混合模型在深度学习中的应用——从EM算法到半监督学习
作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
进入20世纪90年代末后,随着贝叶斯概率统计方法的发展,统计学习理论在这一时期迎来了重要突破,最具代表性的是期望最大化算法(Expectation Maximization, EM)的发展与应用。该算法的核心在于基于观测数据集进行建模时,通过迭代更新使模型的似然度最大化,并确保每个参数都满足相应的约束条件。经过这种方法的有效实施,许多复杂且包含隐含信息的数据结构都能够得到准确建模与分析。
EM算法作为一种迭代优化过程,其基本框架由两个阶段构成:首先是在E步中利用现有参数估算隐变量的状态;接着是在M步中重新计算模型参数使其达到最优状态。这一特性使其成为解决含有潜在变量问题的理想选择,特别适用于高维空间中的复杂数据分析场景。
2.基本概念术语说明
2.1 隐变量和可见变量
比如EM算法的核心在于对模型中的隐变量进行推断；因此，在处理混合模型时需要引入这些隐变量；这些隐变量对应于可见变量，在模型中它们是不可观测的；比如在词向量模型中，则可以将文档中的每个单词视为可见数据点，并将每个单词的上下文信息作为对应的潜在表示；如果将上下文信息视为潜在变量子类，则对应的文档可以被视为观测数据；而单词则是这些潜在表示的具体体现。
2.2 类别分布和生成分布
EM算法的主要任务是确定隐变量的真实概率分布p(z|x)。生成概率分布p_{\theta}(x|z)描述了从隐变量z生成可见变量x的过程。在基于主题的文档模型中，p(z|x)通常被视作一种硬编码先验分布（hard assignment prior distribution），具体而言是每个文档仅被赋予一个主题标签。而对于一般的混合模型而言，类别概率分布通常并非采用这种硬分配策略，而是由其生成过程中的平均场近似所决定。
2.3 参数估计的形式假设
在此基础上就可以阐述混合模型中的参数估计问题。通常情况下, 混合模型的参数估计包含两个主要步骤:第一阶段是E步, 即计算隐变量的期望值;第二阶段是M步, 即基于新的参数信息更新参数值。然而, 在实际应用中情况往往较为复杂, 因此并不能保证每次迭代都能达到全局最优解。为了确保算法的有效性和稳定性, 参数估计过程中往往会附加一些理论假设或技术手段来辅助求解。
2.3.1 缺失数据的处理策略
在实际应用中, 常常会遇到样本数据存在_missing_的情况. 这表明, 在样本_data_出现_missing_的情况下可能会导致_model_结果受到影响. 为了应对这一问题, 提出了多种解决方案. 其中, 最简单的方式是不考虑_these_missing_data_. 另一种常见的方法是对_these_missing_data_进行填补. 例如, 在填补_these_missing_data_时可以采用均值填补或插值等方法.
2.3.2 概率密度估计的正则化项
在参数估计这一环节中可能会出现过拟合的现象；即其结果与数据的真实分布之间存在较大差异；为了避免这种情况可通过引入正则化项来约束各待估参数的大小；例如Dirichlet先验分布是一种用于施加正则化的手段；它能够在概率向量上施加约束条件使得其总和等于1
3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学公式讲解
3.1 E-step
第一步，在E步中使用当前参数估计隐变量。
在词向量模型下，默认假设某个文档d仅归属单一主题。
这样可以通过M步确定对应的主题标签k_i。
如果该文档涉及多个主题，则需通过重复应用M步来更新参数。
直到获得稳定的唯一主题分配。
此时，
q_{ik} = p_{\theta}(z_i=k \mid d),\quad i=1,\dots,N
表示第i个文档的第k个主题下的概率。
值得注意的是，在此步骤中无需显式计算整个类别分布p(z|x)，
而是直接利用局部参数\theta来计算q_{ik}。
3.2 M-step
在M-step阶段中，在获得新参数后会重新计算参数以满足条件。对于该词向量模型而言，在使用梯度下降法或其他优化方法时会确定合适的参数值 heta。其目标即在于最大化类别的对数似然函数期望值\mathcal{L}( heta), 其中包含正则项以防止过拟合：\mathcal{L}( heta) = \sum_{i=1}^N log p_{ heta}(d^{(i)};\beta) + \frac{\alpha}{2}\sum_{k=1}^K| heta_k|-\frac{1}{\alpha^2}\sum_{j=1}^{K-1} heta_j^ op heta_k+log\Gamma(\alpha). 其中\beta代表观测数据的先验分布概率分布，并且\alpha是一个超参数变量, 控制Dirichlet分布的强度. EM算法通过迭代过程不断更新优化这两个变量. 在此之后, 将进一步详细阐述EM算法中的关键数学推导.
3.3 公式推导
3.3.1 期望期望最大化算法（EEMAlgorithm）
该算法采用基于在线性的迭代计算过程，在每次迭代中仅重新计算某个参数的部分值，并在达到预定精度时终止。其具体实现步骤包括以下几点。
- 初始化参数 heta, \beta
- 在第t次迭代时，计算参数的新值：
在该模型中,计算隐变量的期望值: q_{ik}^t = \frac{\alpha_k^{t-1}}{\sum_{l=1}^K\alpha_l^{t-1}}\pi_{lk};同时,更新先验分布β,其中β表示先验分布,其更新公式为: \beta^{t}=\beta+\sum_{i=1}^N q_{ij}^t z_i y_i;最后,更新参数向量θ,其中θ表示参数向量,其更新公式为: heta_k^{t} = \frac{\beta_k{t}}{\sum_{j=1}K\beta_j{t}}\sum_{i=1}N q_{ij}^t y_i
- 重复步骤2直至收敛
上述算法推导出来的公式如下所示：
第t次迭代，计算各个参数的新值：
E-step:
q_{ik}^t = \frac{\alpha_k^{t-1}}{\sum_{l=1}^K\alpha_l^{t-1}}\pi_{lk}
M-step:
\beta^{t+1}=\beta+\sum_{i=1}^N q_{ij}^t z_i y_i,\;\; k=1,...,K
heta_k^{t+1} = \frac{\beta_k^{t+1}}{\sum_{j=1}^K\beta_j^{t+1}}\sum_{i=1}^N q_{ij}^t y_i,
K是隐藏变量的个数。
此外，EEMAlgorithm 还可以支持多任务学习。即在混合模型中，目标变量y不是固定的，而是由不同的模型估计得到。这样，我们就需要同时估计不同模型的参数，并对这些参数进行共同的更新。
3.3.2 模型组合的期望最大化算法（MEMAlgorithm）
MEMAlgorithm的核心概念在于通过整合不同模型的边缘似然函数来提升整体性能。该方法首先构建各个独立模型的边缘似然函数，并在此基础上进行优化与融合；随后系统性地实施两步骤的操作流程：首先是模型选择环节（model selection），通过评估各候选模型的表现特征来确定最优方案；其次是模型融合过程（model fusion），将选定的多个子模型进行信息整合与协同优化以获得最终结果。
3.3.2.1 模型选择（Model Selection）
在MEMAlgorithm框架下进行最优子模型选择的具体步骤如下：
-
初始化参数设置
-
逐步筛选候选特征
-
基于信息增益评估特征重要性
-
生成候选子集并计算其评价指标
-
比较各候选子集以确定最优解
-
为每一个模型分配一个初始权重（权重的初始值为0）
-
通过前向传播算法估计各个模型的后验概率P(Y=y\mid X=x, heta_m,\phi_m)
-
根据后验概率对模型的权重进行更新
-
重复步骤2和步骤3直到收敛
前向传播算法：
定义目标函数：
\ln P(Y,\Theta)=\sum_{m=1}^M w_m\ln P(Y\mid X, heta_m)+\ln Z(\Theta)
Z(\Theta) 是归一化因子，用来确保模型的加权和等于1。
w_m 是模型m的权重。
利用链式法则，计算每个模型的边缘似然函数：
\ln P(Y=c_i\mid X)\propto \sum_{m=1}^M w_m\sum_{n=1}^Nw_{mn}\delta_{cn}P(X\mid Y, heta_m,\phi_m)
将所有模型的边缘似然函数相乘得到最终的边缘似然函数：
\ln P(Y)\propto \prod_{i=1}^NP(Y=c_i\mid X,\Theta)
从而得到模型选择的分数。
3.3.2.2 模型融合（Model Fusion）
模型融合的目标在于综合各模型预测结果以生成一个更为精确的预测结果。采用参数共享机制与平均池化层相结合的技术来实现这一目标。
- 针对给定输入样本X，逐一计算各模型的输出结果h_m(X; \theta_m, \phi_m)。
- 通过线性或非线性组合方式整合各模型输出结果为最终预测值：f(X) = \sigma(\eta^\top [\vec{h}_1(X); \cdots; \vec{h}_M(X)])
注意：该算法不仅可以应用于分类任务，在回归分析中也有其适用场景。然而，在本研究中我们主要关注的是分类情形。
3.3.3 半监督学习的加速算法（FastMix Algorithm）
部分监督学习（Partial Supervised Learning）是一种基于少量标记数据实现全数据规律提取的学习方法。该方法通过优化模型参数和提升泛化能力来提高分类精度。为了进一步提高训练效率，在现有方法的基础上提出了混合增强算法（Hybrid Enhanced Learning Framework）。该算法通过构建多源融合特征实现分类器优化。混合增强算法的具体实现步骤如下：首先构建多源融合特征空间；其次设计高效损失函数；最后优化模型参数并验证性能指标。
- 采样一批没有标记的数据U
- 用已有的标记数据D训练一个模型
- 对模型的预测结果进行标记，并加入到原有数据集D'=\bigcup\{D,\hat D\}
- 利用D'训练一个新的模型
- 重复步骤2到步骤4，直至模型收敛或达到最大迭代次数
可以看到，FastMix Algorithm 中没有采样数据集D的所有数据，而是采用部分采样的方式来训练模型。这样，模型的训练速度就会快很多。
4.具体代码实例和解释说明
4.1 示例一：使用EM算法训练一个词向量模型
在当前研究中，在基于EM算法的条件下构建了一个词向量模型。该模型认为，在每个文档中都可以被划分为若干主题，并且这些主题都包含了一系列的词汇。具体而言，在讨论词向量模型时涉及了其基本概念。
通过全连接层对文档进行编码
采用变分自动编码器（VAE）或其他模型来处理每个文档的编码，并学习隐变量（topic）与可见变量（word）之间的关系
在隐变量分类阶段应用softmax层以确定文档类别
- 数据预处理阶段的任务是将输入文本文件中的每一个文档转化为一个整数序列，并生成对应的词索引列表。
- 网络架构设计的关键步骤是确定网络架构相关的超参数设置。
- 明确损失函数的具体形式以及选择合适的优化算法。
- E步主要计算潜在变量的期望值，在M步则通过最大化期望值来更新模型参数。
- 利用训练完成后的模型对新增待分析的文本进行推理与预测。
import tensorflow as tf
class WordVectorModel():
def __init__(self, vocab_size, embedding_dim, num_topics):
self.vocab_size = vocab_size
self.embedding_dim = embedding_dim
self.num_topics = num_topics
self._build_graph()
def _build_graph(self):
# define placeholders
self.input_docs = tf.placeholder(tf.int32, shape=[None, None], name="input_docs")
self.input_lens = tf.placeholder(tf.int32, shape=[None], name="input_lens")
self.labels = tf.placeholder(tf.int32, shape=[None, ], name="labels")
with tf.variable_scope("embeddings"):
self.embedding_matrix = tf.get_variable('embedding_matrix',
initializer=tf.random_normal([self.vocab_size,
self.embedding_dim]))
embedded_inputs = tf.nn.embedding_lookup(self.embedding_matrix,
self.input_docs)
# reshape to [batch_size*sequence_len, emb_dim]
batch_size = tf.shape(embedded_inputs)[0]
sequence_len = tf.shape(embedded_inputs)[1]
embedded_inputs = tf.reshape(embedded_inputs, [-1, self.embedding_dim])
# VAE encoder part
with tf.variable_scope("encoder"):
vae_outputs, z_mean, z_stddev = variational_autoencoder(embedded_inputs,
hidden_layers=[self.embedding_dim/2,
self.embedding_dim/4],
latent_dim=self.num_topics)
# softmax classifier part
with tf.variable_scope("classifier"):
logits = tf.contrib.layers.fully_connected(vae_outputs,
num_outputs=self.num_topics,
activation_fn=None)
# use argmax instead of sigmoid here because we are using binary cross entropy later on
predictions = tf.argmax(logits, axis=-1)
# loss function and optimizer
reconstruction_loss = tf.reduce_mean(tf.square(vae_outputs - embedded_inputs))
kl_divergence_loss = -0.5 * (1 + tf.log(tf.square(z_stddev)) - tf.square(z_mean) - tf.square(z_stddev))
kl_divergence_loss = tf.reduce_mean(kl_divergence_loss)
self.loss = tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(self.labels * tf.log(tf.sigmoid(logits)), reduction_indices=[-1])) + \
reconstruction_loss + kl_divergence_loss
self.optimizer = tf.train.AdamOptimizer().minimize(self.loss)
def train(self, sess, input_docs, input_lens, labels):
_, loss = sess.run([self.optimizer, self.loss],
feed_dict={
self.input_docs: input_docs,
self.input_lens: input_lens,
self.labels: labels})
return loss
def predict(self, sess, input_docs, input_lens):
predicted_labels, probabilities = sess.run([predictions, tf.nn.softmax(logits)],
feed_dict={
self.input_docs: input_docs,
self.input_lens: input_lens
})
return predicted_labels, probabilities
model = WordVectorModel(vocab_size=10000, embedding_dim=100, num_topics=10)
saver = tf.train.Saver()
with tf.Session() as sess:
sess.run(tf.global_variables_initializer())
for epoch in range(10):
total_loss = []
for step, (input_docs, input_lens, labels) in enumerate(train_data):
loss = model.train(sess, input_docs, input_lens, labels)
if step % 10 == 0:
print("Epoch {}, Step {}/{}: Loss {:.4f}".format(epoch+1, step+1, len(train_data), loss))
total_loss.append(loss)
avg_loss = np.mean(total_loss)
print("Epoch {}: Avg loss {:.4f}".format(epoch+1, avg_loss))
save_path = saver.save(sess, "models/my_model.ckpt")
test_doc = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
test_doc_len = np.array([3, 3])
pred_labels, probas = model.predict(sess, test_doc, test_doc_len)
print("Test doc:", test_doc)
print("Pred labels:", pred_labels)
print("Probabilities:", probas)
代码解读该研究所采用的模型类型为变分自编码器（VAE）。该模型架构包含两个主要组件：编码器和解码器。其中，编码器的作用是将输入文档映射至潜在空间中的向量表示；而解码器则通过反向过程重建原始文档内容。在VAE框架中，对生成的潜在空间表示进行规范性约束以使其服从多元高斯分布。通过最小化计算得到的条件概率与先验分布之间的KL散度损失来优化模型参数。
4.2 示例二：使用MEMAlgorithm训练一个评论分类器
该系统采用MEMAlgorithm对评论进行分类训练。通过该模型，我们可以识别出用户评论中的负面情绪内容。详细阐述该评论分类器的工作原理如下：
首先阶段的任务是将原始文本数据转化为向量形式。随后的工作步骤是通过预设的机器学习算法库构建多个候选分类器。在这一过程中,我们需要从包括朴素贝叶斯分类器、决策树模型以及支持向量机在内的多种分类器中挑选出表现最为突出的那个作为最终的分类器。完成上述工作后,就需要采用已确定的最优子模型对测试集中的样本进行分类预测,并根据实验结果不断优化参数设置,以提高分类精度和鲁棒性。具体的代码实现步骤如下：
from sklearn.datasets import fetch_20newsgroups
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from fastmix import MemAlgorithm
newsgroups_train = fetch_20newsgroups(subset='train')
newsgroups_test = fetch_20newsgroups(subset='test')
vectorizer = TfidfVectorizer()
X_train = vectorizer.fit_transform(newsgroups_train.data).toarray()
y_train = newsgroups_train.target
mem_algo = MemAlgorithm([MultinomialNB(),
DecisionTreeClassifier(),
SVC()],
n_epochs=50,
alpha=0.1)
X_test = vectorizer.transform(newsgroups_test.data).toarray()
y_test = newsgroups_test.target
mem_algo.fit(X_train, y_train)
preds = mem_algo.predict(X_test)
acc = accuracy_score(y_true=y_test, y_pred=preds)
print("Accuracy:", acc)
代码解读这里使用的模型是MemAlgorithm，MemAlgorithm 使用两种方式进行模型选择：模型精度、模型复杂度。精度比较重要，因为精度更高的模型，往往对目标更为敏感，能更好地刻画数据中的模式。复杂度比较重要，因为复杂的模型，往往对目标更为脆弱，容易受到过拟合。因此，MemAlgorithm 会考虑模型的精度和复杂度，从而决定选择哪种模型作为子模型。
这里使用的子模型是朴素贝叶斯、决策树和SVM。MemAlgorithm 的子模型选择算法是排除式集成。它先训练各个子模型，再依据精度和复杂度的综合来选择最优的子模型。这里的参数n_epochs表示迭代次数，alpha表示惩罚项的权重，通常设置为0.1。最后，MemAlgorithm 会对所有子模型进行融合，通过线性组合或非线性组合的方式来得到最终的预测结果。
5.未来发展趋势与挑战
近年来，在机器学习领域取得了显著进展
6.附录常见问题与解答
6.1 Q：为什么会出现EM算法？
在贝叶斯统计理论框架下，在观测数据集的基础上，通过迭代更新机制使模型参数达到极大似然估计的目标，并确保各参数均满足相应的限制条件。进而推断隐变量的概率分布情况，并最终确定模型的理想参数配置。EM算法作为该领域的代表性算法之一，在处理高维含隐变量的数据时表现出色，并且能够有效应对高维数据中的稀疏性问题以及缓解极端稀疏性带来的挑战。
6.2 Q：什么是EM算法的基本假设？
A：EM算法的基本假设是观察到的数据是独立同分布的。
6.3 Q：什么是缺失数据？如何处理缺失数据？
A：缺失数据通常被称为那些在数据集中某些样本属性未被观察到的情形。在实际应用中，处理缺失数据的方法主要包括两种主要策略：一种是直接排除包含缺失值的数据；另一种则是通过计算均值或其他插值技术来补充缺失的数据。
6.4 Q：什么是Dirichlet分布？
Dirichlet分布是一种定义于多个正实数参数上的概率模型；其各个参数值均取非负实数值；它刻画了多维概率质量函数的空间分布特征；该分布在分析多样本间的分类概率分配时具有广泛的应用；具体而言，则表示单个样本同时归属于多个类别的情况下的概率分配机制。
6.5 Q：什么是多任务学习？
A：该技术（multi-task learning, MTL）涉及多个相关联的任务，在深度学习中被广泛应用于提升模型的整体效能。它不仅有助于平衡不同目标间的关联性，并且能够实现综合优化目标。
6.6 Q：什么是半监督学习？
半监督学习（Semi-supervised Learning, SSL）被称为是一种混合学习方法，在机器学习领域具有重要地位。其核心特征在于利用小规模标注数据与大规模未标注数据共同训练模型，在实际应用场景中尤其适用于具备有限可观察特征但同时又至关重要的数据集。为了有效利用这些关键样本信息，在许多情况下需要依赖特定方法才能获得标注信息以辅助模型训练。
6.7 Q：什么是FastMix算法？
FastMix算法是用于加速半监督学习的一种方法。在训练过程中首先会对未标记的数据进行采样。然后通过已有的标记数据来训练一个模型。随后将模型预测的结果作为新标签添加到原有数据集中。接着再训练一个新的模型以此加快整个算法的收敛速度。
6.8 Q：MemAlgorithm的模型选择算法和模型融合算法是怎样的？
MemAlgorithm中的模型构建过程依赖于设计一个子模型来完成其功能，并采用评价机制来衡量其性能表现。其中所使用的评价标准可借鉴分类树中的信息增益量（IG）或互信息值（MI）。在数据融合方面，则基于参数共享机制和平均池化操作相结合的技术框架进行操作。