图像坐标球面投影_从球面到平面的投影

最近工作中遇到一个问题，需要将点从球面投影到平面上。现将解决问题的过程记录下来，以备查阅。

1.局部投影

如果是将局部球面投影成平面，可以直接投影。常用的投影方式有两种，第一是中心投影，即从球心O发出射线经过球面上的点P并与投影面相交于P'，P'即是点P的投影。第二是平行投影，如果投影面与球面相切于点Q,则用沿OQ的一束射线照射投影面，相应的球面上的点在投影面上也会有对应点。可以证明平行投影的变形比中心投影小，所以下面的投影采用平行投影。

局部投影的关键在于确定投影坐标系。

如上图，选定了球面上的投影原点(map origin)后，局部坐标系可以按三个方向确定：(1)z轴：map origin 指向球心(图中没有画图来)；(2)y轴：该点在原坐标系中沿经线方向的切线；(3)x轴：按与z轴、y轴两两垂直的关系，求出x轴。

下面直接给出结论：如果在单位球面(球心坐标(0,0,0),球径r=1)上一点P的经、纬度分别为
和
，则该点处的局部参考系为
,
,
.可以验证上述
轴互相正交，且均为单位向量。

确定好局部坐标系后，要求原坐标系中一点在新坐标系中的位置，只需要用原坐标乘以坐标转换矩阵即可。
,变换后的坐标

2.全局投影

此处全局投影是指将整个球面映射到平面上去。将整个球面投影成平面也有很多方法，但是都会产生或大或小的变形(因为平面是0曲率的而球面是有曲率的)，这里介绍地图投影中常用的墨卡托投影法。

如上图(图片引自网络)， 墨卡托投影是等角圆柱投影。就地球而言，方法是：做一个圆柱面使之与赤道相切(这里忽略地球的椭球形，假设它是正球体)，在地心放一个灯泡，发出光线穿过地面照射到圆柱面，于是地面上每一点在圆柱面上都有映射点。

这里有一个问题，高纬度地区的点经过映射后，成像点在圆柱面的很远处。简单计算可知，如果地球半径为
,地面某点纬度为
,以赤道作为映射后所得平面的
轴，则映射后该点距
轴的距离为

tan函数在
附近增长非常快，结果是两极附近距离无限放大。

为了缓解极点附近的畸变问题，墨卡托投影采用另一个函数替代了tan函数，替代函数为
.该函数在
附近与tan函数非常接近，而当
接近
时增长比tan缓慢，tan函数趋向无穷的条件值被推迟。

一般在使用时，规定替代函数的值域为
,此时定义域(纬度值)的范围大致是(-85,85)度，即极点附近5度纬度的信息损失掉了，并且高纬度地区与实际相比仍然会有一定变形。尽管如此，墨卡托投影仍然是地图投影中最有影响力的，适用于航海图、航空图等。

由于规定投影后的y方向的值域为
，而x(经度)方向是
,区间长度相同。因此，地球经过墨卡托投影得到的平面图是正方形。