刚体动力学

文章目录

• 刚体动力学

• • 1. 基本概念
  • • 1.1 约束及其分类
    • 1.2 广义坐标和自由度的概念
    • 1.3 虚位移

• 2. 刚体运动学

• • 2.1 刚体的位置描述
• • 2.2 欧拉定理（涉及定点运动的刚体动力学基础）
• • 2.3 夏莱定理的应用
• • 2.4 定点运动下刚体速度分析

• • 2.5 复杂刚体运动分析

    • 3 刚体动力学

    • • 基本动力学量
      • • 动量

    • 动量矩

    • 惯量张量

    • 惯量主轴、主惯量矩

    • 动能

      • 欧拉动力学方程
      • • 动力学对称刚体的欧拉动力学方程

• 欧拉情形——无外力矩作用下的固定轴转动

  • 欧拉情形下物体呈现恒定轴转动状态

  • 欧拉情形下具有运动学对称性的物体运动

    • 重刚体的定点运动
    • • 基本方程

  • 首次积分

  • 欧拉情形

  • 拉格朗日情形

1. 基本概念

1.1 约束及其分类

规定条件下：影响着系统内各质点运动状态的因素具有一定的限制性。这些限制性因素是以数学方程的形式进行描述：
f_k(x_1,x_2,...,x_{3N}, \dot {x_1},...,\dot {x_{3N}},t)=0

约束的分类 ：

❗️ 约束的分类，决定方程的选择 :❗️

按照是否限制运动状态分类： 完整约束和非完整约束

* **完整约束** ：几何约束和可积分约束的运动约束

f_k(x_1,...x_{3N},t)=0

约束可积分的必要条件 ：

f_K=\sum_{i=1}^{3N}A_{Ki}\dot{x_i}=0\\ \frac{\partial A_{Ki}}{\partial x_j}=\frac{A_{Kj}}{\partial x_i},(i,j=1,...,3N)

非完整约束 ：不可积分的运动约束

f_k(x_1,...,x_{3N}, \dot {x_1},...,\dot {x_{3N}},t)=0

按照方程是否显含时间t：定常和非定常

定常
f_k(x_1,...,x_{3N}, \dot {x_1},...,\dot {x_{3N}})=0

非定常
f_k(x_1,x_2,...,x_{3N}, \dot {x_1},...,\dot {x_{3N}},t)=0

单侧，双侧约束 ： 约束方程是否为等式

1.2 广义坐标和自由度的概念

广义坐标 ： 独立描述物体 位形 的参数：

q_j(j=1,...L), \text{}L为广义坐标个数或方程的解空间的维度

自由度 ： f\neq L

若系统约束全部为完整约束，则该系统为完整系统 ，有f=L

若系统存在非完整约束，该系统为非完整系统 ，则

f=L-S, \text{}S 为非完整约束的个数.

【完整约束方程】
f(x_1,...,x_{3N},t)=0\\ x_i=x_i(q_1,...q_L,t),\space\text{(i=1,2,...3N)}

其中，在(j = 1,\ldots,L; k = 1,\ldots,S)的情况下，
有以下等式成立：

\sum\nolimits_j B_{{Kj}} \dot q_j + B_{{K0}} = 0

同时，

B_{{Kj}} = \sum\nolimits_i A_{{Ki}} \frac{\partial x_i}{\partial q_i}, \quad B_{{K0}} = \sum\nolimits_i A_{{Ki}} \frac{\partial x_i}{\partial t} + A_{{K0}}

其中，

A_{{Ki}} = \frac{\partial f_k}{\partial x_i}, \quad A_{{K0}} = \frac{\partial f_k}{\partial t}

伪坐标（准坐标）

由广义坐标引出：
\dot {q_i}=\dot q_i(u_1,...u_f,t)

伪速度 ：u_\mu

伪坐标 ：\dot \pi_{\mu}=u_\mu

1.3 虚位移

定义：

可能位移 dx_i：被约束允许的无穷小位移，并符合约束条件
\sum_{i=1}^{3n}\frac{\partial f}{\partial x_i}在微分形式中对x_i的变化项之和加上\frac{\partial f}{\partial t}对t的变化项等于零

实位移即为一种可能的、微小量的变化，并需符合约束条件以及运动学微分方程和初始解。

虚位移： 约束"瞬时凝固"的所有限制条件下的无限小位移。
\sum_{i=1}^{3N}A_{Ki} {\rm \delta} x_i=0
当采用广义坐标来进行变分分析时：
\delta x_i = \sum_{j=1}^L\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\delta q_j

2. 刚体运动学

2.1 刚体位置描述

方向余弦矩阵

惯性系 \Bbb OXYZ

固连坐标系/连体坐标系 \it oxyz

A_{01}= \begin{bmatrix} \cos{\hat{({\pmb e}_{x_1},{\pmb e}_{x_0})}} & \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{x_0})}} &\cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{x_0})}} \\ \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{x_0})}} & \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{y_0})}} &\cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{y_0})}}\\ \cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{x_0})}} & \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{z_0})}} &\cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{z_0})}} \end{bmatrix}
,
a^{(1)}= \begin{pmatrix} a_1^{(1)}\\ a_2^{(1)} \\ a_3^{(1)} \end{pmatrix} = {\bf A}_{01} \begin{pmatrix} a_1^{(0)}\\ a_2^{(0)} \\ a_3^{(0)} \end{pmatrix}
,
a^{(0)}=A_{01}a^{(1)}

性质：

正交性.

\bf A^T=A^{-1}

特征值为1.
\det(\bf A-E)=0

连乘性。
A_{ik}=A_{ij}A_{jk}

欧拉角

基本概念：

• 节 线 oN: 平面oxy和平面 oXY 的交 线
  • 进 动 角: ψ 表示ox轴和 oN 轴之间 的 进 动 角度
  • 张 动 角: θ 表示oz轴和 oZ 轴之间 的 张 动 角度
  • 自 转 角: φ 表示on轴和 ox 轴之间 的 自 转 角度

意义：连体坐标系oxyz相对于中间坐标系oXYZ的位置可通过按照一定的顺序绕自身坐标轴执行三次连续转动来实现。

方向余弦矩阵
A_{01 }= \begin{bmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

A_{12}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

A_{23}= \begin{bmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

A_{03}=A_{01}A_{12}A_{23}

奇点 ：\theta=n\pi时， \psi和\varphi无法计算

因为矩阵乘法不满足交换律，在进行多次旋转时所得的刚体位置会受到旋转顺序的影响

莱查坐标系：ox_2y_2z_2

卡尔丹角

body-fixed coordinate system绕α、β、γ分别绕x0、y1、z2轴进行依次旋转后得到新的坐标系

该矩阵为方向余数组构成A_{01}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}

A_{12}= \begin{bmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix}

A_{23}=\begin{bmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

2.2 欧拉定理（定点运动刚体动力学的位移基本定理）

固定点运动的刚体，在关于固定点O的所有任意有限次旋转中都可以表示为绕通过点O的某条轴进行一次旋转的结果

欧拉四元数
A_{01}=A_{01}(l,m,n,\Theta)

\vec e_p^{(0)}=(l,m,n)^T

l^2+m^2+n^2=1

有限转动张量

刚体在空间中的位置由指定轴及其绕该轴旋转的角度决定。
向量\vec a满足关系式\vec a = {\bf A} \cdot \vec a_0。
我们称有限转动张量为：
{\bf A}=\cos\theta {\bf E}+(1-cos\theta)\vec p\vec p+\sin\theta(\vec p\times{\bf E})
其中\bf E代表单位并矢量

\vec p：单位矢量，在两个坐标系中具有特定方向的三维矢量；该轴在两个坐标系中均呈现一致的方向余弦属性，并遵循欧拉定理作为旋转轴。

2.3 夏莱定理

在刚体的一般情况下，其任意位置的变化都可以分解为基于任意选定的基点所发生的移动位置变化以及围绕该基点所确定的空间轴线所引起的旋转。

• 分解不是唯一的；可以选择刚体上的不同点作为基准点。
  • 转动的方向和转角不受基点选择的影响。

2.4 定点运动刚体的速度描述

刚体上某一点的瞬时速度矢量v即等于极限情况下Δθ除以趋近于零的时间间隔Δt乘以单位矢量e_p与位置矢量r的叉积

刚体绕某直线做瞬时转动

瞬时转轴上的点保持静止

刚体内个点在该时刻具有相同的角速度\vec \omega.

刚体绕某点做瞬时转动

无限小转动：当刚体绕 o 点旋转时的微转角被视为极其微小时，则称该运动为刚体的无限小转动。

• 无限小矢量具有叠加性质 * 在刚体的所有点上 Δθ 的描述结果一致。

\Delta \vec \theta = \vec \omega {\rm d}t

\delta \vec r = \Delta\vec\theta\times \vec r

欧拉运动学模型
定义为：
\vec{\omega} = ω·\vec{e}_p = 在Δt趋近于零时， Δθ除以Δt的极限值 ·\vec{e}_p = [\begin{array}{c} ω_x \\ ω_y \\ ω_z ] ，
其中，
$[\begin{array}{c}
ω_x \
ω_y \
ω_z
]

[
[
sinθ·sinφ, cosφ, 0,
],
[
sinθ·cosφ, -sinφ, 0,
],
[
cosθ, 0, 1
]
]
·
[
{
dotψ,
dotθ,
dotφ
}
]
$。

分量形式

\begin{aligned} & 点导数ψ等于（ω_x乘以正弦φ加上ω_y乘以余弦φ）除以正弦θ；\\ & 点导数θ等于ω_x乘以余弦φ减去ω_y乘以正弦φ；\\ & 点导数φ等于负的（ω_x乘以正弦φ加上ω_y乘以余弦φ）乘以余切θ再加上ω_x。 \end{aligned}

向量形式
\vec \omega = \dot\psi\ \vec k_0+\dot\theta\ \vec i_1 + \dot\varphi\ \vec k_2

2.5 刚体的复合运动

刚体的一般运动可划分为基于固定基点的平移运动和基于固定基点所实现的转动部分两部分。其中一部分其平移部分受基点选择的影响,而另一部分运动不受此影响。

绝对导数
\dot{\vec{\rho}} = \frac{d}{dt}(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = \dot{x}\hat{i} + \dot{y}\hat{j} + \dot{z}\hat{k}
其中\rho是一个可微函数C^1类，并且其对时间t的总时间导数定义为：
\frac{D\rho}{Dt}(x,y,z,t) = x\frac{d\hat{i}}{dt|_{(x,y,z,t)}} + y\frac{d\hat{j}}{dt|_{(x,y,z,t)}} + z\frac{d\hat{k}}{dt|_{(x,y,z,t)}}

相对导数
\frac{\tilde{\rm d}\rho}{{\rm d}t}=\dot x \vec i+\dot y\vec j+\dot z\vec k

total derivatives and relative derivatives are related
\dot {\vec{\rho}} =\frac{\tilde{\rm d}\rho}{{\rm d}t}+\vec \omega \times \vec \rho
total derivative is equal to the relative derivative plus the cross product of the angular velocity of the moving coordinate system and the vector.

total derivatives and relative derivatives are related
\dot {\vec{\rho}} =\frac{\tilde{\rm d}\rho}{{\rm d}t}+\vec \omega \times \vec \rho
total derivative is equal to the relative derivative plus the cross product of the angular velocity of the moving coordinate system and the vector.

速度变化率
\vec a 是物体位置向量 \vec{r_o} 的二阶全微分运算结果与流体密度 \rho 的二阶全微分运算结果之和；再加上两倍旋转角速度矢量 \vec{\omega} 与其对流密度的一次全微分运算的矢量积；最后加上旋转角速度矢量 \vec{\omega} 自身与其点积的结果矢量乘积。

3 刚体动力学

基本动力学量

动量

\vec p = m\vec v_c

动量矩

定义（定点运动刚体 ）
\vec L_0 =\int (\vec r\times\vec v){\rm d}m=\sum_{i=1}^{N}\vec r_i\times m_i\,\vec v_i
其中，

\begin{cases} \displaystyle\vec L_0 = \int (r^2{\bf E}-{\bf rr}){\rm d}m \\ \\ \displaystyle\cdot\,\vec \omega \end{cases}

惯量张量

定义
{\bf J_0}=\int (r^2{\bf E}- {\bf rr}){\rm d}m
张量表示 的转动惯量：
\vec L_0 ={\bf J_0}\cdot \vec \omega
偏心转动惯量：
{\bf J_0}={\bf J_c}+m(r_c^2E-\vec r_c\vec r_c)
刚体相对质心的转动惯量 ：
J_c = \int (\rho^2{\bf E}-\vec \rho \vec \rho){\rm d }m
转动惯量矩阵
J_o^{(0)}= \begin{bmatrix} J _{xx} & -J_{xy} & -J_{xz}\\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\ -J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{bmatrix}
其中，惯量矩定义为：
J_{xx}=\int (y^2+z^2）{\rm d}m

J_{yy}=\int (x^2+z^2){\rm d}m

J_{zz}=\int (y^2 +z^2){\rm d}m

惯量积定义为：
J_{yz} = \int yz{\rm d}m

J_{zx}=\int zx {\rm d}m

J_{xy} = \int xy{\rm d}m

惯量主轴、主惯量矩

主惯量矩
{\bf J_o^{(0)}}= \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \end{bmatrix}
惯量主轴：上式对应的固连坐标系为主轴坐标系 ，各坐标轴为惯量主轴。

动能

固定运动
T=\frac 12 \int_V(\vec \omega\times\vec \rho)\cdot(\vec\omega\times \vec\rho){\rm d}m = \frac 12\vec\omega \cdot {\bf J_o}\cdot \vec \omega
普遍情况下的运动
T=\frac 12 m \vec v_M^2 + \vec {v_M}\cdot(\vec \omega\times M\vec {r_c’}+\frac 12 \vec \omega\cdot {\bf J_o}\cdot \vec\omega),其中当质心C与基点M重合时
柯尼希动能定理适用

欧拉动力学方程

张量形式
{\bf J}_0与\dot{\vec{\omega}}进行点乘运算，并将\vec{\omega}与({\bf J}_0⋅\vec{\omega})进行叉乘运算后相加的结果等于外力矩\vec{M}。
分量形式
在笛卡尔坐标系中，

分别对应三个方向的运动方程： 1. $A\dfrac{dω_x}{dt} + (C - B)ω_y ω_x = M_x$ 2. $B\dfrac{dω_y}{dt} + (A - C)ω_z ω_x = M_y$ 3. $C\dfrac{dω_z}{dt} + (B - A)ω_x ω_y = M_z$

动力学对称刚体的欧拉动力学方程

动力学对称 ：旋转部件简化为质量轴对称分布的刚体。

极惯量矩 ：设z为对称轴，刚体对z的惯量矩C.

赤道惯量矩 ： 刚体对赤道坐标轴的惯量矩A=B.

采用莱查坐标系 ox_2y_2z_2 来替代原有的连体坐标系oxyz 以简化分析过程

欧拉情形——无力矩的刚体定点运动

该系统中的数学模型能够实现一系列复杂动力学行为的精确描述

欧拉情形运动学方程的首次积分

第一个首次积分 ：

基于动量矩{\bf L_o}={\rm const}推导出
该方程表明变量间存在固定关系
：第二个首次积分

由动能定理
T = \frac 12 (A\omega_x^2 +B\omega_y^2+C\omega_z^2)={\rm const}

欧拉情形下刚体的永久转动

定义：角速度对于刚体而言恒定不变。\n\n\\begin{cases} (C-B)\\omega_y\\omega_x=0\\\\ (A-C)\\omega_z\\omega_x=0\\\\ (B-A)\\omega_x\\omega_y=0 \\end{cases}\n\n总结：任何永久转动都只能沿着惯性主轴进行，并且刚体的角速度可取任意恒定值。

注意 当A=B=C时刚体的转动轴可以时任意方向。

欧拉情形下动力学对称刚体的运动

第三类首次积分量 ω_L 被定义为矢量ω在其自身动量矩方向上的投影。动能 T 等于 ½乘以 ω_L 与 L 的乘积。静止轴面被定义为空间中以 O 为顶点、以矢径OM（其中M位于该圆锥面上）为轴线的圆锥。

第四个首次积分
\dot \omega_z =0,\space \omega_z =const =n

第五个首次积分

总结：规则进动 ：

欧拉情形对称刚体的转动对应于动圆锥沿静圆锥无滑动的纯滚动。

重刚体的定点运动

刚体在重力场中绕定点O的运动

刚体质心c在其惯性系OXYZ中的位置坐标值为(a, b, c)，该矢量与刚体连体坐标系中的i^(3)、j(3)、k^(3)之间的夹角分别为r₁、r₂、r₃。

基本方程

\begin{cases} A\cdot \omega_{\dot{x}}+(C-B)\cdot \omega_y\cdot \omega_x=P(r_2c-r_3b),\\ B\cdot \omega_{\dot{y}}+(A-C)\cdot \omega_z\cdot \omega_x=P(r_3a-r_1c),\\ C\cdot \omega_{\dot{z}}+(B-A)\cdot \omega_x\cdot \omega_y=P(r_1b-r_2a). \end{cases}

首次积分

几何等式
r_1^2+r_2^2+r_3^2 = 1

动量矩积分
A\omega_x r_1+B\omega_y r_2+C\omega_z r_3 =const

能量积分
\frac 12 (A\omega_x^2+B\omega_y^2+C\omega_z^2)+P(ar_1+br_2+cr_3)=const

欧拉情形

刚体形状任意且重心固定于点O时, 其主矩为零, 因此属于刚体绕定点运动的欧拉情况

拉格朗日情形

刚体围绕固定点的惯性椭球即为旋转椭球，在这种情况下其质心位于动力学对称轴上；同时捕鱼固定点O与质心重合