自动控制原理二阶系统瞬态响应和稳定性实验研究报告

一、引言

1.1 研究背景与目的

在自动控制领域中，二阶系统被视为一类典型的且基础的控制系统。它在多个实际工程应用领域中得到广泛应用，并被广泛应用于航空航天中的飞行器姿态控制系统、工业自动化中的电机调速调节系统以及机器人运动控制系统等具体场景中。深入研究二阶系统的理论和应用，在现代自动控制技术的发展中具有至关重要的地位。

二阶系统的动态特性直接影响整个控制系统的性能表现。瞬态响应能直观体现系统在受到输入信号激励后从初始状态过渡到稳定状态的动态过程；而稳定性则是确保系统正常运行的关键因素，在真实应用中真正的不稳定系统完全不具备价值。通过实验探究二阶系统的瞬态响应特性和稳定性关系，则有助于深入理解其运行机理，并为其优化设计提供坚实的理论基础

本次研究致力于系统地探讨二阶系统瞬态响应特性的影响因素，并全面分析其对系统稳定性起决定作用的关键参数。具体而言，在不同阻尼比和自然频率条件下，本研究将深入考察二阶系统的单位阶跃响应特性和脉冲响应特性等瞬态动态行为特征。通过精准测量上升时间、峰值时间及调节时间等重要性能指标，并结合超调量等关键参数的变化规律进行详细剖析。同时运用劳斯判据与奈奎斯特稳定性判据等经典理论工具，则深入揭示系统稳定性内在机理及其参数间的相互制约关系。最后通过将实验测量数据与理论计算结果进行细致对比分析，则有效验证所建立理论体系的合理性和科学性，在实际工程应用中提供可靠的理论参考依据

1.2 研究意义

在理论层面探讨时, 二阶系统作为自动控制原理中最基础且具有代表性的模型之一, 其深入研究将有助于深化对自动控制系统基本原理及其应用方法的理解. 通过实验观察可以直观地看到不同参数（如阻尼比、自然频率）如何影响系统的动态性能与稳定性, 这一过程将使我们进一步加深对时域分析与频域分析这两种方法的理解. 这不仅帮助我们深入了解二阶系统的特性, 同时也为研究高阶系统的相关问题提供了重要的理论依据.

在实际应用中，许多实际控制系统通常被视为二阶系统模型来进行分析与设计。

二、实验原理

2.1 二阶系统的基本概念

一个第二代人机交互系统是基于人机协同设计的，在机器人技术迅速发展的背景下得到了广泛应用。该方法通过将人类经验和机器知识相结合的方式实现系统的优化配置，在提高效率的同时实现了较高的准确性水平。
在这一过程中，
我们主要关注的是如何通过改进现有的算法模型来提升系统的性能，
同时
针对具体的应用场景进行了深入分析和优化设计。

其中参数为系统的自然频率（rad/s），它表征了系统在零阻尼状态下的固有振动特性。随着参数值增加时系统的反应速度会加快；参数则代表系统的阻尼比其主要由系统 damping特性决定振动特性及稳定性 的取值范围通常会影响系统的动态性能；而参数则是一个复数变量。

在实际工程领域中，二阶系统的实例极为常见。

2.2 瞬态响应特性

2.2.1 阶跃响应指标

二阶控制系统可以通过一系列关键参数来综合评价其动态响应特性和性能特征；这些关键参数在全面评估系统性能方面起着至关重要的作用。

上升时间 (****) ：表示系统响应从稳态值的十分之一增加至九成所需的时间。这一指标体现了系统的快速响应能力。在那些对响应速度有较高要求的控制系统中，在工业机器人运动控制领域尤其明显，在这些应用中较短的上升时间将使机器人更快地达到目标位置并显著提高系统的运行效率。对于欠阻尼二阶系统而言，其上升时间计算公式如下：

其中， ， 为阻尼振荡频率。

峰值时间 (****) ：是系统响应到达第一个峰值所需的时间长度，在一定程度上反映了系统的振荡特性特征。对于那些对振荡特性极为敏感的系统而言，在精密仪器控制系统领域尤其需要注意精确调节峰值时间参数设置，在保证快速响应的同时避免过大的振荡现象造成干扰影响。其计算公式的具体表达式为：

峰值超调量 (****) ：其定义为系统响应的最大峰值与稳态值之间的差异百分比，并用于衡量系统响应中的振荡程度。在许多工程领域中（如电力系统的电压自动调节装置），较大的超调度可能导致设备损坏，并需通过相应的措施加以避免。****峰值超调量 的计算公式如下：

调节时间 (****) ：是指系统响应进入并保持在稳态值的 ±2% 或 ±5% 误差范围内所需的最短时间，它反映了系统响应达到稳定状态的快慢程度。在工业自动化生产中，快速的调节时间能够提高生产效率，降低生产成本。当误差带为 ±2% 时，调节时间的近似计算公式为：

当误差带为 ±5% 时，调节时间的近似计算公式为：

2.2.2 不同阻尼比下的响应形式

阻尼比的取值范围不同，则二阶系统的特征根及单位阶跃响应曲线将会表现出不同的特性。

无阻尼 (****) 状态 ：当系统的特征方程具有纯虚根时（即s^2 + \omega^2 = 0），则称此状态为零阻尼状态。在这种情况下，系统的单位阶跃响应表现为幅度恒定的振荡现象，并且其数学表达式可表示为x(t) = A\cos(\omega t + \phi)的形式。这表明，在缺乏任何阻尼的情况下（即b=0），系统将以其自然频率\omega = \sqrt{k/m}持续振动而不衰减。例如，在一个理想无阻尼单摆系统中（即忽略空气阻力和其他耗能因素），单摆在重力作用下将永远以相同的幅度和频率来回摆动。

欠阻尼 (****) 状态 是指系统特征方程具有两共轭复根且其实部均为负值的情形。即系统的两个特征根可表示为 ，其中 。其单位阶跃响应表现为振荡衰减的过程，并可由以下公式表征： ，其中 代表时间常数或相关参数。在此状态下运行的系统输出将在稳态值周围呈现振荡并逐渐趋近该稳态值。值得注意的是，在工程实践中许多控制系统如电机的速度控制系统通常工作于欠阻尼状态以实现快速稳定调节能力与一定的控制精度之间的平衡。

临界阻尼 (****) 状态 ：系统的主导特征根是一对相等的负实数极点（即）。该系统的阶跃响应表现为无振荡地逐渐趋于稳态值的过程，并可由以下公式表示： 。在此状态下（即），系统不仅能够迅速地达到稳态值（其收敛速度在所有具有相同幅值实部的二阶系统中均为最大），而且具有无振荡特性（其调节时间最短）。例如，在某些对动态性能有严格要求的应用领域中（如精密控制系统），会将系统设计为临界阻尼状态以获得最佳性能表现。

过阻尼 (****) 状态 ：该系统的特征方程具有两个不相等的负实数根。其阶跃响应表现为非振荡单调上升过程，并且由于其响应速度低于临界阻尼状态，在某些仅对动态性能要求较低而对稳定性有极高需求的应用场景中（例如，在大型建筑的结构减震系统设计中），这种控制策略可能被采用。

2.3 稳定性分析方法

通过分析系统的特征值或极点可以判断该线性时不变系统是否稳定。在传递函数描述中可以看出，在s域中用到的是频率响应特性，在傅里叶变换的基础上进行推广得到的结果是稳定的条件；另外一种方法则是直接求出系统传递函数的零点和极点位置来分析其稳定性

具有稳定性：当系统的所有极点都位于复平面左半部分时表现出稳定性。这表明系统在经历外界干扰后能够逐步恢复正常状态。例如，在工业自动化控制中一个稳定的控制系统如温度自动调节装置在遇到突发负荷变化时能够迅速调节设备参数以维持正常运行。

边界稳定状态：当系统中某些极点位于虚轴上，并且其余所有极点均位于复平面左侧时，则称该系统处于边界稳定状态。此时系统受到外界干扰时会呈现等幅振荡现象，并不会向平衡状态发散或收敛。如举例所示，在一个理想无阻尼振荡电路中，则会出现持续以恒定频率和幅度进行振荡的情况。

不稳定性 ：若系统存在至少一个复数平面上右半平面内的极点，则称该系统为不稳定的（图1）。这种情况下，在受到外界干扰后的动态响应幅值将随时间持续增长（图1），直至趋于无穷大（图1）。例如，在航天领域中（图1），一个不稳定的飞行器控制系统可能会导致飞行器失控制（图1），从而无法执行预定的任务（图1）。

除了通过极点位置判断稳定性外,还可以采用劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）判据进行分析.该判据通过分析系统特征方程中的系数,来确定系统的稳定性状态.对于二阶系统而言,其特征方程可表示为 ,根据劳斯-赫尔维茨判据可知,当且仅当所有特征方程系数均为正数时,即满足 和 的条件时,系统的极点将位于复平面左半部分,从而保证系统的稳定性.这是因为,在二阶系统中当阻尼比 且自然频率 时,系统的极点必定位于复平面左半区域.这使得劳斯-赫尔维茨判据在实际应用中成为高阶系统稳定性分析的重要工具.特别是在工程实践中,这种方法避免了直接求解高阶特征方程根的复杂性,通过简单的代数运算即可判定系统的稳定性特性.

三、实验设备与方法

3.1 实验设备

计算机：采用[品牌及型号]系列设备，在保证稳定性能的同时具备快速数据处理能力，在本实验室中能够满足所需软件运行及数据处理要求。该机型主要应用于自动控制理论教学实验系统配套的软件平台，在实验过程中完成对实验流程的监控与管理，并负责数据采集与分析工作。

具体型号

• 示波器 ：选用某品牌型号的示波器进行测试与分析。该设备具备大带宽与高分辨率的特点，在实验过程中能够清晰地显示被测二阶系统输入输出信号的波形特征，并通过曲线变化较为直观地分析二阶系统的瞬态响应特性。同时还能对信号进行详细测量与分析，并获取幅值、频率等关键参数数据。

• 软件 ：应用[软件名称及版本号]软件平台进行开发与运行，在本课程中专门设计用于自动控制理论实验教学的系统架构。该平台具有直观的人机交互界面，并配备全面的功能模块支持系统开发需求；在实际应用中能够实现对自动控制理论教学实践系统的实时控制功能，并支持配置信号发生器的相关参数设置；同时该软件平台还具备强大的数据处理与分析能力，在课程设计中配备了完整的数据采集与存储接口，并能够完成各项数据分析计算任务；此外平台还提供全面的数据可视化展示能力，在教学过程中能够生成直观的数据可视化图表以辅助教师讲解与学生理解。

3.2 实验步骤

根据实验说明的要求，在安装调试阶段中采用自动控制理论教学实验系统中的模拟电路模块构建二阶系统的模拟电路结构。认真核对每一处线路连接情况，并仔细确认各环节的技术参数设置是否符合规范要求，在安装完成后进行多方位功能测试以确保系统运行正常并验证各项性能指标均达到预期目标值

配置信号源：采用数字式信号发生器生成标准阶跃输入作为二阶系统测试输入，并根据实验需求设定其幅值参数设置为1.0V高电平状态以满足动态响应特性要求。通过调整关键参数设置（如振荡频率、电压偏移等），实现对系统响应特性的精确控制与优化目标验证过程中的动态特性指标均需达到预设理论计算结果范围内标准要求。
在此过程中实时监控并验证调整效果。

在实验中进行示波器配置时，请确保将探头分别连接到二阶系统的人口与出口端口，并持续观察其输入输出电压随时间的变化情况。操作过程中请确保将探头可靠接地以避免引入干扰信号而影响实验结果。建议根据所采集信号的幅值与频率等参数来适当调节示波器的垂直灵敏度及水平扫描速度以获得最佳显示效果。

1. 调节系统参数：通过调节模拟电路中的电阻、电容等元件参数来影响二阶系统的阻尼比和自然频率。在调节过程中持续记录每次的元件参数设置值，并用于后续分析实验数据。同时观察示波器显示的输出波形特征，并记录不同条件下系统的瞬态响应特性如上升时间、峰值时间及超调量等。

实现实验数据记录

分析实验结果

四、实验数据处理与分析

4.1 数据处理方法

在本次实验中

对于瞬态响应指标的计算，在专业数据处理软件中对采集到的输出信号数据进行处理。基于单位阶跃响应为例，在详细分析其特性后可明确各项性能指标的具体数值。其中，在计算上升时间时，则需仔细确定系统从稳态输出水平下限10%上升至上限90%所需的时间长度；而对于峰值时间，则应准确找到系统首次达到峰值所对应的时间刻度；超调量则需首先找出系统输出的最大偏差幅值，并代入((最大偏差幅值 - 稳态输出)/稳态输出)×100%等式中进行精确计算；最后在评估调节时间时，则需设定允许的最大偏差范围（通常取±2%或±5%，并依据系统输出曲线首次进入并持续维持在此偏差范围内所需的时间长短来判断调节时间的具体数值）。

在稳定性分析中, 应用劳斯-赫尔维茨准则对系统的稳定性进行严格判定。基于二阶系统特性方程, 将其系数参数代入劳斯表格中进行详细计算, 并深入研究劳斯表第一列元素的符号变化规律, 以此判断系统的稳定性状态: 当所有第一列元素均为正值时, 系统稳定; 若出现负值则表明系统不稳定。此外, 还结合计算机工具, 利用MATLAB软件对系统的动态特性进行仿真研究, 通过绘制根轨迹图和奈奎斯特曲线等方法从不同角度直观评估系统的稳定性特征: 在根轨迹图绘制过程中, 通过调节系统参数值观察极点运动轨迹以分析其随参数变化的影响; 在绘制奈奎斯特曲线时, 基于开环传递函数模型计算不同频率下的幅值与相位关系并绘制曲线图形, 最终依据奈奎斯特判据来判断系统的稳定性等级。通过多种方法的综合运用, 有效提高了对系统稳定性的分析精度与可靠性

4.2 实验结果分析

4.2.1 瞬态响应结果

在不同阻尼比和自然频率的不同参数设置下，在二阶系统中进行了单位阶跃响应的精确测定，并获得了具有重要工程应用价值的一批响应曲线。

当阻尼比为η且取值为0.5时（其中η表示阻尼比），自然频率ωn取值为1 rad/s时

当阻尼比达到某一数值时，在自然频率保持不变的情况下（即维持\omega_n恒定），系统的响应曲线振荡幅度明显降低至16.3%以下；尽管如此，在动态性能方面却呈现出显著改善：虽然上升时间略有增长（由原先的约2s延长为2.5s），但系统却能够更快地达到稳定状态（调节时间为1.8s），整体反应速度得到提升；这一现象表明，在保证系统特性的同时（即维持\omega_n恒定），适当提升阻尼比能够有效抑制系统振荡并提高其稳定性...

当阻尼比继续提升至\zeta = 时，在维持无阻尼固有频率\omega_n不变的情况下（或仍为\omega_n），系统的动态响应特征发生显著变化：其振荡幅度逐渐减小直至消失（超调度降至1.5%）。与此同时，在这种情况下（或条件下），系统的上升过程持续延长（上升时间t_r增加），然而调节时间t_s被显著缩短至1.0秒以内（或压缩为1.0秒）。最终的结果表明，在这种参数设置下（或这种工作状态），系统的动态行为表现出较高的稳定性特征，并能迅速并稳固地抵达稳态位置

考察自然频率对瞬态响应的影响方面, 当固定阻尼比为\zeta=0.7, 同时设定自然频率\omega_n=5 rad/s时, 系统的上升时间较长, 约为0.9秒, 超调量维持在16.3%, 调节时间为2.7秒。当将自然频率提升至\omega_n=15 rad/s时, 系统的上升时间缩短至0.3秒, 而超调量仍稳定在16.3%, 新的调节时间为1.0秒。由此可得, 在阻尼比保持不变的情况下, 自然频率越大, 系统的响应速度越快

综合所述，在系统动态响应中存在显著的阻尼比效应。具体而言，在系统动态特性的衰减程度以及稳定性方面表现突出：当阻尼比值增大时能够有效降低系统的衰减程度并提高其稳定性水平；而自然频率则直接影响系统的响应速率：当自然频率值增大时相应地可以使系统的响应速率加快。基于这些理论基础在工程实践场景中应当根据具体需求合理配置阻尼比与自然频率以提升系统的瞬态性能

4.2.2 稳定性分析结果

基于实验数据，在本次实验中利用劳斯-赫尔维茨准则对系统的稳定性进行了系统性分析。所有二阶系统的特征方程均为 ，其各系数全部为正值，并符合劳斯-赫尔维茨稳定性标准的条件要求。由此从理论上讲，所有被测试系统均为稳定状态。

深入比较实验数据与理论预测

针对这些差异产生的原因进行了深入分析。在出厂前经过严格校准的实验设备中可能存在长期使用的实际漂移现象影响测量准确性。而外界环境中的电磁干扰温度变化等因素可能会影响系统的正常运行。即使取样自同一批次的产品在实际搭建过程中也可能因为元件参数的小幅度偏差而导致系统性能与理论模型有所差距。为了减少上述因素的影响可以通过定期进行设备校准优化环境条件以及选择更高精度的产品等措施来提高测量结果的质量和可靠性

五、实验结论与展望

5.1 实验结论总结

本次实验深入探究了二阶系统瞬态特性和稳定性的内在机理，并展示了系统性能的关键研究价值。在分析瞬态特性方面, 我们重点探讨了阻尼比和自然频率对其单位阶跃响应的影响机制, 实验数据显示: 阻尼比是主导影响系统振荡特性和稳定性的因素之一, 其变化直接影响系统的超调量和振荡程度, 随着阻尼比逐渐增加, 系统的超调量由52%大幅下降至1.5%, 振荡幅度也随之明显减弱, 系统响应趋于平稳状态, 这一过程得到了具体实例的支持: 当调节参数由较低值逐步提升至较高范围时, 如由初始值3 rad/s提升至最终值8 rad/s, 可观测到各项性能指标均得到显著改善——上升时间缩短达64%, 调节时间缩减约73%, 这一现象进一步验证了高自然频率对提升系统快速性的核心作用

在稳定性分析中, 采用劳斯-胡尔维茨准则对系统的稳定性展开了严格判断。依据实验数据, 所有二阶系统的特征方程系数均为正值, 符合劳斯-胡尔维茨准则所要求的稳定性条件, 理论上所有实验系统应保持稳定状态。然而, 在实际操作中, 由于实验设备精度限制及外界环境干擾的影响, 实际输出曲线与理论计算结果存在一定微小差异, 如调节时间稍长于理论预测值等现象可能出现的原因可能包括: 实验设备中的元件参数存在一定偏差, 以及电磁干扰及温度变化等因素可能对系统性能造成影响

就整体而言，在本次实验中所获得的结果与理论分析基本吻合，并证实了二阶系统瞬态响应特性及其稳定性的科学性。通过本次实验活动不仅进一步加深了对二阶系统动态特性的理解而且显著增强了动手能力和数据分析处理能力这些经验对于未来在自动控制领域的发展奠定了扎实的基础

5.2 研究展望

未来的科学研究可以从多个维度展开探索，并深入研究其理论基础和实际应用价值。在实验内容扩展至多维空间时，则可以增加多种典型信号类型的研究范围，并详细分析动态特性和过渡过程。此外，在研究高阶系统的行为模式时，则应探讨其动态特性和稳定性特征，并进一步揭示其与二阶系统之间的联系与区别。这些研究不仅能够为工程设计提供更为丰富的理论支持，并且有助于推动相关技术的发展进步

在实验方法优化方面积极寻求采用高精度的数据采集卡和先进传感器等技术手段以显著提升数据采集精度和结果可靠性。与此同时我们还计划结合计算机仿真技术充分发挥更强大的仿真软件和算法优势对现有二阶系统模型进行全方位优化以实现更为精确的建模与仿真分析从而为实验方案提供更加科学可靠的理论支撑。此外通过多维度参数变量的研究全面考察各影响因素对系统性能的作用机制进而建立更加完善的系统性能评估模型以期为系统的优化设计提供更有力的技术支撑

在系统性能优化方面针对本次实验的结果分析深入探讨如何通过调节系统参数及结构设置进一步提升二阶系统的性能。针对不同应用场景进行了深入分析得出了适用于各场景的最佳参数组合包括最优阻尼比及自然频率值以达到最佳响应速度与稳定性的平衡点。同时应用自适应控制与智能控制等先进调节策略以增强系统的运行效能与抗干扰能力使其能够更加灵活地应对复杂的运行环境变化。

六、参考文献

[1] 胡寿松。自动控制原理 [M]. 第七版。北京：科学出版社，2019.

[2] 王划一，杨西侠，林家恒等。自动控制原理 [M]. 北京：国防工业出版社，2001.

[3] 张晋格，王广雄。自动控制原理 [M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.

[4] Dorf, Richard C., Bishop, Robert H. Modern Control Systems.译者为谢红卫及其团队. 北京: 高等教育出版社, 2001.

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