 = R^2(u, v) + I^2(u, v)

• I(u,v)I(u, v)：F(u,v)F(u, v) 的虚部。
• R(u,v)R(u, v)：F(u,v)F(u, v) 的实部。

4.5 2-D Fourier Transform

4.5.1 2-D impulse

连续 变量tt和zz的冲激函数δ(t,z)\delta(t,z)定义为：
δ(t,z)={1,t=z=00,其他∫−∞∞∫−∞∞δ(t,z)dtdz=1 \delta(t,z)=\ \int_{-\infty}^{{\infty}\int_{-\infty}}{\infty}\delta(t,z)dtdz=1
取样性质：在冲激处产生函数的值。
∫−∞∞∫−∞∞f(t,z)δ(t,z)dtdz=f(0,0)∫−∞∞∫−∞∞f(t,z)δ(t−t0,z−z0)dtdz=f(t0,z0) \int_{-\infty}^{{\infty}\int_{-\infty}}{\infty}f(t,z)\delta(t,z)dtdz=f(0,0)\ \int_{-\infty}^{{\infty}\int_{-\infty}}{\infty}f(t,z)\delta(t-t_0,z-z_0)dtdz=f(t_0,z_0)

离散 变量x和y，2-D离散冲激定义为(与连续冲激倒是定义一致，在冲激处值为1)：
δ(x,y){1,x=y=00,其他 \delta(x,y)
取样性质：
∑x=−∞∞∑y=−∞∞f(x,y)δ(x,y)=f(0,0)∑x=−∞∞∑y=−∞∞f(x,y)δ(x−x0,y−y0)=f(x0,y0) \sum_{x=-\infty}^{{\infty}\sum_{y=-\infty}}{\infty}f(x,y)\delta(x,y)=f(0,0)\ \sum_{x=-\infty}^{{\infty}\sum_{y=-\infty}}{\infty}f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0)=f(x_0,y_0)
处理有限维图像时，上述两个公式的限制改为图像的维数。

4.5.2 2-D Fourier Transform Pair(变换对)

2-D Fourier Transform：令f(t,z)f(t,z)是两个连续变量tt,zz的连续函数。
F(μ,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(t,z)e−j2π(μt+vz)dtdzf(t,z)=∫−∞∞∫−∞∞F(μ,v)ej2π(μt+vz)dμdv F(\mu,v)=\int_{-\infty}^{{\infty}\int_{-\infty}}{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi(\mu t+vz)}dtdz\ f(t,z)=\int_{-\infty}^{{\infty}\int_{-\infty}}{\infty}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu t+vz)}d\mu dv
μ,v\mu, v是频率变量；t,zt,z是连续空间变量。μ,v\mu,v 定义了连续频率域。

二维盒式函数:
f(t,z)={A,−T2≤t≤T2,−Z2≤z≤Z20,其他 f(t,z)=

对应的傅里叶变换如下：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 10: F(\mu,v)&̲=\int_{-\infty}…
联系到一维情况下连续函数的情况：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 6: f(t)&̲=\begin{cases} …
因为ejθ−e−jθ=(cos⁡θ+jsin⁡θ)−(cos⁡θ−jsin⁡θ)=2jsin⁡θe^{j\theta}-e{-j\theta}=(\cos\theta+j\sin\theta)-(\cos\theta-j\sin\theta)=2j\sin\theta,所以：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 8: F(\mu)&̲=\frac{A}{\pi\m…
所以对于2-D情况下F(μ,v)=ATZ[sin(πμT)πμT][sin(πvZ)πvZ]F(\mu,v)=ATZ[\frac{sin(\pi\mu T)}{\pi\mu T}][\frac{sin(\pi v Z )}{\pi v Z}]，更易理解。看下图：右图是频谱的一部分，谱中0位置与T,Z成反比，当T>ZT\gt Z，谱沿μ\mu轴更“收缩”。

4.5.3 2-D Sampling

先介绍一下1-D sampling ：

因为时域与频域对称：f(t)→FTF(μ),F(t)→FTf(−μ)f(t)\xrightarrow{\mathrm{FT}}F(\mu),F(t)\xrightarrow{\mathrm{FT}}f(-\mu)
δ(t−t0)→FTe−j2πμt0,e−j2πμt0→FTδ(−μ−t0)=δ(μ+t0) \delta(t-t_0)\xrightarrow{\mathrm{FT}}e^{-j2\pi\mu t_0}, e^{-j2\pi\mu t_0}\xrightarrow{\mathrm{FT}}\delta(-\mu-t_0)=\delta(\mu+t_0)
冲激串：
SΔT(t)=∑k=−∞∞δ(t−kΔT)=∑n=−∞∞Cnej2πnΔTtCn=1ΔT∫−ΔT2ΔT2SΔT(t)e−j2πnΔTtdt S_{\Delta T}(t)=\sum^{\infty}{k=-\infty}\delta(t-k\Delta T)=\sum^{{\infty}_{n=-\infty}C_ne}{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\ C_n=\frac{1}{\Delta T}\int{-\frac{\Delta T}{2}}^{\frac{\Delta T}{2}}S_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}dt
当t=0时产生冲激([−ΔT2,ΔT2][-\frac{\Delta T}{2},\frac{\Delta T}{2}]区间内积分仅包含t=0处冲激)，此时Cn=1ΔT∫−ΔT2ΔT2SΔT(t)e−j2πnΔTtdt=1ΔTC_n=\frac{1}{\Delta T}\int_{-\frac{\Delta T}{2}}^{\frac{\Delta T}{2}}S_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}dt=\frac{1}{\Delta T}:
SΔT(t)=∑n=−∞∞1ΔTej2πnΔTt S_{\Delta T}(t)=\sum^{\infty}{n=-\infty}\frac{1}{\Delta T}e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}
对SΔT(t)S{\Delta T}(t)进行傅里叶变换：
SΔT(t)→FT1ΔT∑n=−∞∞δ(μ−nΔT)ej2πnΔTt→FTδ(μ−nΔT) S_{\Delta T}(t)\xrightarrow{\mathrm{FT}}\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})\ e^{\frac{j2\pi n}{\Delta T}t}\xrightarrow{\mathrm{FT}}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})

对于2-D冲激串 被定义为:
SΔT(t,z)=∑m=−∞∞∑n=−∞∞δ(t−mΔT,z−nΔZ) S_{\Delta T}(t,z)=\sum^{{\infty}_{m=-\infty}\sum}{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-m\Delta T,z-n\Delta Z)
ΔT,ΔZ\Delta T,\Delta Z是连续函数f(t,z)f(t,z)沿t轴和z轴的样本间的间隔。上式描述了沿两个轴无限扩展的一组周期冲激。

2-D带限函数 ：在[−μmax⁡,μmax⁡],[−vmax⁡,vmax][-\mu_{\max},\mu_{\max}],[-v_{\max},v_{max}]建立的频率域矩阵外，f(t,z)→FT0f(t,z)\xrightarrow{\mathrm{FT}}0：
F(μ,v)=0,∣μ∣≥μmax⁡,∣v∣≥vmax⁡ F(\mu,v)=0, \quad |\mu|\ge\mu_{\max},|v|\ge v_{\max}

带限：当且仅当 f(t,z)f(t,z)在两个坐标方向无限扩展的时候，f(t,z)f(t,z)一般才可能是带限的。

2-D取样定理 ：间隔满足ΔT<12μmax⁡,ΔZ<12vmax⁡\Delta T<\frac 1 {2\mu_{\max}},\Delta Z\lt \frac 1 {2v_{\max}}or1ΔT>2μmax⁡,1ΔZ>2vmax⁡\frac 1{\Delta T}\gt2\mu_{\max},\frac1{\Delta Z}\gt 2v_{\max}，则连续带限函数f(t,z)可由其一组样本无误地复原（无信息丢失）。

4.5.5 2-D DFT, IDFT

书上的形式:
DFT:F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyM)IDFT:f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1F(u.v)ej2π(uxM+vyM) \text{DFT:}\ F(u,v)=\sum^{{M-1}_{x=0}\sum}{N-1}{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})}\ \text{IDFT}:\ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum^{{M-1}_{u=0}\sum}{N-1}{v=0}F(u.v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})}
PPT中给出的形式（此时这个常数的平方根应包含在正变换和反变换前面，以便形成一个更为对称的变换对）：
DFT:F(u,v)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyM)IDFT:f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1F(u.v)ej2π(uxM+vyM) \text{DFT:}\ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum^{{M-1}_{x=0}\sum}{N-1}{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})}\ \text{IDFT}:\ f(x,y)=\sum^{{M-1}_{u=0}\sum}{N-1}{v=0}F(u.v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})}

4.6 2-D DFT, IDFT的性质

空间间隔与频率间隔：Δu,Δv\Delta u,\Delta v 与ΔT,ΔZ\Delta T,\Delta Z成反比。

对连续函数f(t,z)f(t,z)取样生成了一副数字图像f(x,y)f(x,y),它由t方向和z方向所取得M×NM\times N个样本组成。令ΔT,ΔZ\Delta T,\Delta Z表示样本间的间隔。频率域对应的离散变量间的间隔分别为Δu=1MΔT,Δv=1NΔZ\Delta u=\frac{1}{M\Delta T},\Delta v=\frac{1}{N\Delta Z}。

平移(shifting)：

时间平移 (Time-shifting)：图像在空间域中的平移（时移）会导致频域中乘以一个复指数因子。该复指数因子只影响相位，不影响幅度。
J[f(x−x0,y−y0)]=F(u,v)e−j2π(ux0M+vy0N) \mathfrak{J}[f(x-x_0, y-y_0)] = F(u, v)e^{-j2\pi\left(\frac{ux_0}{M} + \frac{vy_0}{N}\right)}

频率平移 (Frequency shifting)：空间域中乘以一个复指数因子会导致频率平移。常用于将频域中心 (0, 0) 平移到图像中心 (如 fftshift 操作)。
J[f(x,y)e−j2π(u0xM+v0yN)]=F(u−u0,v−v0)J[f(x,y)(−1)x+y]=F(u−M2,v−N2) \mathfrak{J}[f(x, y)e^{-j2\pi\left(\frac{u_0x}{M} + \frac{v_0y}{N}\right)}] = F(u-u_0, v-v_0)\ \mathfrak{J}[f(x, y)(-1)^{x+y}] = F(u-\frac{M}{2}, v-\frac{N}{2})

对称性(Symmetry):

* 平均值 (Average)：F(0,0)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)F(0, 0) = \frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)
* 共轭对称性 (Conjugate Symmetric)：F(u,v)=F∗(−u,−v)F(u, v) = F^*(-u, -v)
* 对称性 (Symmetric)：∣F(u,v)∣=∣F(−u,−v)∣|F(u, v)| = |F(-u, -v)|

分离性 (Separability): 二维傅里叶变换可以分解为两次一维傅里叶变换(行、列)，这降低了计算复杂度，便于实现快速傅里叶变换（FFT）。
F(u,v)=1N∑y=0N−1[1M∑x=0M−1f(x,y)e−j2πuxM]e−j2πvyN F(u, v) = \frac{1}{N} \sum_{y=0}^{N-1} \left[\frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1} f(x, y) e^{-j 2\pi \frac{ux}{M}}\right] e^{-j 2\pi \frac{vy}{N}}

旋转 (Rotation)：图像在空间域中的旋转会导致频域中相应的旋转。如果图像旋转了角度θ0\theta_0，其频谱也旋转相同角度。
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \iffF at position 25: …eta + \theta_0)\̲i̲f̲f̲F̲(\omega, \phi +…

周期性 (Periodicity): 离散傅里叶变换具有周期性，频域中的数据在M×NM \times N范围内重复。
f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N) f(x, y) = f(x + M, y) = f(x, y + N) = f(x + M, y + N)\ F(u, v) = F(u + M, v) = F(u, v + N) = F(u + M, v + N)

线性性 (Linearity): 傅里叶变换是线性运算，两个图像的加权组合在频域中仍是对应频域组合的加权和。
J[af(x,y)+bg(x,y)]=aJ[f(x,y)]+bJ[g(x,y)] \mathfrak{J}[af(x, y) + bg(x, y)] = a\mathfrak{J}[f(x, y)] + b\mathfrak{J}[g(x, y)]

微分性 (Differentiation): 图像在空间域中的微分对应频域中的乘法运算。二阶微分对应−4π2(u2+v2)-4\pi^2(u2 + v^2)，与拉普拉斯算子相关。
J[∂nf(x,y)∂xn]=(j2πu)nJ[f(x,y)]J[∇2f(x,y)]=−4π2(u2+v2)F(u,v) \mathfrak{J}\left[\frac{\partial^n f(x, y)}{\partial x^n}\right] = (j2\pi u)^n \mathfrak{J}[f(x, y)]\ \mathfrak{J}\left[\nabla^2 f(x, y)\right] = -4\pi^2(u2 + v^2)F(u, v)

卷积(Convolution):J[f(x,y)∗g(x,y)]=F(u,v)G(u,v)\mathfrak{J}[f(x, y) * g(x, y)] = F(u, v)G(u, v)

相关(Correlation):J[f(x,y)∘g(x,y)]=F(u,v)⋅G∗(u,v)\mathfrak{J}[f(x, y) \circ g(x, y)] = F(u, v) \cdot G^*(u, v)

相似性 (Similarity): 图像在空间域中发生缩放时，频域数据会发生相反的缩放，并且幅度会按照缩放比例调整。
J[f(ax,by)]=1∣ab∣F(ua,vb) \mathfrak{J}[f(ax, by)] = \frac{1}{|ab|} F\left(\frac{u}{a}, \frac{v}{b}\right)

4.6.1 总结

注 ：傅里叶变换对对于连续变量可以进一步推导（以tt 和zz 表示空间变量，uu 和vv 表示频率变量），这些结果可以通过采样离散变量用于 DFT 工作。

2-D Discrete Fourier Transform

2-D Fourier Transform

2-D Continuous Fourier Transform

j=\sqrt{-1},\quad e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta
1-D傅里叶变换与逆：
F(u)=∫−∞∞f(x)e−j2πuxdxf(x)=∫−∞∞F(u)ej2πuxdu F(u)=\int^{\infty_{-\infty}f(x)e}{-j2\pi u x}dx\ f(x)=\int^{\infty_{-\infty}F(u)e}{j2\pi u x}du
2-D傅里叶变换与逆：
F(u,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdyf(x,y)=∫−∞∞∫−∞∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv F(u,v)=\int^{\infty_{-\infty}\int}\infty_{-\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy\ f(x,y)=\int^{\infty_{-\infty}\int}\infty_{-\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv

2-D Discrete Fourier Transform

1-D Discrete Fourier Transform

1-D离散傅里叶变换和逆是：u,x=0,1,…,M−1u,x = 0,1,\dots,M-1
F(u)=1M∑x=0M−1f(x)e−j2πuxMf(x)=∑u=0M−1F(u)ej2πuxM F(u)=\frac 1 M\sum^{{M-1}_{x=0}f(x)e}{-j\frac{2\pi ux}M}\ f(x)=\sum^{{M-1}_{u=0}F(u)e}{j\frac{2\pi ux}M}
因为ejθ=cos⁡θ+sin⁡θe^{j\theta}=\cos\theta+\sin\theta,离散傅里叶变换可以被写成：
F(u)=1M∑x=0M−1f(x)[cos⁡2πuxM−jsin⁡2πuxM] F(u)=\frac 1 M\sum^{M-1}_{x=0}f(x)\left[\cos\frac{2\pi ux}M-j\sin\frac{2\pi ux}M\right]

• 频率（时间）域：F(u)F(u)的值所在的域（uu 的值）；因为uu决定了变换分量的频率。
• 频率（时间）分量：F(u)F(u)的MM个项中的每一个。

极坐标表示 （谱=函数）
F(u)=∣F(u)∣ejϕ(u) F(u)=\vert F(u)\vert e^{j\phi(u)}

• F(u)=[R(u)2+I(u)2]12F(u)=\left[R(u)^2+I(u)2\right]^{\frac 1 2}: 幅度谱，用于描述频率成分的强度。
• ϕ(u)=tan⁡−1(I(u)R(u))\phi(u)=\tan^{-1}\left(\frac{I(u)}{R(u)}\right) ：相位谱，用于描述频率成分的相位信息。
• R(u)R(u)是频域函数的实部，I(u)I(u)是频域函数的虚部。

功率谱：P(u)=∣F(u)∣2P(u)=\vert F(u)\vert^2, 用于量化图像在不同频率处的能量分布，是幅度谱的平方。

2-D Discrete Fourier Transform

F(u,v)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN)f(x,y)=∑x=0M−1∑y=0N−1F(u,v)ej2π(uxM+vyN) F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum^{{M-1}_{x=0}\sum}{N-1}{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi\left(\frac{ux}M+\frac{vy}N\right)}\ f(x,y)=\sum^{{M-1}_{x=0}\sum}{N-1}{y=0}F(u,v)e^{j2\pi\left(\frac{ux}M+\frac{vy}N\right)}

• ∣F(u,v)∣=[R2(u,v)2+I2(u,v)]12\vert F(u,v)\vert=\left[R^2(u,v)2+I^{2(u,v)\right]}{\frac 1 2}: 幅度谱
• ϕ(u,v)=tan⁡−1[I(u,v)R(u,v)]\phi(u,v)=\tan^{-1}\left[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}\right]: 相位谱
• P(u,v)=∣F(u,v)∣2P(u,v)=\vert F(u,v)\vert^2: 功率谱

二维离散傅里叶变换的性质(Properties of 2-D DFT)

平移(shifting)：

时间平移 (Time-shifting)：图像在空间域中的平移（时移）导致幅度谱不变、相位谱变化。
J[f(x−x0,y−y0)]=F(u,v)e−j2π(ux0M+vy0N)f(x−x0,y−y0)=∑x=0M−1∑y=0N−1F(u,v)ej2π(ux−ux0M+vy−vy0N)=∑x=0M−1∑y=0N−1F(u,v)ej2π(uxM+vyN)e−j2π(ux0M+vy0N)J[f(x−x0,y−y0)]=F(u,v)e−j2π(ux0M+vy0N)

频率平移 (Frequency shifting)：空间域中乘以一个复指数因子会导致频率平移。式2常用于将频域中心 (0, 0) 平移到图像中心 (如 fftshift 操作)。
J[f(x,y)ej2π(u0xM+v0yN)]=F(u−u0,v−v0)J[f(x,y)(−1)x+y]=F(u−M2,v−N2)proof. u0=M2,v0=N2J[f(x,y)ej2π(u0xM+v0yN)]=J[f(x,y)ejπ(x+y)]=cos⁡π(x+y)+jsin⁡π(x+y)=(−1)x+y \mathfrak{J}[f(x, y)e^{j2\pi\left(\frac{u_0x}{M} + \frac{v_0y}{N}\right)}] = F(u-u_0, v-v_0)\ \mathfrak{J}[f(x, y)(-1)^{x+y}] = F(u-\frac{M}{2}, v-\frac{N}{2})\ proof.\ u_0=\frac M 2,v_0=\frac N2\ \mathfrak{J}[f(x, y)e^{j2\pi\left(\frac{u_0x}{M} + \frac{v_0y}{N}\right)}] =\mathfrak{J}[f(x, y)e^{j\pi(x+y)}]=\cos {\pi(x+y)}+j\sin {\pi(x+y)}=(-1)^{x+y}\

对称性(Symmetry):

 * 平均值 (Average)：F(0,0)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)F(0, 0) = \frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y) 是直流量，相当于中心点=平均值。
 * 共轭对称性 (Conjugate Symmetric)：F(u,v)=F∗(−u,−v)F(u, v) = F^*(-u, -v)
 * 对称性 (Symmetric)：∣F(u,v)∣=∣F(−u,−v)∣|F(u, v)| = |F(-u, -v)|

分离性 (Separability): 二维傅里叶变换可以分解为两次一维傅里叶变换(行、列)，这降低了计算复杂度，便于实现快速傅里叶变换（FFT）。
F(u,v)=1N∑y=0N−1[1M∑x=0M−1f(x,y)e−j2πuxM]e−j2πvyN F(u, v) = \frac{1}{N} \sum_{y=0}^{N-1} \left[\frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1} f(x, y) e^{-j 2\pi \frac{ux}{M}}\right] e^{-j 2\pi \frac{vy}{N}}

旋转 (Rotation)：图像在空间域中的旋转会导致频域中相应的旋转。如果图像旋转了角度θ0\theta_0，其频谱也旋转相同角度。
f(r,θ+θ0) ⟺ F(ω,ϕ+θ0) f(r, \theta + \theta_0)\iff F(\omega, \phi + \theta_0)

周期性 (Periodicity): 离散傅里叶变换具有周期性，频域中的数据在M×NM \times N范围内重复。
f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N) f(x, y) = f(x + M, y) = f(x, y + N) = f(x + M, y + N)\ F(u, v) = F(u + M, v) = F(u, v + N) = F(u + M, v + N)

线性性 (Linearity): 傅里叶变换是线性运算，两个图像的加权组合在频域中仍是对应频域组合的加权和。
J[af(x,y)+bg(x,y)]=aJ[f(x,y)]+bJ[g(x,y)] \mathfrak{J}[af(x, y) + bg(x, y)] = a\mathfrak{J}[f(x, y)] + b\mathfrak{J}[g(x, y)]

微分性 (Differentiation): 图像在空间域中的微分对应频域中的乘法运算。二阶微分对应−4π2(u2+v2)-4\pi^2(u2 + v^2)，与拉普拉斯算子相关。
J[∂nf(x,y)∂xn]=(j2πu)nJ[f(x,y)]=(j2πu)nF(u,v)J[∇2f(x,y)]=−4π2(u2+v2)F(u,v) \mathfrak{J}\left[\frac{\partial^n f(x, y)}{\partial x^n}\right] = (j2\pi u)^n\mathfrak{J}[f(x, y)]= (j2\pi u)^n F(u,v)\ \mathfrak{J}\left[\nabla^2 f(x, y)\right] = -4\pi^2(u2 + v^2)F(u, v)

卷积(Convolution):J[f(x,y)∗g(x,y)]=F(u,v)G(u,v)\mathfrak{J}[f(x, y) * g(x, y)] = F(u, v)G(u, v)

相关(Correlation):J[f(x,y)∘g(x,y)]=F(u,v)⋅G∗(u,v)\mathfrak{J}[f(x, y) \circ g(x, y)] = F(u, v) \cdot G^*(u, v)

相似性 (Similarity): 图像在空间域中发生缩放时，频域数据会发生相反的缩放，并且幅度会按照缩放比例调整。
J[f(ax,by)]=1∣ab∣F(ua,vb) \mathfrak{J}[f(ax, by)] = \frac{1}{|ab|} F\left(\frac{u}{a}, \frac{v}{b}\right)

一些常用的傅里叶变换对 (FT Pairs)

单位冲激函数(δ\delta)：δ(x,y)↔1\delta(x,y)\leftrightarrow 1

δ\delta函数与其他函数卷积，就等于这个函数本身。
δ(x)∗g(x) ⟺ F(δ(x))G(x)g(x) ⟺ 1×G(x) \delta(x)*g(x)\iff F(\delta(x))G(x)\ g(x)\iff 1\times G(x)

高斯函数: 空间域是高斯函数，频率域仍是高斯函数，但与空间域的标准差成反比。
A2πσ2exp⁡(−2π2σ2(x2+y2)) ⟺ Aexp⁡(−u2+v22σ2) A2\pi\sigma^2 \exp(-2\pi^2\sigma2(x^2 + y^2))\iff A \exp\left(-\frac{u^2 + v^2}{2\sigma2}\right)
高斯函数的FT仍是高斯函数，中心在(0,0)(0,0)频率。
exp⁡(−π(x2+y2)) ⟺ exp⁡(−π(u2+v2)) \exp(-\pi(x^2 + y^{2))\iff\exp(-\pi(u}2 + v^2))

正弦函数: 空间域是正弦函数，频率域则是两个对称的冲激函数，分别位于(u0,v0),(−u0,−v0)(u_0,v_0),(-u_0,-v_0), 但幅度带有jj和相反的符号。
sin⁡(2πu0x+2πv0y) ⟺ 12j[δ(u+u0,v+v0)−δ(u−u0,v−v0)] \sin(2\pi u_0x + 2\pi v_0y)\iff\frac{1}{2} j \left[ \delta(u+u_0, v+v_0) - \delta(u-u_0, v-v_0) \right]

余弦函数: 空间域是余弦函数，频率域则是两个对称的冲激函数，分别位于(u0,v0),(−u0,−v0)(u_0,v_0),(-u_0,-v_0).
cos⁡(2πu0x+2πv0y) ⟺ 12[δ(u+u0,v+v0)+δ(u−u0,v−v0)] \cos(2\pi u_0x + 2\pi v_0y)\iff\frac{1}{2} \left[ \delta(u+u_0, v+v_0) + \delta(u-u_0, v-v_0) \right]

空间域中的正弦信号也在频域中产生两个对称的冲激，但其相位不同于余弦。

Filtering in the Frequency Domain

卷积定理： f(x,y)∗h(x,y)f(x, y) * h(x, y)与F(u,v)H(u,v)F(u, v) H(u, v)组成傅里叶变换对。左边的表达式(空间域卷积)可以通过对右边表达式进行傅里叶反变换获得；右边的表达式可以通过对左式进行正向傅里叶变换获得。频率域的卷积被简化为空间域的乘法，反之亦然。
J[f(x,y)∗h(x,y)]=F(u,v)H(u,v)J[f(x,y)h(x,y)]=F(u,v)∗H(u,v) \mathfrak{J}[f(x, y) * h(x, y)]= F(u, v) H(u, v)\ \mathfrak{J}[f(x, y)h(x, y)] =F(u, v)* H(u, v)

相关定理：
J[f(x,y)⋆h(x,y)]=F∗(u,v)H(u,v)J[f∗(x,y)h(x,y)]=F(u,v)⋆H(u,v)J[f(x,y)⋆f(x,y)]=∣F(u,v)∣2J[∣f(x,y)∣2]=F(u,v)⋆F(u,v) \mathfrak{J}[f(x, y) \star h(x, y)]= F^(u, v) H(u, v)\ \mathfrak{J}[f^(x, y)h(x, y)] =F(u, v)\star H(u, v)\ \ \mathfrak{J}[f(x, y) \star f(x, y)]=\vert F(u, v) \vert^2\ \mathfrak{J}[\vert f(x, y)\vert^2] =F(u, v)\star F(u, v)
伸缩性质：
J[f(ax,by)]=1∣ab∣F(ua,vb) \mathfrak{J}[f(ax, by)]= \frac{1}{\vert ab\vert}F(\frac u a, \frac v b)

【能量保持 · 帕斯瓦尔定理】如果离散的信号是一维的，对每个信号平方求和，再进行傅里叶变换，频域上也能得到一致的平方和。信号再时域和频域之间能量不变。

频域滤波

基本思想 ：通过选择一个特定的滤波器传递函数H(u,v)H(u, v)来修改图像的傅里叶变换F(u,v)F(u, v)。

基于卷积定理的频域滤波实现：

1. 通过傅里叶变换将图像从空间域f(x,y)f(x, y)转换到频域F(u,v)F(u, v)。
2. 在频域中对傅里叶变换结果F(u,v)F(u, v)乘以滤波器H(u,v)H(u, v)。
3. 通过傅里叶逆变换将结果转换回空间域，得到滤波后的图像J−1{H(u,v)F(u,v)}\mathfrak{J}^{-1}{H(u, v)F(u, v)}。

Wraparound Error（混叠误差）: 在频域卷积时，完整信号可以被切分成多个简单信号相加。那么这些简单信号在交叠处：究竟是取信号1的值、还是取信号2的值呢？

解决方法 ： 对图像进行零填充 (Padding)，扩展信号范围，避免非零部分的干扰。就是改变简单信号的周期，让其周期=完整信号的周期，然后会有一些部分，然后全部=0（这个就叫零填充）。

从空域滤波器中获取频域滤波器(Obtaining Frequency Domain Filters from Spatial Filters)

**Q: **Why?

A: 1.效率 2.有意义的比较

理想低通滤波器(ILPF)：

H(u,v)={1,D(u,v)≤D00,D(u,v)>D0 H(u,v)=
其中D(u,v)D(u,v)是从点(u,v)(u,v)到频率矩阵中心(0,0)(0,0)的距离:
D(u,v)=(u−M2)2+(v−N2)2 D(u,v)=\sqrt{\left(u-\frac M 2\right)^2+\left(v-\frac N 2\right)^2}

巴斯沃斯低通滤波器(Butterworth Lowpass Filters, BLPFs):
H(u,v)=11+[D(u,v)D0]2n H(u,v)=\frac{1}{1+\left[\frac{D(u,v)}{D_0}\right]^{2n}}
随n增大，会越来越趋近于理想的低通滤波器。当D(u,v)=D0,D(u,v)D0=1,1n=1D(u,v)=D_0,\frac{D(u,v)}{D_0}=1,1^n=1，因此永远过0.5的点。

高斯低通滤波器( Gaussian Lowpass Filters, GLPFs)
H(u,v)=exp⁡{−D2(u,v)2D02} H(u,v)=\exp{\frac{-D^2(u,v)}{2D2_0}}

频率锐化滤波器(Sharpening Frequency Domain Filters)

通用高通频域滤波器：
Hhp(u,v)=1−Hlp(u,v) H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)

(Sharpening Frequency Domain Filters)

通用高通频域滤波器：
Hhp(u,v)=1−Hlp(u,v) H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)